葉曉峰，張博涵（華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西　南昌330013）

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非倍測度下Marcinkiewicz積分的加權(quán)Morrey估計

葉曉峰，張博涵
（華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西南昌330013）

摘要：研究了非倍測度下Marcinkiewicz積分算子M的加權(quán)Morrey估計。利用反向Ho咬lder不等式和函數(shù)分解理論，在權(quán)函數(shù)ω滿足Ap（μ）條件時，獲得了積分算子M是從Lp，k（ω）到弱Lp，k（ω）有界的，其中1≤p＜∞，0＜k＜1；從而將Marcinkiewicz積分算子的有界性結(jié)果推廣到了非倍測度空間。

關(guān)鍵詞：加權(quán)Morrey空間；非倍測度；Marcinkiewicz積分算子；Ap（μ）權(quán)

設(shè)μ是Rd上的Lebesgue測度，2008年Komori Y和Shirai S引入了加權(quán)Morrey空間，討論了Hardy-Littlewood極大算子、Caldero贊n-Zygmund（C－Z）奇異積分算子和分?jǐn)?shù)次積分算子等經(jīng)典算子及交換子在加權(quán)Morrey空間上的有界性［1］。由于Morrey空間在方程局部正則性問題中起著重要的作用，相應(yīng)的加權(quán)Morrey空間也引起了許多學(xué)者的關(guān)注，相關(guān)的結(jié)論可參考文獻(xiàn)[2-4]。特別地，2013年傅尊偉，陸善鎮(zhèn)和史紹光在加權(quán)Morrey空間上考慮了橢圓方程的局部正則性問題［5］。另一方面，非倍測度理論起源于Nazarov F，Treil S和Volberg A，討論了非倍測度下的T（1）定理［6］。1998年，Darid G討論了T（b）定理并解決了Titushkin猜想［7］(T （b）定理的證明也可參考［8］)，從而進(jìn)一步引起廣大學(xué)者的關(guān)注并發(fā)現(xiàn)在非倍測度下大部分調(diào)和分析中的經(jīng)典結(jié)果仍然成立。由此引發(fā)思考，加權(quán)Morrey空間的相關(guān)結(jié)論在非倍測度下是否也仍然成立呢？

當(dāng)Rd上的Radon非負(fù)測度μ滿足增長性條件：對任意的方體Q奐Rd，有μ（Q）≤Cln，本文中符號C會在不同的地方出現(xiàn)，表示不同的常數(shù)，但都與主要參數(shù)無關(guān)；其中0＜n≤d，l是方體的邊長。本文將討論Marcinkiewicz算子在加權(quán)Morrey空間上的弱有界性問題。

設(shè)K（·，·）：Rd×Rd→R是局部可積函數(shù)，若對任意的x，y∈Rd，x≠y，存在常數(shù)C＞0，使得

以及對于任意的x，x′，y∈Rd且，存在常數(shù)0＜ε≤1和C＞0，使得。

對于上述的核函數(shù)K（x，y）以及非倍測度μ，定義Marcinkiewicz積分算子為

2005年，江寅生得到了Marcinkiewicz積分算子M是H1（μ）到L1（μ）以及L∞（μ）到RBLO（μ）有界的［9］。2007年，胡國恩，林海波和楊大春證明了積分算子M也是弱（L1（μ），L1（μ））有界的［10］。2012年，王松柏，江寅生和李德寶考慮了當(dāng)權(quán)函數(shù)ω∈Aρp時，積分算子M的弱（Lp（ω），Lp（ω））有界性［11］。

非倍測度下的Muckenhoupt權(quán)Aρp，（ρ＝1）是Orobitg J和Pe贊rez C［12］首次引入的，對于一般的ρ∈［1,∞），Komori Y給出了詳細(xì)介紹［13］。

定義1［13］設(shè)ρ∈［1,∞），0＜p＜∞，若對于任意的方體Q和權(quán)函數(shù)ω（x），存在正數(shù)C＞0，滿足不等式

則稱ω∈Aρp（μ）；若滿足不等式

則稱ω∈Aρ1（μ）；并令A(yù)ρ∞（μ）＝∪∞p=1Aρp（μ）。由定義可知A1p（μ）奐Aρp（μ）（簡記為A1p（μ）=Ap（μ））。

定義2設(shè)1≤p＜∞，0＜k＜1，σ∈［1,∞），對于局部可積的權(quán)函數(shù)ω（x），定義加權(quán)Morrey空間為這里范數(shù)定義為

定理1設(shè)1≤p＜∞，σ，k＞1以及ω∈Ap（μ）。若Marcinkiewicz算子M是L2有界的，則M也是Lp，λ（σ，ω）到弱Lp，λ（σ，ω）有界的。即存在常數(shù)C＞0，對任意的λ＞0有方體Q奐Rd表示邊長平行于坐標(biāo)軸的方體，l（Q）表示其邊長，ρQ便是與方體Q同心，邊長是ρ倍的方體。

1 準(zhǔn)備工作

為了定理1的證明，下面我們先介紹幾個相關(guān)的引理。

引理1［12］設(shè)ρ＞1，ω∈Aρp（μ），Marcinkiewicz積分算子在L2（μ）上有界，則對于任意的1≤p＜∞，算子M也是從Lp（ω）到Lp，∞（ω）上弱有界的。即對任意的正數(shù)λ＞0和C＞0，有

