吳紅英

(懷化學院 數(shù)學與計算科學學院,湖南 懷化　418008)

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競爭物種的分數(shù)階對流-彌散方程組的有限元方法

吳紅英

(懷化學院 數(shù)學與計算科學學院,湖南 懷化418008)

摘要：描述種群增長的分數(shù)階偏微分方程組一般沒有解析解，有限元方法是進行數(shù)值模擬的有效途徑.針對兩個競爭物種的非線性分數(shù)階對流-彌散方程組，先進行時間半離散,然后運用壓縮映射原理證明變分解的局部存在唯一性,同時給出求解有限元解的一種迭代算法.數(shù)值實例表明三次有限元迭代算法的時空收斂階分別為1和4.

關(guān)鍵詞：對流-彌散方程組;分數(shù)微分算子;存在唯一性;迭代算法

1引言

考慮非線性空間分數(shù)階微分方程組:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

其中0<βi<1(i=1,2),D,K>0,r∈R,(x,t)∈Ω×T,Ω=(0,1),T=(0,T).空間分數(shù)導數(shù)定義如下:

(1.5)

上述偏微分方程組在人口增長模型中有許多應用(文獻[5-7]).一般地,u和v表示兩個競爭種群密度,r表示出生率,D為彌散系數(shù),K為環(huán)境容量.如果hi(x,t)≡0,系統(tǒng)是封閉的,u,v隨時間自主發(fā)展,不受外界影響.文獻[8-10]研究了分數(shù)微分方程解的存在唯一性和在計算物理中的一些實際應用;文獻[1,3,4,6,8,11-13]討論了數(shù)值解的實現(xiàn)，但都是基于線性方程(組)或單個非線性方程的.由于分數(shù)積分的復雜性,對模型(1.1)-(1.4)不論是解析解的研究還是數(shù)值解的實現(xiàn)都具有一定挑戰(zhàn)性.

2存在唯一性定理

定義時間剖分

(2.1)

(2.2)

這里

記μi=1-βi/2(i=1,2),定義雙線性形式:

+((σ1-r+σ2v)u,φ),?u,φ∈Hμ1(Ω),

+((σ1-r+σ2u)v,φ),?v,φ∈Hμ2(Ω),

其中(·,·)為L2(Ω)空間上的內(nèi)積,<·,·>μi為Hμi(Ω)和H-μi(Ω)空間上的偶對.對充分大的σ1,上述雙線性形式滿足強制性和連續(xù)性(Ervin和Roop[2]).給定fn∈H-μ1(Ω),gn∈H-μ2(Ω),定義線性泛函

從而(2.1)(2.2)的Galerkin變分解定義如下:尋找u∈Hμ1(Ω),v∈Hμ2(Ω)使得

(2.3)

(2.4)

上述變分方程組問題是半線性的，其解的存在性還未見相關(guān)文獻討論.通常處理非線性問題總是需要假設fn,gn滿足Lipchitz條件,本問題顯然不滿足.我們設計一種迭代算法，將方程組進行線性化處理，再運用Ervin和Roop關(guān)于線性問題的存在唯一性結(jié)果證明(2.3)-(2.4)的存在唯一性.

假設:假定Δtn充分小,從而σ1充分大使得下列條件滿足

(2.5)

(2.6)

(2.7)

其中M1,M2由(2.11)式定義.

定理:在條件(2.5)-(2.7)下,變分問題(2.3)-(2.4)存在唯一解u∈Hμ1(Ω),v∈Hμ2(Ω).

證明:運用壓縮映射原理證明.定義有界閉集

(2.8)

其中C1,C2為雙線性強制常數(shù),與u,v無關(guān).取(u(0),v(0))∈S,定義映射

T1∶Hμ1(Ω)→Hμ1(Ω)

u(i)→u(i+1),i=0,1,…

T2∶Hμ2(Ω)→Hμ2(Ω)

v(i)→v(i+1),i=0,1,…

滿足

(2.9)

(2.10)

接下來分三步證明.

第1步：序列(u(i),v(i))∈S.由于σ1充分大,雙線性B1,v(i)和B2,u(i)中u,v的系數(shù)為正,根據(jù)Ervin和Roop的討論，上述映射T1,T2確實存在.另外有限元解u(i),v(i)有界,即

上式表明(u(i),v(i))∈S對所有i成立.同時注意到μi>1/2(i=1,2),由Sobolev不等式存在正常數(shù)M1,M2使得

(2.11)

幾乎處處成立.

第2步：序列(u(i),v(i))按L2范數(shù)收斂.由(2.9)式有

從而

(2.12)

進一步變形得

(2.13)

令φ=u(i+1)-u(i)并注意到B1(u(i+1)-u(i),u(i+1)-u(i))≥0,

故

(2.14)

與(2.14)類似,關(guān)于v有

(2.15)

結(jié)合(2.14)，(2.15)及假設條件(2.7)有

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

綜合(2.18)，(2.20)知變分問題(2.3)，(2.4)存在唯一解u=limi→∞u(i),v=limi→∞v(i),且u∈L2(Ω),v∈L2(Ω).

