張春芳，朱　煉，張傳俊

(安徽工商職業(yè)學院電子信息系，安徽合肥 230041)

?

脈沖時滯系統的嚴格φ0-穩(wěn)定性

張春芳，朱煉，張傳俊

(安徽工商職業(yè)學院電子信息系，安徽合肥 230041)

[摘要]本文研究了脈沖時滯系統的嚴格φ0-穩(wěn)定性，利用錐值Lyapunov函數法和比較原理得到了脈沖時滯系統零解的嚴格一致φ0-穩(wěn)定，嚴格一致漸近φ0-穩(wěn)定的充分條件。

[關鍵詞]錐值Lyapunov函數；嚴格一致φ0-穩(wěn)定性；嚴格一致漸近φ0-穩(wěn)定

脈沖系統是一般系統理論的一個重要分支，在控制系統、信息科學、利率控制、航天技術等領域有著廣泛的應用.近年來，眾多數學家和科研學者對脈沖系統進行研究.對于脈沖系統φ0-穩(wěn)定性的研究已有一些成果[1-6]，陳晨[7]對嚴格實用穩(wěn)定性進行研究，鮑俊艷[8]、夏正威[9]對嚴格穩(wěn)定性進行研究.但是嚴格φ0-穩(wěn)定性的研究卻不多，Zhang[10]對脈沖時滯系統的嚴格漸近穩(wěn)定性提出了一些見解，張春芳[11]直接利用Lyapunov函數得到了變脈沖時滯系統的嚴格穩(wěn)定性結果，但實際中不好實現.本文利用錐值Lyapunov函數和比較原理，在較弱的條件下得到了脈沖時滯系統的嚴格φ0-穩(wěn)定性，拓展了文獻[1-6]中的應用，克服了文獻[11]中的困難.

考慮固定時刻脈沖時滯系統：

(1)

對應于系統(1),考慮如下的比較系統

(2)

(3)

定義3[4]函數V:[t0,∞)×S(ρ)→R+如果滿足以下條件，則稱V是屬于υ0類的：

(ⅰ)V在(tk-1,tk]×S(ρ)上是連續(xù)的，并且對所有的t≥t0,V(t,0)≡0；

(ⅱ)V(t,x)對x∈S(ρ)關于x滿足局部Lipschitz穩(wěn)定；

(ⅲ)對所有的k=1,2,…,以下式子都成立：

定義4[5]脈沖時滯系統(1)的平凡解被稱為是嚴格一致穩(wěn)定的，如果對于任意的t≥t0和ε1>0，存在一個δ1=δ1(ε1)>0，滿足當φ∈PC1(δ1),‖x0‖<δ1時，有‖x(t;t0,φ)‖<ε1,t≥t0．同時，對于任意的0<δ2≤δ1,存在0<ε2<δ2，滿足當φ∈PC2(δ2)時有‖x(t;t0,φ)‖>ε2,t≥t0．

定義5脈沖時滯系統(1)的平凡解被稱為是嚴格φ0-穩(wěn)定的，如果對于任意的t≥t0和ε1>0，存在一個δ1=δ1(ε1)>0，滿足當φ∈PC1(δ1),(φ0,x0)<δ1時，有(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t≥t0.

定義6脈沖時滯系統(1)的平凡解被稱為是嚴格漸近φ0-穩(wěn)定的，如果對于任意的ε1>0和δ1>0,當(φ0,u0)<δ1時，有(φ0,u1(t))<ε1；同時,對于0<δ2≤δ1,存在0<ε2<δ2，滿足當(φ0,u0)>δ2時,有(φ0,u2(t))>ε2.在φ∈PC1(δ1)∩PC2(δ2)時，有ε2<(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t0+T1≤t≤t0+T2.

在證明之前，引入以下符號：

Ω={P∈C[R+,R+]:P(s)>0,s>0,P(0)=0};

PC1(ξ1)={φ∈PC([-τ,0],Rn):|φ|1<ξ1};

PC2(ξ2)={φ∈PC([-τ,0],Rn):|φ|2>ξ2}.

定理1假設下面的條件成立：

(A1)V1(t,0,0)=0,V2(t,0,0)=0,V1(t,x(t)),V2(t,x(t))相對于K來說關于x(t)滿足局部Lipschitz穩(wěn)定；

(A3)D+(φ0,V1(t,x(t)))≤0；

(A5)D+(φ0,V2(t,x(t)))≥0.

則系統(1)的零解是嚴格一致φ0-穩(wěn)定的．

根據上面幾個式子和條件(A2)得，β1(φ0,x(t;t0,φ))≤(φ0,V1(t,x(t;t0,φ)))<β1(ε1).所以，(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t≥t0.

設0<δ2≤δ1，存在一個0<ε2<δ2，根據條件(A5)，當φ∈PC2(δ2)時，有(φ0,V2(t,x(t)))≥(φ0,V2(t0,x0)).

根據上面幾個式子和條件(A4)可以得到α2(φ0,x(t;t0,φ))≥(φ0,V2(t,x(t;t0,φ)))>α2(ε2)，所以(φ0,x(t;t0,φ))>ε2,t≥t0.

可見，系統(1)的零解是嚴格φ0-穩(wěn)定的，我們要得到的是系統(1)的零解的嚴格一致φ0-穩(wěn)定性，利用條件(A2)和(A4)得到β1(φ0,x(t))≤(φ0,V1(t,x(t)))≤(φ0,V1(t,x0))≤α1(φ0,x0);β2(φ0,x0)≤(φ0,V2(t,x0))≤(φ0,V2(t,x(t)))≤α2(φ0,x(t)),t≥t0.

