宋 強(qiáng)，師會(huì)超

（安陽(yáng)工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河南安陽(yáng)455000）

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“控制工程基礎(chǔ)”課程中梅遜增益公式的應(yīng)用技巧

宋 強(qiáng)，師會(huì)超

（安陽(yáng)工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河南安陽(yáng)455000）

摘要：提出了通過(guò)計(jì)算機(jī)檢索和分叉法來(lái)確定梅遜增益公式的回路和前向通道傳遞函數(shù)，確定特征余因子，利用梅遜公式求解系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，為正確運(yùn)用梅遜增益應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：梅遜公式；計(jì)算機(jī)檢索；分叉法；傳遞函數(shù)

0引言

在“控制工程基礎(chǔ)”課程教學(xué)中，很多同學(xué)感覺(jué)這門(mén)課程概念多、公式多、應(yīng)用多，糅合物理化學(xué)加之?dāng)?shù)學(xué)，學(xué)起來(lái)很難理解，剛開(kāi)始學(xué)生信誓旦旦一定要學(xué)好，但隨著課程地不斷深入，學(xué)生有點(diǎn)吃不消了，感覺(jué)此門(mén)課“難于上青天”，隨之第二章第三章呼嘯而來(lái)，大多同學(xué)乖乖舉手投降、上課時(shí)在呼呼黃粱美夢(mèng)中度過(guò)十分珍貴的時(shí)間！為此，為了學(xué)好這門(mén)課程，我們來(lái)列舉一些學(xué)習(xí)技巧以供參考。控制工程基礎(chǔ)課程我們只講單輸入單輸出的經(jīng)典控制理論，簡(jiǎn)單的單回路控制同學(xué)們還能理解，對(duì)于復(fù)雜的控制系統(tǒng)，大多同學(xué)感覺(jué)云里霧里迷茫一片。解決復(fù)雜控制系統(tǒng)一般由方框圖化簡(jiǎn)法或采用梅遜增益公式求解，采用方框圖化簡(jiǎn)一般要移動(dòng)求和點(diǎn)或引出點(diǎn)，對(duì)于互相交叉且回路眾多的復(fù)雜系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，方框圖化簡(jiǎn)也很難湊效，這種系統(tǒng)我們只好求助于梅遜增益公式，梅遜增益公式的學(xué)習(xí)有些技巧，下面就計(jì)算機(jī)檢索法和分叉法進(jìn)行介紹。

1 梅遜公式的應(yīng)用

當(dāng)系統(tǒng)信號(hào)流圖已知時(shí)，可以用公式直接求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這個(gè)公式就是梅遜公式。由于信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖存在著相應(yīng)的關(guān)系，因此梅遜公式同樣也適用于結(jié)構(gòu)圖。

梅遜公式給出了系統(tǒng)信號(hào)流圖中，任意輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)之間的增益，即傳遞函數(shù)。其公式為

式中n——從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路的總條數(shù)。

Pk——從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通路總增益。

Δ——為特征式，由系統(tǒng)信號(hào)流圖中各回路增益確定：

Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…

式中 ∑La——所有單獨(dú)回路增益之和；

∑LbLc——所有存在的兩個(gè)互不接觸的單獨(dú)回路增益乘積之和；

∑LdLeLf——所有存在的三個(gè)互不接觸的單獨(dú)回路增益乘積之和；

Δk——為第k條前向通路特征式的余因子式，即在信號(hào)流圖中，除去與第k條前向通路接觸的回路后的Δ值的剩余部分。

上述公式中的接觸回路是指具有共同節(jié)點(diǎn)的回路，反之稱為不接觸回路。與第k條前向通路具有共同節(jié)點(diǎn)的回路稱為與第k條前向通路接觸的回路。由梅遜公式可以看出，總增益P實(shí)際上就是系統(tǒng)某兩點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)，特征式Δ實(shí)際上就是閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。

根據(jù)梅遜公式計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，首要問(wèn)題是正確識(shí)別所有的回路并區(qū)分它們是否相互接觸，正確識(shí)別所規(guī)定的輸入與輸出節(jié)點(diǎn)之間的所有前向通路及與其相接觸的回路。

采用這種方法，要注意以下過(guò)程：

1）要搞清回環(huán)的個(gè)數(shù)，定要數(shù)清單回路的個(gè)數(shù)；搞不清回路的個(gè)數(shù)，第一步就計(jì)算錯(cuò)了，這是梅遜增益公式應(yīng)用的基礎(chǔ)。

