余煌浩

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高三（9）班

?

高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型和解題技巧分析

余煌浩

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高三（9）班

摘 要：求解不等式解集是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，其難度比較大，我們不易理解，因而常常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文內(nèi)容解析了高中數(shù)學(xué)不等式問(wèn)題中容易出錯(cuò)的題型，如不等式與線性規(guī)劃的結(jié)合、不等式中一元高次不等式問(wèn)題，并分析自己的解題方案，供同學(xué)參考。

關(guān)鍵詞：不等式問(wèn)題；易錯(cuò)題型；解題技巧

前言

不等式是高中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)和難點(diǎn)，每年在考試試卷中所占比例也較大，往往結(jié)合數(shù)列以壓軸題的形式出現(xiàn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一，結(jié)合自己多年的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)不等式的易錯(cuò)題型進(jìn)行了總結(jié)并分析，并給出了一些解題技巧和思路。

例1.不等式與線性規(guī)劃相結(jié)合的問(wèn)題

數(shù)學(xué)考試題目中，這類題型頻繁在數(shù)學(xué)考試中出現(xiàn)。因其考察的范圍廣，對(duì)我們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高。

分析：在計(jì)算三條直線所圍成的三角形區(qū)域時(shí)容易出錯(cuò)，該題要求我們明確三個(gè)不等式的取值范圍，并畫(huà)出圖示。在解答該題時(shí)，應(yīng)先繪制三條直線，并標(biāo)示其共同包含的區(qū)域（如圖1所示）：

由圖像可知，△ABC即為三條直線所圍成的平面區(qū)域，可將題目轉(zhuǎn)化為幾何題目。設(shè)平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為O，將BC作為三角形的底邊，AO作為三角形的高。則BC·AO=2，此時(shí)計(jì)算BO距離，即不等式y(tǒng)=-x+2縱軸交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。計(jì)算得出BO的距離等于2，同理可得CO等于1，則BC=BO-CO=2-1=1，將BO=1代入BC·AO=2，可得AO=2。即y=-x+2與y=kx+1兩個(gè)方程的交點(diǎn)坐標(biāo)為（y，2），將坐標(biāo)代入兩方程中，分別得到y(tǒng)=2k+1和y=0，將兩個(gè)式子合并可得：0=2k+1，由此可得，k=-

總結(jié)：解答此類題目的技巧共有兩個(gè)：第一，在求該類型問(wèn)題或遇到求解極值的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先繪制出不等式組的可行域，將其轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)，理解可行域的幾何意義，之后將不等式轉(zhuǎn)化為等式，通過(guò)計(jì)算解決題目問(wèn)題。第二，將不等式化為函數(shù)，并為函數(shù)設(shè)定一部分參考值，從函數(shù)入手，觀察不同參考值下函數(shù)圖形的變化，從而逐漸鎖定影響函數(shù)變化的量，并對(duì)其進(jìn)行求解。這兩種方法是解答該類問(wèn)題的主要解決方法。

例2.高次不等式問(wèn)題

這類題型同樣是高中考試中常出現(xiàn)的問(wèn)題，我們?cè)谠擃愵}型中出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因主要有三點(diǎn)。第一，我們忽略了題目中部分隱性的要求，如高次分式不等式中，我們會(huì)遺忘分母不能為零這一要求。第二，我們對(duì)解集的區(qū)域不明，部分我們雖然能夠得出解集的范圍，但對(duì)范圍邊界不明，主要體現(xiàn)于我們不能確定解集是否要取邊界值。第三，在使用“穿根法”時(shí)，不能確定函數(shù)的升降規(guī)律。以上便是構(gòu)成我們?cè)诮獯饐?wèn)題時(shí)出錯(cuò)的原因。

題目二：求不等式（x+3）（x-2）（x-4）≤0的解集。

分析：該題已明確給出我們函數(shù)的根，分別為：x=-3、x=2、x=4。我們能夠準(zhǔn)確在序軸中標(biāo)示三個(gè)零點(diǎn)，將序軸分為四個(gè)區(qū)間。我們運(yùn)用穿根法，從最右端的零點(diǎn)開(kāi)始，由右上方過(guò)右端零點(diǎn)向左下方穿過(guò)，之后依次穿過(guò)每個(gè)零點(diǎn)，形成一條函數(shù)曲線圖（如圖2所示）。

圖2

之后我們按照題目要求，進(jìn)行圖像選擇。因?yàn)轭}目要求整式小于0，所以我們應(yīng)選擇序軸以下的圖像，即得出不等式的解集（-，-3）U（2，4）。我們繼續(xù)分析題目，可以發(fā)現(xiàn)，題目中的不等符號(hào)是“≤”，因此邊界值可以納入集合當(dāng)中，所以該題最終的解集為（-，-3］U［2，4］。

總結(jié)：我們?cè)诮鉀Q該類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)熟練掌握穿根法這一解題方式，運(yùn)用穿根法能夠提高我們的解題速度，降低題目難度。同時(shí)我們解得解集后，也應(yīng)對(duì)解集的臨界點(diǎn)進(jìn)行判定，確定其是否可以納入解集范圍內(nèi)，從而使解集不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。

例3.含參不等式問(wèn)題

往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，選擇合理的分類依據(jù)進(jìn)行完成（參數(shù)是否為零等，不重不漏）。

題目三：解關(guān)于x的不等式ax2－2x+1＞0（a為常數(shù)，a∈R）。

分析：此題要分情況來(lái)討論，分別是a=0、a＞0 和a＜0三種情況，同時(shí)在a＞0時(shí)還要區(qū)分判別式△的值。此類題型的解題技巧是要牢記參數(shù)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類來(lái)說(shuō)明，保證不重不漏。基本不等式：湊項(xiàng)，拆項(xiàng)，配系數(shù)，換元，取倒數(shù)，“1”的代換。

例4.解絕對(duì)值不等式

解絕對(duì)值不等式主要通過(guò)同解變形去掉絕對(duì)值符合轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式（組）進(jìn)行求解，含有多個(gè)絕對(duì)值符合的不等式，一般可用零點(diǎn)分段法求解，但利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值得幾何意義求解較便捷，對(duì)于最值問(wèn)題也可以考慮絕對(duì)值三角不等式。核心思想是“想方設(shè)法”將其轉(zhuǎn)換成不含絕對(duì)值的式子求解。

例5.不等式恒成立問(wèn)題

不等式恒成立問(wèn)題往往與數(shù)列或抽象函數(shù)相結(jié)合來(lái)命題，這類問(wèn)題是高中不等式問(wèn)題的難點(diǎn)，而且由于抽象性較強(qiáng)，極易出錯(cuò)。

題目四：設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf`（x），x≥0，其中f`（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)。

（Ⅰ）令 g1（ x）= g（ x），求gn（x）的表達(dá)式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與nf（n）的大小，并加以證明。

分析：該題的考點(diǎn)是結(jié)合不等式、函數(shù)導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值并研究函數(shù)的單調(diào)性。

解答此類題型的技術(shù)往往采取分離變量或適當(dāng)變形，或變換主元，或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行求解；最值問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求解。同時(shí)在轉(zhuǎn)化不等式中要注意不等式不等號(hào)的方向，注意“一正，二定，三相等”。