李 鑫 歐陽高翔 孫成明 孫 錚 楊 新

1. 中國(guó)科學(xué)院光電研究院，北京100094 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049

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基于凸優(yōu)化的有限推力遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化*

李 鑫1,2歐陽高翔1孫成明1孫 錚1楊 新1

1. 中國(guó)科學(xué)院光電研究院，北京100094 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049

針對(duì)軌跡優(yōu)化問題中動(dòng)力學(xué)方程對(duì)凸優(yōu)化方法的限制，建立了有限推力遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題的凸優(yōu)化問題模型，并提出一種迭代逼近算法，使得在每步迭代中狀態(tài)矩陣保持為線性，從而實(shí)現(xiàn)了凸優(yōu)化在遠(yuǎn)程軌跡優(yōu)化中的應(yīng)用，仿真分析證明了所提出的迭代逼近算法對(duì)優(yōu)化問題的收斂性，所得軌跡迅速收斂至最優(yōu)軌跡，并與最優(yōu)控制序列所得實(shí)際軌跡保持一致。本文構(gòu)建的凸優(yōu)化問題模型及提出的迭代逼近算法對(duì)這類遠(yuǎn)程軌跡優(yōu)化問題是可行的。

凸優(yōu)化；遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移；有限推力；軌跡優(yōu)化；迭代逼近

航天器燃料最優(yōu)的轉(zhuǎn)移問題一直是研究的熱點(diǎn)，廣泛存在于交會(huì)對(duì)接、機(jī)動(dòng)變軌、行星際航行等工程應(yīng)用中。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)有限連續(xù)推力航天器軌道轉(zhuǎn)移問題的研究主要有2類方法。Yan Hui等人使用基于初始協(xié)態(tài)變量猜測(cè)的間接法研究了最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移問題[1]，其本質(zhì)是求解一個(gè)非線性方程組，其結(jié)果的最優(yōu)性得到理論保證，但采用間接法需要對(duì)協(xié)狀態(tài)變量的初值進(jìn)行猜測(cè)，魯棒性較差。王明春等人將兩點(diǎn)邊值問題的求解轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，以控制變量初始值代替伴隨變量初始值，對(duì)軌道轉(zhuǎn)移問題進(jìn)行了求解[2]。但這種變換仍然無法解決間接法需要初值猜測(cè)的弊端。Johnson較早采用直接法對(duì)軌道轉(zhuǎn)移問題進(jìn)行了研究[3]，他運(yùn)用Chebyshev多項(xiàng)式和積分懲罰函數(shù)將原始問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)問題，從而能夠數(shù)值求解。Enright和Conway利用直接配置和非線性規(guī)劃方法處理了同平面有限推力轉(zhuǎn)移最優(yōu)軌跡問題[4]。采用直接法求解軌跡優(yōu)化問題時(shí)，是將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題，采用非線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解計(jì)算量大。張亞鋒利用Guass偽譜法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，求解了有限推力的同面軌道和異面軌道的能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移[5]。

近年來，凸優(yōu)化理論及方法取得較大發(fā)展并被廣泛應(yīng)用。凸優(yōu)化問題是非線性優(yōu)化中非常重要的一種類型，這類問題的局部極小點(diǎn)就是全局最小點(diǎn)，因此如果凸優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù)，且存在極小點(diǎn)，那么它的極小點(diǎn)就是最小點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)是唯一的。以往研究的重點(diǎn)是區(qū)分線性與非線性，而凸優(yōu)化只關(guān)注問題的凸與非凸。目前，凸優(yōu)化已被應(yīng)用于航天器交會(huì)最終逼近段軌跡優(yōu)化以及行星大氣再入軌跡優(yōu)化等領(lǐng)域。Acikmese和Blackmore等將凸優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于火星登陸器軟著陸最優(yōu)控制問題[6-10]，將問題轉(zhuǎn)化為二階錐形式的凸優(yōu)化問題，使用內(nèi)點(diǎn)法求解。Liu Xinfu和Lu Ping等運(yùn)用凸優(yōu)化技術(shù)研究了交會(huì)對(duì)接中的軌跡優(yōu)化問題[11-12]，針對(duì)約束條件研究了一種無損松弛方法，并驗(yàn)證了求解結(jié)果等價(jià)于原始問題。國(guó)內(nèi)的林曉輝等人基于凸優(yōu)化理論研究了月球定點(diǎn)著陸的軌跡優(yōu)化[13]，池賢彬等人運(yùn)用凸優(yōu)化方法提出了有限推力下最終逼近段的自主交會(huì)迭代制導(dǎo)方法[14]，陳洪普將凸優(yōu)化方法應(yīng)用于高超聲速飛行器再入制導(dǎo)中的模型預(yù)測(cè)控制[15]。

