袁鑫，吳榮剛，孫武，蔣清富

(北京遙感設(shè)備研究所,北京　100854)

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基于陣列天線的歸一化變步長(zhǎng)抗干擾算法研究*

袁鑫，吳榮剛，孫武，蔣清富

(北京遙感設(shè)備研究所,北京100854)

摘要：針對(duì)陣列天線的自適應(yīng)抗干擾方法，研究了線性約束最小方差(LCMV)算法，并對(duì)其收斂性進(jìn)行分析，提出歸一化變步長(zhǎng)線性約束最小方差(LCMV)算法。該方法解決了定步長(zhǎng)自適應(yīng)算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差不能同時(shí)滿足的難題，避免了協(xié)方差矩陣求逆運(yùn)算，減小了運(yùn)算量，便于工程實(shí)現(xiàn)。通過仿真和實(shí)驗(yàn)表明，該算法收斂速度快，能在干擾方向上形成很深零陷，干擾抑制效果好。

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)；陣列天線；收斂速度；穩(wěn)態(tài)誤差；線性約束最小方差；抗干擾

0引言

近年來(lái)，自適應(yīng)陣列天線技術(shù)廣泛的應(yīng)用在衛(wèi)星導(dǎo)航領(lǐng)域，用于對(duì)抗敵方人為的干擾，從而提高軍事武器的精確打擊能力。該技術(shù)根據(jù)信號(hào)和干擾的實(shí)際環(huán)境靈活地控制各個(gè)天線陣元的加權(quán)參數(shù)，自動(dòng)調(diào)節(jié)天線方向圖的形狀，在不影響有用信號(hào)增益的前提下，對(duì)干擾進(jìn)行有效的調(diào)零抑制。而自適應(yīng)抗干擾算法是整個(gè)自適應(yīng)天線技術(shù)的核心內(nèi)容，成為大家普遍關(guān)注的重點(diǎn)[1-2]。

基于陣列天線的空域自適應(yīng)處理是有效的自適應(yīng)抗干擾算法，但是由于空域處理本身自由度的限制，當(dāng)存在大量寬帶干擾和窄帶干擾時(shí)，采用空域處理需要更多的天線陣列，花費(fèi)太大?？諘r(shí)自適應(yīng)處理[3](space-time adaptive processing,STAP)聯(lián)合空域處理和時(shí)域處理的優(yōu)點(diǎn)，在不增加天線陣元的情況下，通過時(shí)間抽頭來(lái)增加陣列天線自適應(yīng)處理的自由度以抑制大量窄帶干擾，寬帶干擾和色散多徑干擾[4]，但是這種處理方法需要求解協(xié)方差矩陣的逆，抽頭數(shù)越多，矩陣維數(shù)越大，逆運(yùn)算復(fù)雜度越高，實(shí)時(shí)性很難保證。因此一系列不需要數(shù)據(jù)存儲(chǔ)，計(jì)算量小的遞推算法[5]應(yīng)運(yùn)而生。

常用的自適應(yīng)算法有最小均方誤差(LMS)算法[6-7]和遞推最小二乘(RLS)算法[8]。RLS算法直接對(duì)協(xié)方差矩陣的逆進(jìn)行遞推估計(jì)更新，收斂速度快，但是計(jì)算復(fù)雜度高，存儲(chǔ)量大，不利于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)；LMS算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，計(jì)算量小，但是收斂速度慢，穩(wěn)定性差。本文在線性約束最小方差LCMV算法的基礎(chǔ)上分析算法性能，提出歸一化變步長(zhǎng)LCMV算法，提高其收斂速度，減小穩(wěn)態(tài)誤差，實(shí)施性強(qiáng)，并模擬真實(shí)干擾進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1LCMV算法

空時(shí)自適應(yīng)算法處理結(jié)構(gòu)[9-10]如圖1所示。天線陣共有M個(gè)陣元，每個(gè)陣元通道后有一個(gè)N階FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器各抽頭輸入信號(hào)如圖1所示。

圖1　空時(shí)自適應(yīng)算法處理結(jié)構(gòu)圖Fig.1　Functional block diagram of adaptive pace-ime processing

用x表示輸入信號(hào)矩陣為

x=(x11,x12,…,x1N,x21,x22,…,x2N,…,xM1,xM2,…,xMN)T.

