●鄭　怡

(寧波市第三中學(xué)　浙江寧波　315040)

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HPM視角下的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪教學(xué)*

●鄭怡

(寧波市第三中學(xué)浙江寧波315040)

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，會(huì)遇到許多“規(guī)定”的現(xiàn)象.“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”在數(shù)學(xué)上就是一種典型的“規(guī)定”，教師在教學(xué)中往往著力于根式與冪之間的互化，而忽視分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的產(chǎn)生過(guò)程.實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)史在體現(xiàn)構(gòu)建和美課堂4個(gè)特征方面可以發(fā)揮重要作用.文章希望通過(guò)借鑒和重構(gòu)歷史、讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的自然產(chǎn)生過(guò)程，來(lái)構(gòu)建“和美課堂”.

關(guān)鍵詞：和美課堂;數(shù)學(xué)史;分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

0引言

近年來(lái)，筆者所在學(xué)校構(gòu)建“和美數(shù)學(xué)課堂”，其內(nèi)涵可概括為“師生之和”“知識(shí)之諧”“方法之美”“情感之悅”4個(gè)方面.“師生之和”是指教學(xué)中要凸顯學(xué)生的主體性和參與度，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人；“知識(shí)之諧”是指教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，再現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生發(fā)展過(guò)程；“方法之美”是指教學(xué)中要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法之美、感受數(shù)學(xué)思維的靈活性和多樣性；“情感之悅”是指教學(xué)中要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生積極的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)史在體現(xiàn)和美課堂4個(gè)特征方面可以發(fā)揮重要作用，如圖1所示.

圖1　數(shù)學(xué)史與和美課堂

“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”在數(shù)學(xué)上就是一種典型的“規(guī)定”，教師在教學(xué)中往往著力于根式與冪之間的互化，而忽視分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的產(chǎn)生過(guò)程.在數(shù)學(xué)史上，任何一個(gè)概念都不可能因?yàn)橐?guī)定而誕生，而是因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題的需要而誕生；一個(gè)概念只有在出現(xiàn)之后，人們才會(huì)對(duì)其合理性進(jìn)行考察，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也不例外.鑒于此，筆者希望通過(guò)借鑒和重構(gòu)歷史,讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的自然產(chǎn)生過(guò)程，來(lái)構(gòu)建“和美課堂”.

1教材與歷史材料

1.1教材

在人教A版高中數(shù)學(xué)教材中，“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”是必修1第2章“基本初等函數(shù)Ⅰ”第1節(jié)中的內(nèi)容.教材根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，由

和

對(duì)于這樣的規(guī)定，學(xué)生難免會(huì)發(fā)出這樣的疑問(wèn)：指數(shù)取分?jǐn)?shù)時(shí)，冪究竟有何含義？怎么會(huì)想到把根式表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？為什么會(huì)這樣規(guī)定？如何知道這樣的規(guī)定是合理的？

1.2歷史材料

冪概念的拓廣與指數(shù)律息息相關(guān).指數(shù)律的歷史可以上溯到古希臘時(shí)期.15～16世紀(jì)，歐洲數(shù)學(xué)家普遍利用指數(shù)和冪之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算[1]，但在斯蒂菲爾之前，似乎并沒(méi)有出現(xiàn)零指數(shù)和負(fù)指數(shù)的情形.德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在其《整數(shù)算術(shù)》中首次將指數(shù)推廣到0和負(fù)整數(shù)的情形：

… -3-2-10123 4 56 …

然而，2的整數(shù)次冪構(gòu)成的數(shù)列的相鄰項(xiàng)之間間隔太大，實(shí)用性不大，比如，要計(jì)算1 234和5 678的乘積，這個(gè)數(shù)列是無(wú)能為力的.為了尋找新的數(shù)列，17世紀(jì)數(shù)學(xué)家采用了2種策略：要么改變冪的底數(shù)，要么改變冪的指數(shù).在改變指數(shù)的嘗試中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪應(yīng)運(yùn)而生：在整數(shù)指數(shù)之間進(jìn)行插值，如在相鄰整數(shù)之間插入算術(shù)平均數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的冪就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪了.將正整數(shù)指數(shù)情形中的“指數(shù)的算術(shù)平均數(shù)對(duì)應(yīng)于冪的幾何平均數(shù)”這一規(guī)律類比到分?jǐn)?shù)指數(shù)的情形，就自然建立起分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的關(guān)系了.我們采用重構(gòu)式，將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的這一產(chǎn)生過(guò)程再現(xiàn)于課堂.