第3步：序列(u(i),v(i))按Hμi(Ω),(i=1,2)范數(shù)收斂.令φ=u(i+1)-u(i)代入(2.13)并注意到σ1-r-σ2v(i)≥σ1-r-|σ2|M2≥0,

(2.21)

運用B1,v(i)的強制性定理，方程兩邊同時約去‖u(i+1)-u(i)‖L2(Ω)得

(2.22)

再應用(2.19)式有

(2.23)

(2.24)

采用相同的方法可證明

(2.25)

綜合(2.24)，(2.25)知變分問題(2.3)，(2.4)存在唯一解u=limi→∞u(i),v=limi→∞v(i),且u∈Hμ1(Ω),v∈Hμ2(Ω).定理證畢.

注解:在上述證明過程中,必須通過縮小實間步長Δtn使得(2.5)-(2.7)3個條件同時成立.換言之,變分解的存在唯一性關(guān)于時間是局部的,要得到全局存在性必須附加其它條件,例如解的一致有界性.事實上證明過程給出了一個有限元求解的迭代算法,而(2.5)-(2.7)正是迭代算法收斂的充分條件,ρ的大小決定迭代解收斂到解析解的速率.

迭代算法:設V為分段連續(xù)的m次多項式有限元空間(關(guān)于分數(shù)微分方程有限元方法的實現(xiàn)見參考文獻[11]),迭代算法如下:

第2步：for i=0:TolN分別求解線性有限元方程(2.9)和(2.10);

l=i+1;退出循環(huán);

end

3數(shù)值實例

我們采用三次有限元方法驗證算法的有效性.取模型參數(shù)D=r=K=1,β=0.2,p=1,q=0,T=1,令

可以驗證u(x,t)=t2x2(1-x),v(x,t)=t3x3(1-x)是系統(tǒng)方程(1.1)-(1.2)的精確解.收斂階按如下公式計算：

表-1列出了固定空間步長Δx和時間步長Δt的誤差和收斂階.數(shù)值結(jié)果顯示隨著時間和空間步長的逐步縮小，有限元解uh,vh確實收斂到精確解u,v，時空收斂階大約為1和4,說明算法有效.

表1　有限元數(shù)值結(jié)果誤差分析

參考文獻：

[1]G.J.Fix,J.P.Roop,Least squares finite-element solution of a fractional order two-point boundary value problem[J].Comput.Math.Appl,2004(28):1017-1033.

[2]V.J.Ervin,J.P.Roop.Variational formulation for the stationary fractional advection dispersion equation[J].Numer.Methods Partial Differential Equations,2006(22):558-576.

[3]V.J.Ervin,J.P.Roop.Variational solution of fractional advection dispersion equations on bounded domains in Rd[J].Numer.Methods Partial Differential Equations,2007(23):256-281.

[4]V.J.Ervin,N.Heuer,J.P.Roop.Numerical approximation of a time dependent nonlinear,space-fractional diffusion equation[J].SIAMJ.Numer.Anal,2007(45):572-591.

[5]B.Baeumer,M.Kovács,M.M.Meerschaert.Fractional reproduction-dispersal equations and heavy tail dispersal kernels[J].Bull.Math.Biol,2007(69):2281-2297.

[6]B.Baeumer,M.Kovács,M.M.Meerschaert.Numerical solutions for fractional reaction-di.usion equations[J].Comput.Math.Appl,2008(55):2212-2226.

[7]M.Kirane,Y.Laskri,N.Tatar.Critical exponents of Fujita type for certain evolution equations and systems with spatio-temporal fractional derivatives[J].J.Math.Anal.Appl,2005(312):488-501.

[8]H.Brunner,L.Ling,M.Yamamoto.Numerical simulations of 2D fractional subdiffusion problems[J].J.Comput.Phys,2010(229):6613-6622.

[9]Alberto Cabada,Zakaria Hamdi.Nonlinear fractional differential equations with integral boundary value con-ditions[J].Applied Mathematics and Computation,2014(228):251-257.

[10]Ali Yakar,Mehmet Emir Koksal.Allaberen Ashyralyev,Existence Results for Solutions of Nonlinear Fractional Differential Equations[J].Abstractand Applied Analysis,2012.

[11]周志強,吳紅英.分數(shù)階對流-彌散方程的移動網(wǎng)格有限元方法[J].數(shù)值計算與計算機應用,2014(1):1-7.

[12]陳一鳴,劉麗麗,孫璐,等.Adomian分解法求解非線性分數(shù)階Fredholm積分微分方程[J].應用數(shù)學,2013(4):785-790.

[13]周志強,吳紅英.基于Grüwald-Letnikov定義的分數(shù)導數(shù)數(shù)值算法[J].懷化學院學報,2010(5):1-4.

Finite Element Solution to Fractional Advection-Dispersion Modle with Two Species

WU Hong-ying

(DepartmentofMathematics,HuaihuaUniversity,Huaihua,Hunan418008)

Abstract：Nonlinear space-fractional differential equations(SFDEs)have more and more important applications in population growth model of biology.In this article a time semi-discrete formula and an iteration algorithm for SFDEs are presented.Using fixed point theorem,existence and uniqueness results for corresponding variable problems are proven in fractional derivative spaces.Numerical example illustrates the FEM iteration algorithm has first and fourth convergence rate for time and space,respectively.

Key words：advection-dispersion equations；fractional differential operations;existence and uniqueness;iteration algorithm

收稿日期：2015-11-28

作者簡介：吳紅英，1974年生，女，湖南張家界人，副教授，研究方向：拓撲學與數(shù)值計算.

中圖分類號：O175.14；O175.22

文獻標識碼：A

文章編號：1671-9743(2016)05-0010-05