李曉涵沈陽(yáng)師范大學(xué)

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三階常微分方程的某些非線性特征值問(wèn)題的正解

李曉涵
沈陽(yáng)師范大學(xué)

摘要：三階常微分方程是我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題中常用的一種求解手段。三階常微分方程有很多種，而且在初等數(shù)學(xué)中我們就已經(jīng)學(xué)過(guò)。像對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程、三角方程、二次方程等都屬于三階常微分方程的行列。比如我們初高中時(shí)就學(xué)過(guò)的二元一次方程組，是最簡(jiǎn)單的三階常微分方程了。在本文中，我們通過(guò)與三階常微分方程相關(guān)的例題，了解一下解題方法，以及該問(wèn)題中涉及到的對(duì)于三階常微分方程的應(yīng)用和新的可解類(lèi)型。

關(guān)鍵詞：三階常微分方程；特征解；非線性問(wèn)題

常微分方程在代數(shù)中，是最簡(jiǎn)單但是也是最重要的一類(lèi)方程組，三階常微分方程是我們?cè)诮鉀Q日常生活問(wèn)題中常用的一種手段，三階常微分方程的作用也非常之多，比如在航天領(lǐng)域、自動(dòng)化領(lǐng)域、電子通信領(lǐng)域、化學(xué)反應(yīng)研究領(lǐng)域等，科學(xué)前沿的方方面面都需要用到三階常微分方程來(lái)解決研究中的問(wèn)題。許多難解的問(wèn)題，解法中的式子最后都能化成相應(yīng)的常微分方程，所以常微分方程對(duì)于計(jì)算數(shù)學(xué)是極其重要的。遇到問(wèn)題時(shí)，我們需要在已知條件中找出已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系，并利用已知的關(guān)系列出方程，然后進(jìn)行求解，逐步推出我們需要的未知數(shù)的值。

列方程可能是一個(gè)方程也可能是多個(gè)方程，當(dāng)問(wèn)題逐漸變得復(fù)雜時(shí)，方程自然也會(huì)變得復(fù)雜。根據(jù)不同的問(wèn)題特點(diǎn)，也就產(chǎn)生了不同類(lèi)型的方程組。比如，在求當(dāng)研究到自由落體時(shí)，需要計(jì)算當(dāng)一個(gè)物體自由下落時(shí)，物體距地面的距離與下落時(shí)間的關(guān)系；或者在航天方面，飛行器在發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力作用下，是如何在太空中飛行的以及其最佳軌道的設(shè)計(jì)等。這樣復(fù)雜的問(wèn)題看似無(wú)從下手，但實(shí)際上，與一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題相同，依然是需要在已知的條件中找到已知數(shù)與未知數(shù)關(guān)系的蛛絲馬跡，然后列出相應(yīng)的方程并求解。只不過(guò)，這樣的方程的求解過(guò)程可能非常復(fù)雜，對(duì)于求解的方法要求比較特殊。

在數(shù)學(xué)中，解決這樣的方程是需要一些導(dǎo)數(shù)和微分的知識(shí)基礎(chǔ)，在這樣的實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了一種新的方程形式，叫做微分方程。微分方程就是指未知數(shù)以導(dǎo)數(shù)的形式與已知數(shù)產(chǎn)生關(guān)系，也就是說(shuō)，在微分方程中未知數(shù)是以導(dǎo)數(shù)形式存在的。

幸得微分方程的產(chǎn)生與微積分幾乎是在同一時(shí)期，因此我們就可以有幸地利用微積分的知識(shí)求出一些微分方程的近似解。而三階常微分方程則是指在方程中，未知函數(shù)是一元函數(shù)的三階微分方程。未知函數(shù)如果是多階的，則被稱(chēng)為偏微分方程，這些方程的類(lèi)型以及簡(jiǎn)單類(lèi)型的求解方法在大學(xué)數(shù)學(xué)中都有涉及。

常微分方程的解法以及相關(guān)理論自從其出現(xiàn)開(kāi)始，就可以用百家爭(zhēng)鳴來(lái)形容。許多年來(lái)，各位偉大的數(shù)學(xué)家也給出了各種各樣的方法，以及求解的技巧。對(duì)于三階常微分方程來(lái)說(shuō)，方程組的種類(lèi)影響著方程的解法和解的種類(lèi)，而對(duì)于不同種類(lèi)的方程和解，有不盡相同的解決手段。這還需要掌握一些特殊的定理、方法等等。