其中：f是具有緊支集的有界函數(shù)，C僅與d，ρ，p和n有關(guān)。

下面我們給出A∞（μ）的一系列等價條件。

引理2［13］對于任意的權(quán)函數(shù)ω，下列條件等價：

①ω∈A∞（μ）；

④對于任意的方體Q以及λ＞ωQ，存在正數(shù)C和β，使得

⑤ω滿足反Ho咬lder不等式：即對任意的方體Q，存在正數(shù)C和δ，使得

⑥對于任意的方體Q以及子方體E奐Q，存在正數(shù)C和0＜ε＜1，使得

對于加權(quán)Morrey空間，發(fā)現(xiàn)參數(shù)σ＞1實際上對于空間的定義并沒有本質(zhì)的影響，我們有如下性質(zhì)。

性質(zhì)1 設(shè)1≤p＜∞，0＜k＜1以及權(quán)函數(shù)ω（x）,則對于任意的σ1σ2＞1我們有Lp，k（σ1，ω）≈Lp，k（σ2，ω）。

證明 不妨設(shè)1＜σ1≤σ2。由加權(quán)Morrey空間的定義顯然有Lp，k（σ1，ω）奐Lp，k（σ2，ω），我們只需要考慮另一邊的包含關(guān)系。對于任意的方體Q奐Rd，易知存在一列等邊長的方體列：Q1，Q2，…，QN使得方體并且σ2Qi奐σ1Qi（i＝1，2，…，N），其中自然數(shù)運用上面的覆蓋過程，對于任意的方體Q奐 Rd，我們有

因此，我們只需考慮Lp，k（2，ω）≡Lp，k（ω）的情形。

2 定理1 的證明

本節(jié)我們將利用前面所給的引理和性質(zhì)來討論定理的證明。

定理1的證明：對于任意的方體Q=Q（x0，l）以及具有緊支集的有界函數(shù)f（x）∈Lp，k（ω），我們可以將函數(shù)f分解為f = f χ2Q+ f χRd/2Q≡f1+ f2，其中χ2Q是特征函數(shù)，從而有

對于I部分，直接使用引理1，有

對于J部分，由于倍測度條件不滿足，原有的方法失效。此處我們使用了權(quán)函數(shù)與測度之間的比較性質(zhì)（引理2（f））以及非倍測度的增長性條件解決了問題。具體地，注意到對于任意的x∈Q,利用Minkowski不等式，有

由于x∈Q，y∈Rd 2Q則有以及，從而有

另一方面，由Ap（μ）權(quán)的條件知。

并且注意到引理2.2（f），從而M f2（x）有如下估計

從而由測度μ的增長性條件μ（Q）≤Cln，則有

最后再次利用測度μ的增長性條件，從而有

從而定理得證。。

參考文獻(xiàn)：

[1] KOMORI Y，SHIRAI S. Weighted Morrey spaces and a singular integral operator [J]. Math Nachr，2009，282（2）：219-231.

[2] WANG H. Intrinsic square functions on the weighted Morrey spaces [J]. J Math Anal Appl，2012，396（1）：302-314.

[3]王華，劉和平. Bochner-Riesz算子在加權(quán)Morrey空間上的一些估計[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2012，55（3）：551-560.

[4] YE X F，ZHU X S. Estimates of singular integrals and multilinear commutators in the weighted Morrey spaces[J]. J of Inequ and Appl，2012，8（1）：1－13.

[5] FU，Z W，LU，S Z，SHI S G. Boundedness of sublinear operators on weighted Morrey spaces and applications[J]. [EB/OL]. （2012－08－14）[2015-11-30]. http：//arxiv.org/pdf/1208.

[6] NAZAROV F，TREILS. VOLBERG, A. Cauchy integral and Calderón-Zygmund operators on nonhomogeneous spaces[J]. Int. Math Res Not，1997，15：703-726.

[7] David G. Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity [J]. Revista Mat Ibero，1998，14（2）：369-479.

[8] NAZAROV F，TREIL S，VOLBERG A.The Tb-theorem on nonhomogeneous spaces [J]. Acta Math，2003，190（2）：151-239.

[9] JIANG Y S. Spaces of type BLO for non-doubling measures [J]. Proc Amer Math Soc，2005，133（7）：2101-2107.

[10] HU G E，LIN H B，YANG D C. Marcinkiewicz integrals with non-doubling measures [J]. Integral Equations Operator Theory，2007，58（20）：205-238.

[11] WANG S B，JIANG Y S，LI D B. Weighted estimates for Marcinkiewicz integrals with nondoubling measures[J]. J Math Research Appli，2012，32（2）：223-234.

[12] OROGITG J，PEREZ C. weights for nondoubling measures inand application [J]. Trans Amer Math Soc，2002，354：2013-2033.

[13] KOMORI Y. Weighted estimates for operators generated by maximal functions on non-homogeneous spaces[J]. Georgian Math J，2005，12（1）：121-130.

[14] SAWANO Y，TANAKA H. Morrey spaces for non-doubling measures [J]. Acta Math Sinica，2005，21（6）：1535-1544.

（責(zé)任編輯 姜紅貴）

Weighted Morrey Estimates of Marcinkiewicz Integral Operators in Non-Doubling Measures

Ye Xiaofeng，Zhang Bohan
（School of Science, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China）

Abstract：In non-doubling measures, the boundedness of Marcinkiewicz integral operator M is investigated on weighted Morrey spaces. When weight function ω satisfies the condition of Ap（μ）, the operators M is bounded from Lp，k（ω）to weak Lp，k（ω）, where 1≤p＜∞，0＜k＜1. It mainly generalizes the result of Marcinkiewicz integral operator in non-doubling measures.

Key words：weighted Morrey spaces; non-doubling measure; Marcinkiewicz integral；Ap（μ）

中圖分類號：O174.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1005-0523（2016）03-0110-05

收稿日期：2015－11－30

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助（11161021）；江西省高?？萍悸涞仨椖抠Y助（KJLD12067）；江西省青年科學(xué)基金資助（20142BAB211009）

作者簡介：葉曉峰（1980—），男，副教授，研究方向為調(diào)和分析。