白阿拉坦高娃（赤峰學院　數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

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n次對稱群Sn的不變子群的個數(shù)及其證明

白阿拉坦高娃
（赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

摘要：使用不變子群的定義及n次對稱群Sn的基本概念給出n=1，2，3，4時Sn的不變子群，并證明了當n≥5時Sn只有3個不變子群.

關(guān)鍵詞：n次對稱群Sn；不變子群；單群；交錯群

n次對稱群Sn是一個非常重要的置換群，因為任何一個有限群與Sn的某一個子群同構(gòu)，這個子群有可能是不變子群，若是不變子群那么相應(yīng)的可以找到商群被咱們利用，所以討論有限群或n次對稱群Sn時，Sn的不變子群必不可少的.文獻［1～3］給出了S4有30個子群、S6有1455個子群、S7有11300個子群.本文使用不變子群的定義及n次對稱群Sn的基本概念給出n=1，2，3，4時Sn的不變子群，并證明了當n≥5時Sn只有3個不變子群.

1　預備知識

定義1有限集的一一變換叫做一個置換，每一置換都可以表示為若干個不相連置換的乘積.

定義2一個包含n個元的集合的全體置換作成的群叫做n次對稱群Sn，Sn的階是n！.

定義3群G的一個子群N叫做一個不變子群，假如對于?a∈G，都有

Na=aN

定義4n次對稱群Sn的所有偶置換作成的群叫做交錯群An，An的階是

定義5只有平凡不變子群的群叫做單群.

定理1.1［4］群G的一個子群N是一個不變子群?aNa-1∈N（?a∈G）?ana-1∈N（?a∈G，?n∈N）

定理1.2指數(shù)為2的子群一定是不變子群.

證明設(shè)N是群G的指數(shù)是2的子群.那么

（Ⅰ）當?n∈N?G時，由子群的定義可知，

Na=N=aN

（Ⅱ）當?a?N但n∈G時，由子群N的指數(shù)是2可知，

G=Na∪N=aN∪N

即Na=aN

綜上子群N是一個不變子群.

定理1.3任何一個群至少有兩個不變子群｛e｝和群本身（這兩個稱為平凡不變子群）.

證明設(shè)G是一個群，那么只包含單位元e的集合是它的一個子群｛e｝，對于?a∈G來說，

｛e｝a=｛ea｝=｛a｝=｛ae｝=a｛e｝

成立，那么｛e｝是G的一個不變子群.

對于?a∈G來說，Ga=G=aG，即G是不變子群.

定理1.4設(shè)N是群G的子群H的一個子群，且N又是G的不變子群，則N是H的一個不變子群.

證明對于?h∈H?G，?n∈G，

因為N又是G的不變子群，所以?a?G來說，?ana-1∈N

那么

?hnh-1∈N

即N是H的一個不變子群.

定理1.5［5］若n≥5，則An是單群.

2　主要結(jié)果——關(guān)于Sn的所有不變子群的個數(shù)及確定

2.1討論S1的不變子群

S1=｛（1）｝，S2=｛（1），（12）｝=（12））

都是循環(huán)群，所以也是一個交換群，那么它們的子群都是不變子群，再由定理1.2可知

命題2.1S1只有一個不變子群：S1本身；S2只有兩個不變子群，即平凡子群.

2.2討論S3的不變子群

S3=｛（1），（12），（13），（23），（123），（132）｝有6個子群，分別是：

其中，子群

在S3里的指數(shù)是，那么它是S3的一個不變子群（由定理1.1可知），但子群（12）、（13）、（23）不是不變子群，因為

綜上可得：

命題2.23次對稱群S3存在且只存在3個不變子群；其中，除了平凡不變子群之外只有一個不變子群A3=｛（1），（123），（132）｝.

2.3討論S4的不變子群

存在且只存在30個子群；其中，除去兩個平凡子群之外，共有9個二階循環(huán)子群，4個三階循環(huán)子群，3個四階循環(huán)子群Z4，4個Klein4元群，4個S3（在同構(gòu)意義之下），3個8階子群以及1個A4（可見文獻［3］）.下面利用定理1.1，討論的不變子群：

其中，子群

在S4里的指數(shù)是由定理1.2可知A4是S4的一個不變子群.

S4的一個Klein4元子群H=｛（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）｝也是S4的一個不變子群.因為對于?τ∈S4，?λ=（i1i2）（i3i4）∈H來說，

綜上所述

命題2.34次對稱群S4存在且只存在4個不變子群；其中，除了平凡不變子群之外，只有2個不變子群，即｛（1），

2.4討論Sn（n≥5）的不變子群

命題2.4n次對稱群Sn存在且只存在3個不變子群；其中，除了平凡不變子群之外，有唯一的非平凡不變子群An.

證明 （i）由定理1.2，顯然子群An是Sn的一個不變子群.

（ii）若N是Sn的一個不變子群，且N≠An，令H=N∩An，因為An是Sn的不變子群，再由不變子群的交集也是不變子群可得，H也Sn的是不變子群，于是由定理1.4可知H是An的不變子群.由定理1.5，有H=｛（1）｝或H=An.

①若H=An，則N?H=An，即N=An或N=Sn；

于若H=｛（1）｝，則N中除單位元以外沒有偶置換，下面證明N=｛（1）｝，首先N中元素的階都小于3.因為若τ∈N，τ≠（1），τ的階大于2，則τ≠（1），a2是偶置換，矛盾，因此?τ∈N，有τ2=（1）；假設(shè)τ，λ是N中任意的奇置換，則τλ是偶置換，因此τλ=（1），于是τλ=τ2=（1）?τ=λ，由此N中最多只包含一個奇置換；若N=｛（1），τ｝是Sn的不變子群，則?λ∈Sn，有τλ=λτ這是不可能的，因為設(shè)τ（i）=j，1≤i≤n，取λ∈Sn滿足λ （i），λ（j）=k≠j，于是λτ（i）=k≠j=τλ（i）.即?λ∈Sn，使得τλ≠λτ，因此N=｛（1）｝.綜上，N=｛（1）｝、N=An或N=Sn.

參考文獻：

〔1〕黃本文，廖小軍，呂云翔，王秀花.計算7次對稱群S7的所有子群［J］.武漢大學學報2005（2）.

〔2〕黃本文.計算6次對稱群S6的所有子群［J］.高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯2001，16（1）：31～35.

〔3〕孫自行，崔方達.4次對稱群S4的子群個數(shù)及其證明.阜陽師范學院學報（自然科學版），2005（12）.

〔4〕張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)（修訂本）［M］.北京：高等教育出版社，1978.

〔5〕聶靈沼，丁石孫.代數(shù)學引論［M］.北京：高等教育出版社，2000.

〔6〕胡作玄，鄧明立.20世紀數(shù)學思想［M］.濟南：山東教育出版社，2001.

中圖分類號：O153

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）06-0006-02

收稿日期：2016-03-22