吳博，劉鵬遠(yuǎn)，李寶晨

(軍械工程學(xué)院,河北 石家莊　050003)

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基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的后向迭代CKF算法研究*

吳博，劉鵬遠(yuǎn)，李寶晨

(軍械工程學(xué)院,河北 石家莊050003)

摘要：針對機(jī)動目標(biāo)的非線性跟蹤問題，提出了基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的容積卡爾曼濾波(CS-CKF)。針對新算法對目標(biāo)加速度階躍機(jī)動跟蹤延遲過大的問題，研究了后向迭代算法在估計精度和動態(tài)響應(yīng)速度上的特點(diǎn)，提出了基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的后向迭代容積卡爾曼濾波算法。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)比較了本文提出的CS-CKF算法和CKF算法的濾波效果。結(jié)果表明CS-CKF算法濾波效果優(yōu)于CKF算法。

關(guān)鍵詞：機(jī)動目標(biāo)跟蹤；非線性濾波；“當(dāng)前”統(tǒng)計模型；容積卡爾曼濾波；后向迭代算法；動態(tài)特性

0引言

隨著技術(shù)的進(jìn)步及其在軍事上的應(yīng)用，空中目標(biāo)的機(jī)動性大幅度提升使得目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)動態(tài)性增強(qiáng)，而且雷達(dá)探測的雙坐標(biāo)體制使得量測方程存在非線性變換。因此，機(jī)動目標(biāo)的非線性跟蹤成了一個亟待解決的問題。

由于目標(biāo)機(jī)動的不確定性，建立的目標(biāo)模型與實(shí)際情況往往存在偏差。近年來，對機(jī)動目標(biāo)建模問題的研究很多，提出了一些實(shí)用的模型。其中“當(dāng)前”統(tǒng)計模型(current statistical，CS)[1-2]是在singer模型基礎(chǔ)上的加速度均值自適應(yīng)改進(jìn)，其反映的目標(biāo)機(jī)動變化更符合實(shí)際。量測方程的非線性處理方法主要有擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)[3-4]、無跡卡爾曼濾波(UKF)[5-6]、容積卡爾曼濾波(CKF)[7-8]。其中CKF能夠避免EKF的高階截斷誤差，同時其在高維系統(tǒng)的性能優(yōu)于UKF[9-10]。

選取“當(dāng)前”統(tǒng)計模型作為目標(biāo)模型，采用CKF算法處理量測方程的非線性問題，提出了將兩者相結(jié)合的基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的容積卡爾曼濾波算法(CS-CKF)。后向迭代算法通常用于對濾波過程的平滑以減小濾波方差，提高濾波精度。研究發(fā)現(xiàn)，后向迭代算法由于使用了當(dāng)前時刻的狀態(tài)估計進(jìn)行二次濾波，使得系統(tǒng)的動態(tài)特性優(yōu)于一般算法。為了解決CS-CKF在跟蹤目標(biāo)加速度階躍機(jī)動時估計延遲較大的問題，引入后向迭代算法對原算法進(jìn)行改進(jìn)。Monte-Carlo仿真結(jié)果表明，新算法能夠有效跟蹤機(jī)動目標(biāo)，其性能優(yōu)于傳統(tǒng)CKF算法。

1“當(dāng)前”統(tǒng)計模型和容積卡爾曼濾波

1.1“當(dāng)前”統(tǒng)計模型

(1)

式中：amax，a-max為事先設(shè)定的加速度極限值。

1.2容積卡爾曼濾波

容積卡爾曼濾波算法是Ienkaran Arasaratnam和Simon Haykin在2009年提出的非線性濾波算法[11]。容積卡爾曼濾波利用根據(jù)三階球面-相徑容積規(guī)則選取容積點(diǎn)，將這些點(diǎn)經(jīng)系統(tǒng)的非線性函數(shù)傳遞，再將傳遞后的點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)處理，用以近似狀態(tài)后驗(yàn)均值和協(xié)方差。

考慮到如下非線性離散方程組：

Xk=f(Xk-1,Uk-1)+Wk-1，

Zk=h(Xk)+Vk，

(2)

式中：Xk和Zk表示狀態(tài)向量和量測向量；Uk-1是輸入矩陣；f(·)和h(·)為系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)和量測函數(shù)；系統(tǒng)噪聲Wk-1是0均值方差為Qk的高斯白噪聲；量測噪聲Vk是0均值方差為Rk的高斯白噪聲，Wk-1和Vk互不相關(guān)。

時間更新

(3)

