●李春玲

(海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)　江蘇南通　226600)

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一道奧數(shù)競賽題的推廣*

●李春玲

(海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)江蘇南通226600)

摘要：依據(jù)微分泰勒中值定理確定的在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)存在的凹凸性，對(duì)第3屆IMO的一道競賽題進(jìn)行了合理地?cái)U(kuò)充,證明了2個(gè)優(yōu)美的不等式，從而揭示了解決此類型不等式的一般化方法.

關(guān)鍵詞：內(nèi)切圓；導(dǎo)數(shù)；泰勒中值定理

(第3屆IMO試題)

筆者將這一不等式加以推廣，證明了以下2個(gè)優(yōu)美的不等式．

定理1在△ABC中，記a，b，c為其邊長，S為其面積，k為任意給定的正整數(shù)，則

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，不等式取到等號(hào)．

顯然，當(dāng)k=2時(shí)，該不等式即為例1中的不等式．

定理2在存在內(nèi)切圓的凸n邊形中，設(shè)a1,a2,…,an為其各邊長，S為其面積，k為任意給定的正整數(shù)，則

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，不等式取到等號(hào)．

為了證明上述2個(gè)定理，先證明以下3個(gè)引理．

引理1設(shè)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)，其中x1,x2,…,xn∈(a,b),則

1)當(dāng)f″(x)>0時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，不等式取到等號(hào)．

2)當(dāng)f″(x)<0時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，不等式取到等號(hào)．

…

將上述n個(gè)式子的2邊分別相加，即得

1)當(dāng)f″(x)>0時(shí)，x∈(a,b)，由泰勒中值定理可知，上述每個(gè)中值ξi亦必屬于開區(qū)間(a,b)，從而必有f″(ξi)>0，于是

即

因此，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，不等式取到等號(hào)．

同理可證第2)小題.當(dāng)f″(x)<0時(shí)，x∈(a,b)，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，不等式取到等號(hào)．

引理2設(shè)有n個(gè)正數(shù)，x1,x2,…,xn,k為任意給定的正整數(shù)，則

證明當(dāng)k=1時(shí)，顯然成立.當(dāng)k≥2(其中k∈N)時(shí)，考察函數(shù)f(x)=xk，x∈(0,+∞)，易求得f″(x)=k(k-1)xk-2，從而f″(x)>0，x∈(0,+∞).由引理可得

即

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，不等式取到等號(hào)．

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，不等式取到等號(hào)．

圖1

定理1的證明如圖1所示，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為I，內(nèi)切圓半徑為r，則

從而

于是

a+b+c=r[(tanα1+tanα2)+(tanβ1+tnaβ2)+(tanγ1+tanγ2)],

由引理3，得

于是(a+b+c)2=r2[(tanα1+tanα2)+(tanβ1+tanβ2)+(tanγ1+tanγ2)]2≥

(1)

(2)

知

顯然，欲使不等式取到等號(hào)，必須而且只須不等式(1)和不等式(2)均取到等號(hào)．

根據(jù)引理2的證明可知，若k≥2(其中k∈N)，則不等式(2)取到等號(hào)的充要條件是a=b=c；若k=1，則不等式(2)結(jié)論平凡．但由于不等式(1)取到等號(hào)的充要條件是a=b=c，因此，不等式(2)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取到等號(hào)．

值得指出的是:例1有多種簡潔明快的證法，但是這些證法只限于三角形，難以推廣到有內(nèi)切圓的凸n邊形情形(其中n≥3,n∈N)．筆者給出的定理1的證明顯然給出了例1的新證法，更重要的是此證法不難推廣到一般情形，即用完全類似的方法可以完成定理2的證明．

參考文獻(xiàn)

[1]IMO中國國家集訓(xùn)隊(duì)教練組.數(shù)學(xué)奧林匹克試題集錦[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2010.

[2]鄧東皋.數(shù)學(xué)分析簡明教程(上冊)[M].北京：高等教育出版社,2006.

修訂日期：*收文日期：2016-03-17；2016-04-26

作者簡介：李春玲(1975-)，女，江蘇南通人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號(hào)：O122.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)07-48-03