季紅娟

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知識學(xué)習(xí)園/難點(diǎn)提示

如何理解并有效應(yīng)用反比例函數(shù)中“k”值的幾何意義

季紅娟

一、正確理解“k”值的幾何意義

k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)（x，y）具有兩坐標(biāo)之積為常數(shù)這一特點(diǎn)，即過雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為常數(shù)

A.S1

C.S2

圖1

圖2

圖3

A.S1S2>S3

C.S1=S2>S3D.S1=S2

【解析】（1）正方形ABOC的邊長為2，則面積為4，所以=4.因?yàn)閳D像位于第二象限內(nèi)，所以k<0，所以可以得到k=-4.

（2）根據(jù)k的幾何意義，可知S1=S2=S3，所以選D.

（3）根據(jù)k的幾何意義，可知S1=S2，設(shè)PE與反比例函數(shù)交于點(diǎn)G，則△GOE的面積與S1，S2相等，則S1=S2

【點(diǎn)評】在把k與矩形、三角形面積結(jié)合起來用時，必須根據(jù)圖像所在的象限來判斷k的正負(fù).

二、活用“k”值的幾何意義是關(guān)鍵

A.1B.2C.3D.4

圖4

圖5

A.1B.2C.4D.8

圖6

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②④

【解析】（1）將BA延長與y軸相交，根據(jù)k的幾何意義，可以知道矩形ABCD的面積即為，所求面積為2，選B.

【點(diǎn)評】能將圖形靈活地進(jìn)行割與補(bǔ)，并與k值的幾何意義結(jié)合起來，可以很輕松地解決較復(fù)雜的圖形問題.

三、反比例函數(shù)中幾何圖形的綜合應(yīng)用

A.8B.10C.12D.24

【解析】根據(jù)已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出其縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的解析式，及其與x軸橫坐標(biāo)交點(diǎn)，即可得出△AOC的面積.

圖7

【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，得出直線AB的解析式是解題關(guān)鍵.

圖8

A.S1=S2B.2S1=S2

C.3S1=S2D.4S1=S2

【解析】根據(jù)題意，易得A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則B的坐標(biāo)為（-m，-n）；在Rt△EOF中，由AE=AF，可得A為EF中點(diǎn)，分析計(jì)算可得S2，矩形OCBD中，易得S1，比較可得答案.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于本知識點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注.

圖9

如圖10，過C點(diǎn)作CE⊥x軸，垂足為E.

圖10

∵Rt△ABO中，∠OBA=90°，

∴CE∥AB，

∵C為Rt△ABO斜邊OA的中點(diǎn)，

∴CE為Rt△ABO的中位線，

作者單位：（江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)前黃實(shí)驗(yàn)學(xué)校）