(4)

(5)

量測更新

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的容積卡爾曼濾波

2.1狀態(tài)方程

以二維空間定位為例，假設(shè)目標(biāo)和觀測站在同一水平面，觀測的位置在坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)目標(biāo)T從(xk,yk)處出發(fā)機(jī)動，rk表示觀測站和目標(biāo)的徑向距離，θk表示觀測站和目標(biāo)連線與x軸的夾角，如圖1所示。

圖1　目標(biāo)-觀測站位置示意圖Fig.1　Schematic diagram of target locationand observation station

通過“當(dāng)前”機(jī)動模型建立目標(biāo)的狀態(tài)方程為

(11)

Xk+1=Φ0Xk+Wk,

(12)

式中：

2.2量測方程

假設(shè)雷達(dá)只能測量目標(biāo)的距離和方位角，根據(jù)圖(1)中的幾何關(guān)系可以得出

(13)

于是可以得到包括目標(biāo)距離和方位角信息的量測方程[12-13]：

(14)

在CKF濾波過程中需要用式(12)代替式(4)，用式(14)代替式(7)，將當(dāng)前統(tǒng)計模型計算得到的Qk帶入式(5)，就得到基于“當(dāng)前”機(jī)動模型的容積卡爾曼濾波算法。

2.3后向迭代算法

雖然CS-CKF能較好的跟蹤上目標(biāo)的狀態(tài)，但是在仿真中可能出現(xiàn)對目標(biāo)的加速度階躍機(jī)動跟蹤滯后，會導(dǎo)致濾波器的位置估計出現(xiàn)很大的偏差。為了解決這一問題，提高CS-CKF在目標(biāo)加速度階躍機(jī)動時的估計精度，文中引入了后向迭代算法對CS-CKF進(jìn)行了改進(jìn)，如圖2所示。

通常經(jīng)過一次濾波以后得到的結(jié)果已經(jīng)可以消除大部分誤差，故可以利用得到的當(dāng)前時刻狀態(tài)估計值與前時刻狀態(tài)估計值進(jìn)行后向處理，將得到的結(jié)果重新作為當(dāng)前時刻的濾波初始值再次進(jìn)行濾波[14-15]。這種后向迭代算法有2個優(yōu)點(diǎn)：

(1) 第1次濾波已經(jīng)濾除大部分誤差，所以第2次濾波時得到的結(jié)果精度將優(yōu)于第1次濾波的結(jié)果；

(2) 第2次迭代濾波的初始值中含有本時刻的量測信息和狀態(tài)估計，所以系統(tǒng)的反應(yīng)速度會比沒有后向迭代的濾波算法快一個采樣步長，能夠有效改善系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性。

圖2　后向迭代算法改進(jìn)的CS-CKF流程圖Fig.2　Flow chart of backward iterative improved CS-CKF algorithm

根據(jù)上文的理論分析，經(jīng)過后向迭代算法改進(jìn)后的CS-CKF算法流程為：

Step 1：根據(jù)2.1和2.2的描述進(jìn)行第1次CS-CKF濾波，得到第1次k+1時刻的系統(tǒng)狀態(tài)估計和系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣。

Step 2：結(jié)合k時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計和第1次濾波得到的k+1時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計，經(jīng)過后向處理得到新的k時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計和系統(tǒng)系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣。

Step 3：將后向處理得到的新k時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計和誤差協(xié)方差矩陣作為k+1時刻CS-CKF的濾波初始值，按照第1次濾波的計算流程進(jìn)行第2次迭代濾波，得到新的k+1時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計和系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣作為濾波器的k+1時刻輸出和下一時刻的濾波初值。

后向處理包括狀態(tài)向量處理和誤差協(xié)方差處理，其理論推導(dǎo)如下：

(15)

(16)

(17)

式中：

(18)

(19)

(20)

結(jié)合以上得到的結(jié)果代入式(16)得到狀態(tài)的后向處理結(jié)果：

(21)

誤差協(xié)方差矩陣的后向處理過程如下：

(22)

將式(22)移項(xiàng)得

(23)

用式(23)每一邊的轉(zhuǎn)置乘以自身可得

(24)

式中：

(25)

(26)

同理可以得到

(27)

將式(26)和式(27)代入式(24)可得誤差協(xié)方差的后向處理結(jié)果：

(28)

3仿真校驗(yàn)

為了檢驗(yàn)新算法在動態(tài)特性上是否得到改善，進(jìn)行了跟蹤機(jī)動目標(biāo)的仿真實(shí)驗(yàn)，并與傳統(tǒng)CKF算法跟蹤結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了新算法的有效性。