另一方面，為了進(jìn)一步揭示分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的必要性，創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，我們運(yùn)用二戰(zhàn)結(jié)束后荷蘭畫家米格倫偽造名畫的著名案件來(lái)引入本節(jié)課.

2教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

筆者擬定的教學(xué)目標(biāo)是：1)經(jīng)歷冪概念的自然擴(kuò)充過(guò)程，充分感受分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定的合理性，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義；2)能將方根轉(zhuǎn)化成冪的形式；3)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，感悟數(shù)學(xué)文化.

2.1新課引入

教師用歷史上轟動(dòng)一時(shí)的米格倫偽造名畫的案件開場(chǎng)：

二次世界大戰(zhàn)后期，盟軍收復(fù)比利時(shí)，荷蘭保安人員在搜捕納粹同黨時(shí)，發(fā)現(xiàn)荷蘭畫家米格倫曾將17世紀(jì)荷蘭畫家弗美爾的一幅名畫出售給納粹頭目戈林.1945年5月29日，米格倫被控犯有叛國(guó)罪而被捕入獄.但米格倫在獄中聲稱：出售給戈林的那幅畫是他自己的作品！人們都認(rèn)為米格倫在撒謊，其目的是逃避叛國(guó)罪.為了證明自己所說(shuō)屬實(shí)，米格倫在獄中開始偽造弗美爾的另一幅名畫.然而，當(dāng)這幅畫接近尾聲的時(shí)候，米格倫獲悉，他的叛國(guó)罪已被改為偽造罪.于是他拒絕最后完成手頭的那幅畫[2].那么，米格倫究竟是否偽造了弗美爾的畫？要揭示真相，就需要對(duì)畫的真?zhèn)芜M(jìn)行鑒定.

任何一幅油畫的顏料中都含有鉛-210和鐳-226，因此，利用2者的放射性可以判別油畫的年代.經(jīng)過(guò)測(cè)定，油畫中的鉛大約每經(jīng)過(guò)22年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)這個(gè)規(guī)律，人們獲得了油畫中的鉛含量P與年數(shù)t之間的關(guān)系，那么這個(gè)關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢？

2.2回顧舊知，提出問(wèn)題

首先，讓學(xué)生回顧正整數(shù)指數(shù)冪的定義以及運(yùn)算法則，以2n(其中n∈N*)為例，引導(dǎo)學(xué)生建立起2的正整數(shù)指數(shù)冪與指數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：“指數(shù)減1，冪折半”.基于這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將指數(shù)推廣到0和負(fù)整數(shù)，檢驗(yàn)已學(xué)過(guò)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，見(jiàn)表1.

表1　整數(shù)指數(shù)冪與指數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)2的非負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是正整數(shù)，2的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是正分?jǐn)?shù)，即2的整數(shù)指數(shù)冪都是正有理數(shù).

師：觀察相鄰3個(gè)指數(shù)0,1,2所對(duì)應(yīng)的冪1,2,4，其中1和4的算術(shù)平均數(shù)顯然不等于2.

(學(xué)生恍然大悟！)

師：1,2,4這3個(gè)數(shù)中，中間的2與1,4之間究竟有什么關(guān)系？

接下來(lái)，在整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然適用的前提下，驗(yàn)證上述猜測(cè)的合理性：

2.3概念形成

引導(dǎo)學(xué)生從平方根、立方根的概念出發(fā)，類比得出n次方根的定義：若xn=a，則x叫做a的n次方根,其中n>1，n∈N*.

練習(xí)1根據(jù)n次方根的定義分別求出下列各數(shù)的n次方根：

1)25的平方根是________；

2)27的3次方根是________；

3)-32的5次方根是________；

4)16的4次方根是________；

5)a6的3次方根是________；

6)0的7次方根是________.

