韓　穎,楊夕涵,沈蘭雅,錢家昌,張曉斌

(中國民航大學(xué)　理學(xué)院,天津　300300)

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不確定收益的最優(yōu)投資組合模型

韓穎,楊夕涵,沈蘭雅,錢家昌,張曉斌

(中國民航大學(xué)理學(xué)院,天津300300)

[摘要]投資組合理論是金融學(xué)乃至整個經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域一個非常激動人心的部分,涌現(xiàn)出了大量的投資模型和理論,這些模型大多采用概率論或者模糊理論方法處理投資中的不確定性,對于缺乏樣本數(shù)據(jù)這種情形(如購買的是新出現(xiàn)的證券)建立的模型甚少。針對這種投資情況,利用不確定理論考慮了馬科維茨的均值——方差投資組合模型的變形形式,建立了不確定收益的最優(yōu)投資組合選擇模型,進一步豐富了證券投資理論。

[關(guān)鍵詞]不確定理論；不確定規(guī)劃；風(fēng)險分析；投資組合

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.24.234

1952年,Markowitz[1]提出了著名的均值方差模型(MV)。均值-方差投資組合理論在研究方法上建立了衡量效用與風(fēng)險程度指標,確定了資產(chǎn)組合的基本原則。Markowitz在其出版的《證券組合選擇》一書中,詳細論述了證券組合的基本原理,從而為現(xiàn)代西方證券投資理論奠定了基礎(chǔ)。Markowitz資產(chǎn)組合理論研究的是多種資產(chǎn)的組合問題,根據(jù)這個理論,我們可以在方差一定的情況下,研究預(yù)期收益最大的投資組合問題；也可以研究預(yù)期收益一定情況下,方差最小的投資組合問題。

以往諸多投資分析的模型,往往以概率論方法處理投資中的不確定性,[2]而忽視了另一種不確定性—模糊性。事實上,金融市場有許多不確定性,例如受國家政策、突發(fā)事件,以及眾多投資人的行為相互作用的影響。假設(shè)投資者欲購買新出現(xiàn)的證券(如股票),則沒有或者有很少的樣本數(shù)據(jù)可供統(tǒng)計分析,這時若用概率論方法及模糊理論方法處理該問題就顯得力不從心。而劉寶碇于2007年建立的不確定理論[3]是處理此類問題的強有力工具,本文利用不確定理論給出了馬科維茨均值方差模型的變形形式,即證券收益是不確定變量的情況。不確定理論是一個公理化的數(shù)學(xué)系統(tǒng),假設(shè)讀者已經(jīng)熟悉了不確定理論的相關(guān)定義,如信度、不確定測度、不確定空間、不確定變量、(正則)不確定分布及相應(yīng)的逆分布、期望、方差等,參考文獻第一章和第二章。[4]

1相關(guān)引理

1.1引理一[4]

1.2引理二[5]

假設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是n個獨立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ1,Φ2,…,Φn,如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xm嚴格遞增,相對于xm+1,xm+2,…,xn嚴格遞減,那么不確定變量ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)的期望。

1.3引理三[6]

假設(shè)ξ是一個獨立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ,和有限的期望e,則：

2期望收益一定下的最小風(fēng)險投資組合模型

假設(shè)投資者欲購買n種新證券A1,A2,…,An,用xi(≥0)表示投資者在第i種證券上的投資額所占投資總額的比例,ξi表示第i種股票的收益率(i=1,2,…,n),由于所投資的n種新證券的收益沒有樣本數(shù)據(jù)可供統(tǒng)計分析,因此ξi服從不確定分布(分布函數(shù)由專家給出建議),投資者要在期望收益一定的情況下,要是投資風(fēng)險達到最小,應(yīng)如何選擇投資比例？馬科維茨的均值方差模型可轉(zhuǎn)化為下面的形式：

(1)

式中，E表示期望值算子,V表示方差算子,b是投資者可以接受的最小期望收益率。

假設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是n個獨立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ1,Φ2,…,Φn,由引理一至引理三,上面的數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題

(2)

3數(shù)值算例分析

假設(shè)投資者購買四種新出現(xiàn)的證券A1,A2,A3,A4；b=0.2。他向三位專家咨詢每種證券的收益率,假設(shè)三位專家給出各種證券的收益率(假設(shè)權(quán)重相同)所滿足的不確定分布如表1所示。

表1　證券收益率分布

由引理二和引理三,根據(jù)模型(2)得：

由Matlab7.0軟件計算得出模型的最優(yōu)解：(0.6667,0.3333,0,0),目標函數(shù)值為0.4778,即投資者在可以接受的最低收益率為0.1的前提下,按照上面的最優(yōu)策略安排其投資比例,可達到最低風(fēng)險0.4778。

4靈敏度分析

通過表2,我們看到,隨著投資者可接受的最低收益率的逐步增大,他所要承擔的最低風(fēng)險也在逐步增大,符合“高回報,高風(fēng)險”的規(guī)律。

表2　最低風(fēng)險與可接受最低收益率期望關(guān)系

5結(jié)論

針對投資者購買新出現(xiàn)的證券,缺乏歷史數(shù)據(jù)可對證券收益率進行統(tǒng)計這種情況,本文利用不確定理論建立了不確定收益下的最優(yōu)投資組合選擇模型,得到了一個二次規(guī)劃模型(2),并通過算例進行了投資模擬。通過采納多位專家的意見,對專家給出的證券收益率所滿足的不確定分布進行加權(quán)處理,使得投資風(fēng)險進一步降低。下一步我們將研究投資者同時購買新出現(xiàn)的證券和已出現(xiàn)時間較長的證券的情況,即證券的收益率既有隨機變量,也有不確定變量的情況。

參考文獻：

[1]Markowitz H..Portfolio Selection[J].Journal of Finance,1952(7)：77-91,

[2]Konno H.,Yamazaki H..Mean-variance Deviation Portfolio Optimization Model and its Applications to Tokyo Stock Market[J].Management Science,1991,37(5):519-531.

[3]Liu B.D..Uncertainty Theory[M].2nd ed.,Berlin：Springer-Verlag,2007.

[4]Liu B.D..Uncertainty Theory[M].5nd ed.,Uncertainty Theory Laboratory,2015.

[5]Liu Y.H.,Ha M.H..Expected Value of Function of Uncertain Variables[J].Journal of Uncertain Systems,2010,4(3)：181-186.

[6]Yao K..A Formula to Calculate the Variance of Uncertain Variable[J].Soft Computing,2015,19(10)：2947-2953.

[基金項目]本文系(天津市級)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(項目編號：201510059044)相關(guān)研究成果。

[作者簡介]韓穎(1994—),女,山西臨汾人,中國民航大學(xué)本科生。研究方向:統(tǒng)計學(xué)；楊夕涵(1995—),女,陜西寶雞人,中國民航大學(xué)本科生。研究方向：統(tǒng)計學(xué)；沈蘭雅(1992—),女,天津人,中國民航大學(xué)本科生。研究方向：統(tǒng)計學(xué)；錢家昌(1994—),男,江蘇南京人,中國民航大學(xué)本科生。研究方向：電子信息工程。通訊作者：張曉斌(1983—),男,山東蓬萊人,博士,中國民航大學(xué)講師。研究方向：復(fù)分析,運籌與優(yōu)化。