仿真實(shí)驗(yàn)條件：觀測站固定于原點(diǎn)，起始位置和速度分別為(10，7)km和(20，20)m/s，目標(biāo)在x方向上0～25 s做勻速直線運(yùn)動，第25～50 s做加速度為5g的加速機(jī)動，50～125 s做勻速直線運(yùn)動。觀測角度上的噪聲為0.003 rad，觀測距離上的噪聲為40 m。經(jīng)過200次的Monte Carlo仿真CS-CKF算法和CKF算法的性能比較如圖3所示。

通過圖3中的數(shù)據(jù)比較可以看出，當(dāng)目標(biāo)加速度保持不變時，CKF和CS-CKF的跟蹤性能相近。當(dāng)目標(biāo)發(fā)生加速度階躍機(jī)動時，圖3a)顯示CS-CKF算法響應(yīng)比CKF算法快1～2個采樣步長，反應(yīng)在速度誤差上則表現(xiàn)為動態(tài)誤差較小，收斂速度更快。圖3c)，3d)2圖中，CKF在機(jī)動時間點(diǎn)后觀察距離和角度誤差出現(xiàn)了2個明顯的峰值；CS-CKF算法在同樣的時間點(diǎn)處雖然誤差有所增大，但是與整體誤差水平相差不大，說明CS-CKF算法在距離和角度上明顯優(yōu)于CKF算法。

表1中的數(shù)據(jù)顯示，CS-CKF算法跟蹤加速度、速度、距離以及角度的誤差方差都要小于CKF算法，這說明CS-CKF算法的濾波結(jié)果更加平滑；CS-CKF算法距離誤差和角度誤差的最大值明顯小于CKF的誤差最值，說明CS-CKF的動態(tài)響應(yīng)速度更快，能更好地跟蹤目標(biāo)機(jī)動。

表1　CKF與CS-CKF對加速度階躍機(jī)動的跟蹤效果比較

圖3　CKF與CS-CKF對加速度階躍機(jī)動的跟蹤效果比較Fig.3　Comparison between CKF and CS-CKF tracking targets with step acceleration maneuver

4結(jié)束語

為了得到對機(jī)動目標(biāo)跟蹤精度更高的非線性濾波器，提出了基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型和容積卡爾曼濾波算法。針對新算法對加速度階躍機(jī)動存在較大延遲的問題，研究了后向迭代算法在濾波精度和動態(tài)響應(yīng)速度上的優(yōu)點(diǎn)，并將后向迭代算法應(yīng)用于CS-CKF算法的改進(jìn)，最終得到了基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的后向迭代容積卡爾曼濾波器。通過跟蹤進(jìn)行加速度階躍的機(jī)動目標(biāo)軌跡，對常規(guī)CKF和本文提出的CS-CKF的濾波效果進(jìn)行了比較。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的CS-CKF算法能夠有效跟蹤目標(biāo)加速度階躍機(jī)動軌跡，并且在動態(tài)響應(yīng)速度和跟蹤精度上優(yōu)于傳統(tǒng)的CKF算法。

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Backward Iterative Improved Cubature Kalman Filter Based on Current Statistical Model

WU Bo，LIU Peng-yuan，LI Bao-chen

(Ordnance Engineering College,Hebei Shijiazhuang 050003,China)

Abstract:In order to solve the problem of nonlinear maneuvering target tracking, a new cubature Kalman filter based on “current” statistical model (CS-CKF) is studied. According to the problem of excessive delay on the step acceleration maneuvering during target tracking, a backward iterative algorithm that amends the last state estimation with the predicted current state is analyzed and applied for improving. Finally, the two kinds of typical maneuvering models are applied to CKF and CS-CKF, and the effects of the two algorithms are compared. The simulation results show that CS-CKF algorithm is better than the CKF algorithm.

Key words:maneuverable target tracking; nonlinear filtering; “current” statistical model; cubature Kalman filter; backward iterative algorithm; dynamic characteristics

*收稿日期：2015-04-20；修回日期：2015-07-07

作者簡介：吳博(1990-)，男，福建漳州人。碩士生，主要研究領(lǐng)域?yàn)槲淦飨到y(tǒng)建模與仿真。

通信地址：050003河北省石家莊市和平西路97號4系中程防空導(dǎo)彈教研室E-mail：bluegd@qq.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.03.007

中圖分類號：TJ765；TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-086X(2016)-03-0038-06

導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制