(1)

用MN×1維向量w表示處理器權(quán)矢量，則

w=(w11,w12,…,w1N,w21,…,w2N,…,wM1,…,wMN)T.

(2)

空時(shí)濾波器的輸出值為

y=wHx.

(3)

各陣元接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可表示為R=E[xxH](MN×MN維)，由線性約束最小方差準(zhǔn)則，該處理器可以描述為如式(4)的最優(yōu)化問題

(4)

在約束條件下求得權(quán)向量的第一陣元的加權(quán)系數(shù)w11=w12=…=w1N=1，利用拉格朗日乘子法可以推導(dǎo)出最優(yōu)空時(shí)處理器的解為

(5)

為了避免求逆過程帶來(lái)運(yùn)算量大的問題，首先預(yù)設(shè)一個(gè)初值w(0)，使得w從w(0)開始沿著pout減小的方向自適應(yīng)的調(diào)整到wopt。pout減小的最快方向是其負(fù)梯度方向，結(jié)合約束條件wHS=1，可以得到遞推式:

(6)

式中：μ為步長(zhǎng)因子；▽pout為輸出功率梯度，調(diào)整a為了滿足wH(n+1)S=1成立，因此

[w(n)-μ▽wpout+aS]TS=1，

(7)

(8)

將式(8)帶入式(6)可以得到遞推表達(dá)式為

(9)

結(jié)合最小均方誤差(LMS)算法則有

w(n)x(n).

(10)

最后可以得到基于線性約束最小方差LCMV準(zhǔn)則的最優(yōu)權(quán)值遞推表達(dá)式

(11)

公式(11)中只有一個(gè)參數(shù)μ，必須選擇合適的μ否則算法的收斂性不能得到保證。下面對(duì)其收斂特性進(jìn)行分析。

2LCMV收斂性分析

衡量LCMV算法性能指標(biāo)主要有算法的收斂性，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差[11-12]。首先分析收斂性，它是實(shí)現(xiàn)其自適應(yīng)功能的根本保證。定義權(quán)值誤差矢量

v(n)=w0-w(n).

(12)

將式(12)代入權(quán)值更新公式，取期望利用歸納遞推可得

E{v(n+1)}=(I-μR)E{v(n)}.

(13)

對(duì)R進(jìn)行特征值分解R=QΛQT，并令v′(n)=QTv(n)，則式(13)可變換為

E{v′(n+1)}=(I-2μΛ)nE{v′(0)}.

(14)

當(dāng)n→∞，I-2μΛ→0，此時(shí)權(quán)系數(shù)的期望值才能收斂到最優(yōu)權(quán)矢量。因此要使LCMV算法收斂于均值，必須使步長(zhǎng)因子μ滿足

(15)

式中：λmax是協(xié)方差矩陣R的最大特征值，當(dāng)?shù)螖?shù)接近于無(wú)窮大時(shí)，自適應(yīng)濾波器系數(shù)矢量近似等于最佳維納解wopt。由于協(xié)方差矩陣是正定性Hermite矩陣，因此

(16)

式中：tr[R]為R的跡，等于R的對(duì)角線元素之和，也等于輸入信號(hào)的總功率。

因此將(16)代入(15)，可以把收斂條件進(jìn)一步嚴(yán)格為式(17)。因此如果陣元數(shù)固定，已知輸入信號(hào)功率和濾波器階數(shù)，通過式(17)選擇合適的步長(zhǎng)因子，可以控制自適應(yīng)算法的收斂性。

(17)

其次分析算法的收斂速度，需要引入時(shí)間常數(shù)參數(shù)。當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)μ比較小時(shí)，時(shí)間常數(shù)近似為

(18)

由式(18)可知，時(shí)間常數(shù)與迭代步長(zhǎng)μ成反比，步長(zhǎng)μ越小，算法收斂速率越慢，步長(zhǎng)μ越大，算法收斂速率越快。如圖2所示，不同的μ收斂速度不同，μ=0.005時(shí)，迭代次數(shù)在500點(diǎn)之后才開始收斂，而μ=0.01時(shí)，迭代次數(shù)在200點(diǎn)之后就收斂了。