2）要注意互不接觸回路的個(gè)數(shù)，一般三個(gè)不接觸回路基本不存在，我們一般使用“計(jì)算機(jī)檢索”的方法來(lái)決定互不接觸回路的個(gè)數(shù)，所謂計(jì)算機(jī)檢索的方法，將加入控制系統(tǒng)有n個(gè)互不相同的回路，定義為L(zhǎng)n（n=1，2，3，…，n），從L1回路開(kāi)始依次和L2、L3、…，Ln看能否構(gòu)成兩個(gè)互不接觸回路，如果兩個(gè)回路沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)就構(gòu)成兩個(gè)互不接觸回路，L1檢索結(jié)束再?gòu)幕芈稬2回路開(kāi)始檢索，L2結(jié)束再?gòu)腖3開(kāi)始，直至檢索到Ln結(jié)束。這樣重復(fù)的檢索次數(shù)為

，按照此方法不會(huì)漏掉一個(gè)兩個(gè)互不接觸回路。也可以按照計(jì)算每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積，如果發(fā)現(xiàn)計(jì)算的傳遞函數(shù)有某個(gè)傳遞函數(shù)的平方，那一定計(jì)算錯(cuò)了。仔細(xì)檢查就可以確定那部分錯(cuò)了。

3）對(duì)于第k條前向通道特征余因子的確定技巧。定義Δk為第k條前向通路特征式的余因子式，即在信號(hào)流圖中，除去與第k條前向通路接觸的回路后的Δ值的剩余部分。里面包含兩層意思；第一，特征余因子Δk是和第k條前向通道相對(duì)應(yīng)的，也就是與第一條前向通道P1對(duì)應(yīng)的特征余因子是Δ1，與第二條前向通道P2對(duì)應(yīng)的特征余因子是Δ2，與第k條前向通道P1對(duì)應(yīng)的特征余因子是Δk，也就是說(shuō)特征余因子是相對(duì)于某條前向通道而言的，前向通道變化了其對(duì)應(yīng)的特征余因子也會(huì)變化。第二，Δk的求取方法：對(duì)于前向通道P2的相對(duì)應(yīng)的Δ2，與前向通道P2相接觸的回路代以零值，不接觸的回路保留原值，這樣就可以確定Δ2，對(duì)于三個(gè)不接觸回路也是在Δ的基礎(chǔ)之上求取的。

4）分叉法從信號(hào)流圖中輸入節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，作為分叉法的第一層。只考慮從此節(jié)點(diǎn)流出的箭頭而不考慮流入的箭頭，到達(dá)下一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為第二層。同理依照箭頭方向依次向下傳遞作為第i+1層，直至到達(dá)輸出節(jié)點(diǎn)。輸入節(jié)點(diǎn)級(jí)別最高，輸出節(jié)點(diǎn)級(jí)別最低。

下面列舉一些例子來(lái)闡述

例1試求如圖1所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：步驟1：找出前向通路數(shù)n

前向通路數(shù)：n＝1，P1=G1G2G3G4G5G6

步驟2：確定系統(tǒng)中的反饋回路及其增益

L1=-G1G2G3G4G5G6H1，L2=-G2G3H2，L3=-G4G5H3，L4=-G3G4H4

步驟3：利用梅遜公式求傳遞函數(shù)

使用計(jì)算機(jī)檢索方法，L2l3兩兩互不接觸

例2用梅遜公式求如圖2所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖2 系統(tǒng)的方框圖

解：步驟1：確定反饋回路L1=-G1G2G3，L2=-G1G2H1，L3=-G2G3H2，L4=-G1G4

L5=-G4H2

步驟2：確定前向通路P1=G1G2G3，Δ1=1，P2=G1G4，Δ2=1

步驟3：求總傳遞函數(shù)

3 結(jié)論

本文針對(duì)梅遜公式的應(yīng)用提出了計(jì)算機(jī)搜索和分叉法等方法和應(yīng)用技巧，這些為準(zhǔn)確理解、靈活運(yùn)用梅遜公式及其應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，是值得研究和思索的。

參考文獻(xiàn)：

［1］宋強(qiáng).機(jī)械工程控制基礎(chǔ)［M］.北京：中國(guó)鐵道出版社，2014.

（責(zé)任編輯：郝安林）

Mason Gain Formula Application Skills

SONG Qiang，SHI Huichao
（School of Mechanical Engineering Anyang Institute of Techonogy，Anyang 455000，China）

Abstract：This paper presents a computer retrieval and bifurcation method to determine the mason gain formula of circuit and the forward channel transfer function，also determine the characteristics of more factors，using ma?son formula to solve the system closed loop transfer function，laid the foundation for the correct use mason gain application.In this article，through specific examples.

Key words:Mason formula；computer retrieval；bifurcation method；the transfer function

中圖分類號(hào)：G420

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-2928（2016）02-0119-03

收稿日期：2015-01-03

作者簡(jiǎn)介：宋強(qiáng)（1972-），男，安陽(yáng)工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院副教授，研究方向：智能控制、過(guò)程控制、計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用。