例1將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式，見(jiàn)表2.

表2　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的轉(zhuǎn)化

2.4思維拓展

在完成2道課堂練習(xí)之后，教師提出2個(gè)問(wèn)題，供學(xué)生交流討論.

教師總結(jié):這是根式運(yùn)算時(shí)經(jīng)常用到的性質(zhì).

2)19世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里司給出無(wú)理量的如下定義：“具有分?jǐn)?shù)指數(shù)的量稱為不盡根，也稱為無(wú)理量.”你覺(jué)得這個(gè)定義嚴(yán)謹(jǐn)嗎？試說(shuō)明理由.

課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲.3學(xué)生反饋

在課后的問(wèn)卷調(diào)查中，筆者設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)問(wèn)題，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)這堂課的接受程度.對(duì)于“本節(jié)課你印象最深的是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由.”有18人回答了“偽造名畫案”或者“數(shù)學(xué)小故事”，有16人回答了“關(guān)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義”或者“指數(shù)冪從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)”，8人提到“數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤”，另外有4人回答了“老師的思維方式”或“老師分析問(wèn)題的方式”，2人提到了“類比的思想方法”，還有2人提到了“一節(jié)課的總結(jié)”.在“你如何看待本節(jié)課的引入方式？這樣的方式你喜歡嗎？本節(jié)課的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義你能接受嗎？這樣定義的方式你認(rèn)為是否自然？”對(duì)于這幾個(gè)問(wèn)題，幾乎所有的學(xué)生都一致認(rèn)為這樣以故事驅(qū)動(dòng)的方式能引起他們的學(xué)習(xí)興趣，非常生動(dòng)形象，深受學(xué)生的喜愛(ài).本節(jié)課這樣定義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的方式學(xué)生認(rèn)為是自然的，是非常容易接受的.

5結(jié)語(yǔ)

本節(jié)課較好地體現(xiàn)了和美課堂的特征.

首先，從歷史發(fā)生的視角進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)歷史的重構(gòu)，將冰冷、生硬的“規(guī)定”，變成自然而然的概念形成過(guò)程，體現(xiàn)了知識(shí)之諧.學(xué)會(huì)探索一種新知的方法往往比僅僅學(xué)會(huì)這種新知更重要.著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“類比是一個(gè)偉大的領(lǐng)路人.”本節(jié)課中，學(xué)生面對(duì)一個(gè)未知的知識(shí)領(lǐng)域，感受到了類比方法在新知探究中的重要性，因而揭示了方法之美.問(wèn)卷調(diào)查表明，用歷史上的米格倫偽造名畫案來(lái)引入，激發(fā)了學(xué)生的興趣和動(dòng)機(jī)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的情感之悅.

本節(jié)課中，教師始終充當(dāng)了引導(dǎo)者的角色，學(xué)生有較為充分的機(jī)會(huì)表達(dá)自己的想法，他們發(fā)言活躍，參與度很高，在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的建構(gòu)過(guò)程中成為主動(dòng)的探索者而非被動(dòng)的接受者，因而達(dá)成了師生之和.此外，通過(guò)歷史上數(shù)學(xué)家的不嚴(yán)謹(jǐn)定義也讓學(xué)生客觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，樹立一種數(shù)學(xué)進(jìn)步觀.

(王曉明校長(zhǎng)在本案例的實(shí)施過(guò)程中給予了指導(dǎo)和支持，特此致謝！)

參考文獻(xiàn)

[1]徐斌,汪曉勤.從指數(shù)律到對(duì)數(shù)[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2010(6):35-38.

[2]汪曉勤.數(shù)學(xué)文化透視[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2013.

修訂日期：*收文日期：2016-03-28；2016-05-04

基金項(xiàng)目：北京人民教育出版社課程與教材研究所“十二五”規(guī)劃課題(KC2014-010)

作者簡(jiǎn)介：鄭怡(1979-)，女，浙江寧波人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號(hào)：O122.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)07-04-04