圖2　不同步長(zhǎng)參數(shù)的輸出收斂曲線圖Fig.2　Convergence diagram of different step size parameters

為了進(jìn)一步分析衡量算法收斂速度的指標(biāo)，定義最大時(shí)間常數(shù)為

(19)

當(dāng)輸入信號(hào)相同時(shí)，最大時(shí)間常數(shù)下界可寫為

(20)

由式(20)可以看出，最快收斂速度的大小由輸入信號(hào)協(xié)方差矩陣R特征值的分散程度決定。而協(xié)方差矩陣R的特征值在一定程度上可以反映干擾的強(qiáng)度和個(gè)數(shù)，因此當(dāng)沒有干擾時(shí)，R特征值的分散度最小，收斂最快；當(dāng)存在干擾時(shí)，如果輸入陣列的信號(hào)功率譜密度具有很大的動(dòng)態(tài)時(shí)，就會(huì)難以收斂。

最后分析穩(wěn)態(tài)誤差。在圖2中，當(dāng)曲線趨于穩(wěn)定時(shí)，縱軸所對(duì)應(yīng)的數(shù)值就是該自適應(yīng)算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。假設(shè)沒有噪聲，那么在自適應(yīng)迭代過程中，LCMV算法的濾波器權(quán)系數(shù)矢量就會(huì)收斂于一個(gè)穩(wěn)態(tài)解，這個(gè)解為均方誤差性能曲線表面的最小點(diǎn)，此時(shí)式(12)中的v的協(xié)方差為0，均方誤差等于ξmin。然而實(shí)際過程中因?yàn)榇嬖谠肼暎瑫?huì)引起穩(wěn)態(tài)權(quán)矢量解隨機(jī)地圍繞最小點(diǎn)發(fā)生變化，產(chǎn)生超量均方誤差，即ξ的穩(wěn)態(tài)值將會(huì)大于ξmin。定義超量均方誤差，反映真實(shí)性能與最佳性能在時(shí)間平均上差別的量度[13]：

EMSE=E[ξn-ξmin]≈μξmintr[R].

(21)

穩(wěn)態(tài)失調(diào)定義為超量均方誤差與最小均方誤差的比值，它是自適應(yīng)算法實(shí)際性能和最佳性能在時(shí)間平均上的差別的一個(gè)量度，表達(dá)式如下：

(22)

式(22)表現(xiàn)了梯度估值噪聲引起的自適應(yīng)系統(tǒng)的性能與最佳維納解性能之間的差異?？梢钥闯鍪д{(diào)M正比于步長(zhǎng)μ。因此μ是一個(gè)控制收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的常量[14]：選擇大的μ可以很快收斂，但是當(dāng)收斂到wopt附近后將在一個(gè)較大的鄰域內(nèi)抖動(dòng)而無(wú)法進(jìn)一步收斂；選擇較小的步長(zhǎng)可以收斂到wopt附近很小的鄰域，但是收斂速度非常緩慢。

3歸一化變步長(zhǎng)LCMV算法

比較歸一化LCMV算法的遞歸表達(dá)式與傳統(tǒng)的LCMV算法的遞歸表達(dá)式，可以看出歸一化LCMV算法可以看作是一種特殊的變步長(zhǎng)的LCMV算法，通過除以信號(hào)功率進(jìn)而消除由于輸入權(quán)向量過大而導(dǎo)致的噪聲增加。同時(shí)，也增大了算法的動(dòng)態(tài)輸入范圍，提高算法的收斂速度，因此比傳統(tǒng)的LCMV算法收斂性能更佳。

xH(n)w(n).

(24)

如圖3所示，歸一化LCMV算法在1 000次迭代后收斂到最小均方誤差，而LCMV算法在5 000次迭代后才收斂到最小均方誤差?？梢姡捎谧儾介L(zhǎng)的原因使得歸一化LCMV算法具有更快的收斂速度，另外歸一化LCMV算法的收斂條件與輸入信號(hào)的特征值無(wú)關(guān)，并且計(jì)算量與LCMV算法相當(dāng)，因此歸一化LCMV算法在實(shí)際中比LCMV算法應(yīng)用更為廣泛。

圖3　歸一化LCMV和LCMV的穩(wěn)態(tài)誤差輸出值比較Fig.3　Comparison diagram of static error between normalized LCMV and LCMV