即系統(1)的零解是嚴格一致φ0-穩(wěn)定的.

定理2假設定理1中的條件都成立，并且滿足以下條件：

(A6)D+V1(t,x(t))≤G1(t,V1(t,x(t)))；

(A7)D+V2(t,x(t))≥G2(t,V2(t,x(t))),G2(t,u)≤G1(t,u),G1(t,0)=G2(t,0).

其中，G1(t,u)和G2(t,u)在K中關于u是單調非減的．如果比較系統(2)和(3)的解是嚴格一致漸近φ0-穩(wěn)定的，則原系統(1)的解也是嚴格一致漸近φ0-穩(wěn)定的．

令α1[(φ0,x0)]=(φ0,u1(t0)),α1(δ1)=δ0.則當(φ0,x0)<δ1和(φ0,u1(t0))=α1[(φ0,x0)]<α1(δ1)=δ0同時成立的情況下，可以得到(φ0,x0)<δ1,(φ0,V1(t,x0))≤β1(ε1).

再根據條件(A6)和(A7)，則V1(t,x(t))≤r1(t;t0,u0),V2(t,x(t))≥r2(t;t0,u0),t≥t0.

(φ0,V1(t,x(t)))≤(φ0,V1(t0,x(t0)))≤(φ0,r1(t;t0,u0))<β1(ε1),

(4)

(φ0,V2(t,x(t)))≥(φ0,V2(t0,x0))≥(φ0,r2(t;t0,u0))≥α2(ε2),t∈[t0+T1,t0+T2].

(5)

由條件(A2)和(A4)，式(4)和(5)可以得到如下的不等式：

β1(φ0,x(t))≤(φ0,V1(t,x(t)))<β1(ε1);α2(φ0,x(t))≥(φ0,V2(t,x(t)))>α2(ε2),t∈[t0+T1,t0+T2].

故δ2<(φ0,x0)<δ1時，ε2<(φ0,x(t;t0,φ))<ε1,t∈[t0+T1,t0+T2].所以，如果比較系統(2)和(3)的解是嚴格一致漸近φ0-穩(wěn)定的，則原系統(1)的解也是嚴格一致漸近φ0-穩(wěn)定的.

[參考文獻]

[1]Bainov,D.d,Stamova,I.M.On the practial stability of the solutions of impulsives systems of differential-difference equations with variable impulsive perturbations[J].Journal of Mathematical Analysis an Applications,1996,200(1):272-288.

[2]Akpan,E.P,Akinyele,O.On φ0-stability of nonlinear systems of differential equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1986,l13(1):562-577.

[3]Akpan,E.P,Akinyele,O.On the φ0-stability of comparison differential systems[J].Journal of Mathematical Analysis Applications[J].1992,164(2):307-324.

[4]Shen,J.H.Razumikhin techniques in impulsive functional differential equations[J].Nonlinear Analysis,1999, 36(1):119-130.

[5]Zhang,Y,Sun,J.T. Strict stability of impulsive functional differential equations[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2005,301(1):237-248.

[6] Olusola Akinyele.Cone-valued Lyapunov functions and stability of impulsive control systems[J].Nonlinear Anal,2000(39):247-259.

[7]葉凱麗,宋強,陳晨.一類非線性微分系統的嚴格實用穩(wěn)定性研究[J].信陽師范學院:自然科學版,2014(1):25-28.

[8]鮑俊艷,高春霞,葛志英.脈沖交互集值微分系統的嚴格穩(wěn)定性[J].河北大學學報:自然科學版,2013,33(1):5-9.

[9]夏正威.基于時間尺度的動力系統的嚴格穩(wěn)定性分析[J].科學技術與工程,2012,12(28):7153-7158.

[10]Zhang C F,Cui B T.Strict asymptotic stability of impulsive systems with time delay[J].Dynamics of Continuous,Discrete and Impulsive System, Series A: Mathematical Analysis,2006(13):960-967.

[11]張春芳,崔寶同.時變脈沖時滯微分系統的嚴格穩(wěn)定性[J].科學技術與工程,2006,6(20):3334-3336.

Strict φ0-stability of Impulsive Differential Systems with Time Delay

ZHANG Chun-fang, ZHU Lian, ZHANG Chuan-jun

(Department of Electronic Information, Anhui Business Vocational College, Hefei Anhui 230041, China)

Abstract:The strictφ0-stability of impulsive differential systems with time delay is considered, some sufficient conditions of strict uniformφ0-stability and strict uniform asymptoticφ0-stability for impulsive differential systems with time delay are obtained via cone-valued Lyapunov function and comparison principle.

Key words:Cone-valued Lyapunov function; Strict uniformφ0-stability; Strict uniform asymptoticφ0-stability

[收稿日期]2016-03-04

[基金項目]安徽省高等學校自然科學研究重點項目“基于復雜系統脆性理論的超導陀螺儀的可靠性研究”(KJ2015A450)；安徽省高等學校自然科學研究一般項目“基于車聯網中無線傳輸的汽車胎壓監(jiān)測系統在校園內的實現研究”(KJ2016B001)。

[作者簡介]張春芳(1982- )，女，講師，碩士，從事脈沖時滯系統的穩(wěn)定性研究。

[中圖分類號]O175.21

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)06-0022-04