運(yùn)用凸優(yōu)化技術(shù)的前提是正確判別問題是否屬于凸優(yōu)化問題，以及按照DCP(Discplined Convex Programming)規(guī)則對(duì)問題進(jìn)行正確合適的凸優(yōu)化表述。由于凸優(yōu)化理論和方法對(duì)等式約束要求為凸函數(shù)，而軌跡優(yōu)化問題中動(dòng)力學(xué)方程存在強(qiáng)非線性項(xiàng)，以往在近程軌跡優(yōu)化問題的研究中往往將其進(jìn)行簡(jiǎn)單的近似處理，文獻(xiàn)[13-15]中均采用此類方法。但在應(yīng)用至遠(yuǎn)程軌跡優(yōu)化問題時(shí)如仍采用這類方法，不僅不符合客觀實(shí)際，并且其計(jì)算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性也無法保證。本文針對(duì)有限推力遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移問題，構(gòu)建了其凸優(yōu)化問題模型，并提出迭代逼近算法，使得在求解凸優(yōu)化問題時(shí)狀態(tài)方程保持為線性，從而克服了凸優(yōu)化方法應(yīng)用于遠(yuǎn)程軌跡優(yōu)化時(shí)在動(dòng)力學(xué)方程非線性上的限制。通過仿真計(jì)算，驗(yàn)證了該方法的有效性、準(zhǔn)確性和計(jì)算效率。

1 基于凸優(yōu)化的問題建模

[16]中有限推力軌道攔截問題的數(shù)學(xué)模型類似，有限推力遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移的燃料最優(yōu)軌跡優(yōu)化問題可以表述為：

(1)

1)航天器的推力形式為有限推力形式，存在推力上下界；在每個(gè)迭代周期內(nèi)，認(rèn)為質(zhì)量為常量，推力矢量恒定。

2)上節(jié)所描述的問題模型中，在整個(gè)轉(zhuǎn)移過程中航天器質(zhì)量是線性時(shí)變的，但狀態(tài)方程含有質(zhì)量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為非凸函數(shù)。為此，對(duì)變量做如下變換：

(2)

則質(zhì)量方程可轉(zhuǎn)化為：

(3)

3)推力約束方程所定義的集合為非凸集，通過引入松弛因子η，將控制輸入約束方程二維空間中的非凸集約束轉(zhuǎn)換為三維空間中的凸集約束，并使性能指標(biāo)函數(shù)為線性函數(shù)形式：

(4)

4)對(duì)于推力大小約束方程0≤η≤Tmaxe-e，將其右端在z0進(jìn)行一階泰勒展開，并近似縮小為凸集約束：

0≤σ≤Tmaxe-z0[1-(z-z0)]

(5)

通過上述假設(shè)和變換，并令x=[rvz]T為狀態(tài)變量，u=[τη]T為控制變量，同時(shí)考慮實(shí)際軌跡的具體約束，則原始問題模型轉(zhuǎn)化為如式(6)所示的凸優(yōu)化問題模型：

(6)

式中,

考慮J2攝動(dòng)項(xiàng)，則Q(r)表示為：

Q(r)=

其中,J2=1.0826×10- 9，Rg=6378 km。

由于在凸優(yōu)化方法中，一般不采用積分表達(dá)形式，因而對(duì)式(6)進(jìn)行離散化處理，轉(zhuǎn)化為矩陣相乘的形式。

(7)

式中，Tc為采樣周期，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)=eA(r(n))t，對(duì)其進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開并忽略高階項(xiàng)可得Φ(t)=eA(r(n))t=I+At，從而可計(jì)

則離散化后，原凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下形式：

(8)

2 迭代逼近算法

本文研究的這類遠(yuǎn)程軌跡優(yōu)化問題中，r變化范圍大，A具有明顯的時(shí)變特性和強(qiáng)非線性，這對(duì)問題有無可行解，以及對(duì)可行解的準(zhǔn)確性都有重要影響。因而，本文研究并設(shè)計(jì)了一種迭代逼近算法，通過在每一步迭代中求解上一節(jié)建立的凸優(yōu)化問題，獲得一組最優(yōu)軌跡序列，更新狀態(tài)矩陣A,并在每一步迭代中保持其為定常矩陣。最優(yōu)軌跡和時(shí)變矩陣A都收斂至誤差允許范圍內(nèi)，即獲得最終的求解結(jié)果。算法流程如圖1所示。

圖1 迭代逼近算法流程

具體算法流程如下：

1)狀態(tài)矩陣A的初始化

通過將初始位置與末端位置間的距離進(jìn)行等分，得到一組猜測(cè)的初始位置序列，設(shè)置k=0 ，并對(duì)A進(jìn)行初始化得到A(0)。通過后續(xù)驗(yàn)證，采用這種初始化方法，有效地保證了第1)步迭代能獲得可行解，進(jìn)而保證迭代算法的進(jìn)行；