現(xiàn)在，人們對(duì)于三階常微分方程的研究已經(jīng)比之前有了極大的進(jìn)步。在對(duì)微分方程的研究中，求出方程的可行解往往是最主要的需求，首先通過(guò)一些方法求得解的通式，然后再根據(jù)具體情況，帶入一些特定值，求出所需要的特征解。但是，在大量的計(jì)算和思考后，人們發(fā)現(xiàn)，能夠準(zhǔn)確地求出通解或者特征解的微分方程并不是很多，大部分的方程都不能準(zhǔn)確地求出其某一組解，哪怕已知一些需要的參數(shù)。人們可以用一定的手段去逼近一個(gè)方程的解，但是也可能只能逼近，不能求出。所以，往往在解方程的過(guò)程中得到的是近似解或者最優(yōu)解，而不是像簡(jiǎn)單的一元一次方程那樣得到確定的解。

后來(lái)，在現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用中，人們又發(fā)現(xiàn)，往往解決問(wèn)題并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程組在什么情況下會(huì)出現(xiàn)什么類(lèi)型的解，就能滿(mǎn)足一些生產(chǎn)生活的需要了。比如，給定一個(gè)方程，我們需要知道該方程在什么情況下存在解，什么情況下不存在解；或者，在給定方程的前提下，能夠知道在什么條件下能求出幾組通解，而哪些通解是對(duì)于我們求出所需特解有價(jià)值、有作用的。往往我們現(xiàn)在關(guān)注的多是這樣的問(wèn)題，而不僅僅限于尋找微分方程的解上。三階常微分方程的作用非常之多，比如在航天領(lǐng)域、自動(dòng)化領(lǐng)域、電子通信領(lǐng)域、化學(xué)反應(yīng)研究領(lǐng)域等，科學(xué)前沿的方方面面都需要用到三階常微分方程來(lái)解決研究中的問(wèn)題。研究三階常微分方程的新的可解類(lèi)型，是幫助我們?cè)诟鱾€(gè)學(xué)科中，處理難題，突破難關(guān)的重要途徑。所以我們需要對(duì)三階常微分方程的新的可解類(lèi)型進(jìn)行更深的研究，通過(guò)對(duì)方程組的解析來(lái)促進(jìn)各個(gè)學(xué)科的蓬勃發(fā)展。

許多微分方程要求求出方程的近似解，并且保證一定范圍內(nèi)的精確度就可以，人類(lèi)的科技在不斷發(fā)展，所需要的精確度也會(huì)越來(lái)越高，而隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步，能夠求出的精確度也會(huì)越來(lái)越高，才能適應(yīng)其他學(xué)科對(duì)于數(shù)學(xué)手段的需求。尋找三階常微分方程的新的可解類(lèi)型是研究微分方程的科學(xué)家們、數(shù)學(xué)家們一直努力的目標(biāo)。目前，已知的可解類(lèi)型并不多，在變化眾多的方程組中，目前已知的可解類(lèi)型相比之下，還是屈指可數(shù)的，還需要通過(guò)大量的研究才能判斷和解決其他的可解類(lèi)型的三階常微分方程。

結(jié)束語(yǔ)

微分方程就是指未知數(shù)以導(dǎo)數(shù)的形式與已知數(shù)產(chǎn)生關(guān)系，也就是說(shuō)，在微分方程中未知數(shù)是以導(dǎo)數(shù)形式存在的。這樣的方程的求解過(guò)程可能非常復(fù)雜，對(duì)于求解的方法要求比較特殊。我們就可以利用微積分的知識(shí)求出一些微分方程的近似解。三階常微分方程的作用非常之多，比如在航天領(lǐng)域、自動(dòng)化領(lǐng)域、機(jī)械制造領(lǐng)域、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域、電子通信領(lǐng)域、化學(xué)反應(yīng)研究領(lǐng)域等。雖然現(xiàn)在，人們對(duì)于三階常微分方程的研究已經(jīng)比之前有了極大的進(jìn)步，但對(duì)于浩淼的數(shù)字海洋來(lái)說(shuō)，可數(shù)的幾個(gè)定理或者方法技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。我們還需要對(duì)三階常微分方程的新的可解類(lèi)型進(jìn)行更深的研究，以達(dá)到科技進(jìn)步、改變生活的目的。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：李曉涵（1994-），女，遼寧省凌源人，沈陽(yáng)師范大學(xué)，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）。