4性能仿真

本仿真實(shí)驗(yàn)采用四元圓形天線陣，每個(gè)陣元的延遲數(shù)為N=3。接收機(jī)處理帶寬為B=4 MBZ，中頻f=46 MBZ，采樣率fs=62 MBZ。噪聲功率設(shè)置為-80 dBW。干擾設(shè)置情況如表1所示。

表1　干擾參數(shù)表

為了更好的反映干擾在空間中的位置信息，如圖4所示，x軸為俯仰角，y軸為方位角，通過music算法得到5個(gè)干擾的空間譜峰圖，與表1給出的干擾信息一致。通過采用歸一化變步長(zhǎng)LCMV自適應(yīng)抗干擾算法得到自適應(yīng)的權(quán)系數(shù)，利用該權(quán)系數(shù)得到抗干擾零陷圖，如圖5所示，零陷深度基本都在-70 dB以下，說明能夠?qū)乖搱?chǎng)景下的多個(gè)寬帶干擾。

圖4　干擾分布圖Fig.4　Distribution diagram of interferences

圖5　自適應(yīng)抗干擾零陷圖Fig.5　Null steering diagram of adaptive antijamming

圖6為自適應(yīng)抗干擾處理收斂圖，可以看出，當(dāng)?shù)\(yùn)算在8 000點(diǎn)以后權(quán)值收斂，收斂時(shí)間大約為120 μs，收斂速度很快。圖7為抗干擾處理前后頻譜對(duì)比圖，紅色為抗干擾前5個(gè)寬帶干擾在4 MBZ頻譜內(nèi)的疊加，藍(lán)色為抗干擾后輸出的噪聲譜，說明自適應(yīng)算法能很好地抑制干擾信號(hào)到噪聲門限以下。

圖6　自適應(yīng)抗干擾處理收斂圖Fig.6　Convergence diagram of adaptive antijamming

圖7　自適應(yīng)抗干擾處理前后頻譜圖Fig.7　Frequency spectrum diagram of adaptive antijamming

5結(jié)束語(yǔ)

歸一化變步長(zhǎng)LCMV算法解決了定步長(zhǎng)算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差不能同時(shí)滿足的問題，該算法應(yīng)用于陣列天線抗干擾方向，能很好的解決空時(shí)自適應(yīng)濾波協(xié)方差矩陣求逆運(yùn)算量大的問題，通過迭代運(yùn)算可以達(dá)到和求逆運(yùn)算一樣的抗干擾效果，便于工程實(shí)現(xiàn)。經(jīng)實(shí)驗(yàn)仿真表明，對(duì)大于陣元個(gè)數(shù)的多個(gè)寬帶干擾，算法收斂快速，能在干擾方向上形成很深零陷，將干擾抑制到噪聲門限以下。

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Normalized Variable Step Size Adaptive Interference Suppression on Array Antenna

YUAN Xin, WU Rong-gang, SUN Wu, JIANG Qing-fu

(Beijing Institute of Remote Sensing Equipment, Beijing 100854,China)

Abstract:Aimed at the adaptive interference suppression method on array antenna, the method and convergence of linearly constrained minimum variance (LCMV) is discussed. A normalized variable step size adaptive algorithm based on LCMV is proposed. This algorithm not only can resolve the contradiction between convergent speed and static error but also reduce the computational burden of covariance matrix inverse algorithm. It can decrease the computational amount and be realized easily. Both simulation and testing results demonstrate that the algorithm can provide faster convergence, generate deeper null steering in the direction of interferences and effectively suppress them.

Key words:adaptive； array antenna; convergent speed; static error; linearly constrained minimum variance(LCMV); antijamming

*收稿日期：2015-04-16；修回日期：2015-07-08

基金項(xiàng)目：有

作者簡(jiǎn)介：袁鑫(1986-)，女，陜西寶雞人。工程師，碩士，主要研究方向?yàn)楸倍穼?dǎo)航和陣列抗干擾技術(shù)。

通信地址：100854北京市142信箱205分箱1號(hào)轉(zhuǎn)十一室E-mail：yx.tiger@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.02.012

中圖分類號(hào)：TN82；TN973.3；TP301.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-086X(2016)-02-0074-06

導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制