2)求解凸優(yōu)化問題

在第u=u(k)步迭代中，以定常矩陣A(k)，求解上一節(jié)建立的凸優(yōu)化問題式(8)，得到可行解x(k)和u(k)，分別為A(k)條件下的最優(yōu)軌跡序列和控制序列；

3)終止判斷

當(dāng)?shù)玫能壽E收斂至誤差允許范圍內(nèi)時(shí)，認(rèn)為滿足判斷條件，即x(k)-x(k-1)≤ε,k>1，其中常值ε為允許誤差，則最終結(jié)果x*=x(k)，u*=u(k)。如不滿足判斷條件，則進(jìn)行下一步；

4)迭代更新A(k)

以第2)步獲得的x(k)計(jì)算得矩陣A(k)，并返回到第2)步。

在此，對(duì)本文提出的迭代逼近算法的收斂性進(jìn)行簡(jiǎn)要的證明如下：

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，若矩陣A(x)滿足條件

A(x)-A(y)≤αx-y
μ(A(x))≤μ0

(9)

其中,α，μ0為正的常數(shù)，μ(A)為A的范數(shù)對(duì)數(shù)，則可以保證解序列{x(k)}的收斂性。

在本文研究的問題中，可令r被地球半徑歸一化，使得r>1，由矩陣二階范數(shù)定義可得

(10)

(11)

A(r1)-A(r2)≤A(r1)+A(r2)=2

(12)

并且

(13)

由文獻(xiàn)[18-19]對(duì)矩陣的對(duì)數(shù)范數(shù)的定義及擴(kuò)展可得

(14)

綜上，證明了本文提出的迭代逼近算法對(duì)所研究的問題具有收斂性。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證所提出的凸優(yōu)化問題模型以及迭代逼近算法，針對(duì)有限推力下的遠(yuǎn)程軌道轉(zhuǎn)移進(jìn)行了仿真計(jì)算。轉(zhuǎn)移過程以燃料最優(yōu)為性能指標(biāo)，同時(shí)考慮初末位置約束及推力大小約束。

航天器在地心慣性系下的初始位置及初始速度，以及轉(zhuǎn)移目標(biāo)點(diǎn)處的位置和速度如表1所示，其他仿真參數(shù)如表2所示。

表1 初始及目標(biāo)狀態(tài)

表2 仿真參數(shù)表

仿真結(jié)果見圖2～6。圖2為地心慣性系下的最終優(yōu)化軌跡，可以看出航天器沿最優(yōu)軌跡從初始位置到達(dá)目標(biāo)位置，兩點(diǎn)間距離71164km，軌道半徑相差2164km，即實(shí)現(xiàn)了遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移的任務(wù)要求。

圖2 最終優(yōu)化軌跡

圖3為迭代過程中的推力幅值變化曲線?？梢钥闯鲈诘?jì)算過程中，每一次計(jì)算得到的控制推力序列，其幅值滿足推力大小約束，且近似在最大值與最小值之間切換。

圖4為最終優(yōu)化結(jié)果中航天器在X，Y方向上的位置及推力變化?？梢钥闯?，位置變化平緩穩(wěn)定，X方向位置變化范圍達(dá)61082km，Y方向位置變化范圍達(dá)36515km；X，Y方向上的推力同圖3所示推力幅值變化規(guī)律一致。

圖3 迭代過程中的推力幅值變化

圖4 XY位置變化及推力作用段

圖5 燃料消耗收斂曲線

圖5為迭代過程中優(yōu)化目標(biāo)即燃料消耗的收斂曲線?？梢钥闯觯ㄟ^最初的幾步迭代，燃料消耗由424kg迅速下降至280kg附近，并最終收斂至276kg。與基于Lambert的雙脈沖轉(zhuǎn)移進(jìn)行對(duì)比，見表3，可以看出基于本文方法所產(chǎn)生的速度增量已十分接近雙脈沖轉(zhuǎn)移。

表3 方法及結(jié)果對(duì)比

圖6 優(yōu)化軌跡與實(shí)際軌跡

本文提出的方法可同時(shí)求解出最優(yōu)軌跡和最優(yōu)控制序列，為了驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，進(jìn)行誤差分析，對(duì)優(yōu)化所得的控制序列在航天器動(dòng)力學(xué)方程下進(jìn)行軌道外推，將所得軌跡與優(yōu)化所得的最優(yōu)軌跡進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示?？梢缘贸觯罱K位置誤差為465km，僅為最終軌道半徑的1.1%，優(yōu)化結(jié)果與外推結(jié)果基本一致，證明了本文提出方法的有效性和準(zhǔn)確性。

在Matlab編程環(huán)境及CPU頻率為2.27GHz的硬件平臺(tái)下，每步迭代計(jì)算中的凸優(yōu)化求解耗時(shí)在1.24～3.23s之間。通過近500步迭代，由圖6最終收斂段可見,計(jì)算結(jié)果已基本收斂至最優(yōu)，說明了凸優(yōu)化方法及迭代逼近算法的有效性和較高的計(jì)算效率。進(jìn)行較長(zhǎng)步數(shù)的迭代，可得到較高精度的最優(yōu)軌跡和控制序列，保證優(yōu)化軌跡與外推軌跡基本重合。

仿真結(jié)果表明：由于凸優(yōu)化理論和方法對(duì)等式約束要求為凸函數(shù)，而軌跡優(yōu)化問題中動(dòng)力學(xué)方程存在強(qiáng)非線性項(xiàng)，以往在近程軌跡優(yōu)化問題的研究中往往將其進(jìn)行簡(jiǎn)單的近似處理，但在應(yīng)用至遠(yuǎn)程軌跡優(yōu)化問題時(shí)如仍采用這類方法，不但不符合客觀實(shí)際，其計(jì)算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性也無法保證。本文提出的方法準(zhǔn)確求解了有限推力遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移問題，轉(zhuǎn)移距離達(dá)數(shù)萬千米，而已有凸優(yōu)化方法在軌跡優(yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用只局限于數(shù)百米，表明本文方法有效地解決了非線性狀態(tài)方程對(duì)凸優(yōu)化方法應(yīng)用的制約問題。

基于本文方法能夠同時(shí)求解出最優(yōu)軌跡和最優(yōu)控制序列。最優(yōu)軌跡與按控制序列進(jìn)行外推所得實(shí)際軌跡的誤差在允許范圍內(nèi)，末端位置和速度均達(dá)到約束要求，證明了方法的準(zhǔn)確性和高效性。

本文求解過程采用了斯坦福大學(xué)開發(fā)的CVX工具軟件，按照其語法規(guī)則編寫程序，在每一步迭代中求解了式(8)所示的凸優(yōu)化問題。

4 結(jié)論

基于凸優(yōu)化理論和方法，對(duì)航天器遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行了建模和凸優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)形式的表述。針對(duì)制約凸優(yōu)化方法應(yīng)用于遠(yuǎn)程軌跡優(yōu)化的非線性狀態(tài)方程，提出并設(shè)計(jì)了一種迭代逼近算法，并通過仿真計(jì)算證明了其有效性。其能有效求解遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題。對(duì)將凸優(yōu)化應(yīng)用拓展至遠(yuǎn)距離的航天器遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移、交會(huì)遠(yuǎn)程導(dǎo)引、遠(yuǎn)程制導(dǎo)等問題進(jìn)行了有意義的探索。

參 考 文 獻(xiàn)

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Optimal Remote Transfer with Finite Thrust Based on Convex Optimization

Li Xin1,2，Ouyang Gaoxiang1，Sun Chengming1，Sun Zheng1，Yang Xin1

1. Academy of Opto-Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100094, China 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China

Aimingatthelimitationofthekineticequationagainstconvexoptimizationapplicationintheremotetransfertrajectory,theconvexoptimizationmodelofremotetransfertrajectoryoptimizationwithfinitethrustisestablished,andaniterativeapproximationalgorithmisproposedtokeepthestatematrixlinearineachiteration,thereby,theconvexoptimizationcansolvetheproblemsmoothly.Itisproventhattheconvergenceofproposediterativeapproximationalgorithmfortheoptimizationproblemandtheoptimaltrajectoryandcontrollawaresimultaneouslysolved.Throughanalysisandverification,theresultingoptimalcontrollawisinaccordwiththeoptimalcontrolsequences,meanwhile,theresultingoptimaltrajectoryandactualtrajectoryareconsistent.Theconvexoptimizationmodelestablishedandtheiterativeapproximationalgorithmproposedarevaluableandfeasiblefortheremotetrajectoryoptimization.

Convexoptimization;Remotetransfer;Trajectoryoptimization;Finitethrust;Iterativeapproximationalgorithm

*國(guó)家自然科學(xué)基金(61308101)

2015-08-03

李 鑫(1990-)，男，山西大同人，碩士，主要研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)，航天器軌跡優(yōu)化；歐陽高翔(1977-)，男，四川人，博士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)，飛行器軌道姿態(tài)控制及仿真；孫成明(1984-)，男，吉林人，博士，助理研究員，主要研究方向?yàn)榭臻g目標(biāo)光學(xué)探測(cè)與識(shí)別；孫 錚(1985-)，男，北京人，碩士，工程師，主要研究方向?yàn)榭臻g應(yīng)用系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)；楊 新(1967-)，男，北京人，博士，研究員，主要研究領(lǐng)域?yàn)榭臻g應(yīng)用系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)、空間飛行器總體設(shè)計(jì)。

V412.41

A

1006-3242(2016)03-0019-07