李雨

(廣西電力系統(tǒng)最優(yōu)化與節(jié)能技術重點實驗室，廣西 南寧 530004)

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基于希爾伯特-黃變換的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法

李雨

(廣西電力系統(tǒng)最優(yōu)化與節(jié)能技術重點實驗室，廣西 南寧 530004)

摘要：采用特征值求解分析系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定時存在不足：全部特征值的求解在大規(guī)模電力系統(tǒng)中會出現“維數災”；分析大規(guī)模系統(tǒng)的部分特征值求解方法可能遺漏某些重要的模態(tài)。為此，提出一種基于時域特性曲線分析的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法。該方法基于矩陣指數函數的計算，獲得表征系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的時頻特性曲線，通過希爾伯特-黃變換(Hilbert-HuangTransform，HHT)方法分析該時頻特性曲線獲取系統(tǒng)的模態(tài)參數，進行小干擾穩(wěn)定分析。最后，通過WSCC3機9節(jié)點系統(tǒng)算例驗證了該方法的有效性。

關鍵詞：電力系統(tǒng)；時域仿真；矩陣指數計算；小干擾穩(wěn)定分析；希爾伯特-黃變換

現代電力系統(tǒng)逐步向超大型互聯電力系統(tǒng)發(fā)展，電網負荷需求逐年增加、輸電線路的輸送功率不斷增大，電力系統(tǒng)的運行條件變得日益緊張，小干擾穩(wěn)定問題頻繁出現，已經成為制約聯絡線功率傳輸和互聯電網安全穩(wěn)定運行的重要因素[1-2]。

常用的計算小干擾穩(wěn)定的方法是基于狀態(tài)矩陣的特征值計算，通過判斷特征值實部在負半軸的情況說明系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。計算特征值的方法有QR法(利用矩陣的QR分解，逐步按遞推法構造矩陣分解序列的過程，其中Q為正規(guī)正交矩陣，R為上三角形矩陣)，其魯棒性強，收斂速度快，但不能稀疏實現，因而不能適應于大規(guī)模電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性分析[3]。對于大規(guī)模電力系統(tǒng)，QR計算方法存在“維數災”，很多學者對關鍵特征值的求解進行了研究。文獻[4]提出了一種借助Cayley變換將關鍵特征值計算變?yōu)橹魈卣髦涤嬎愕姆椒?，導出了基于稀疏增廣狀態(tài)矩陣的冪法迭代公式；文獻[5]應用Jacobi-Davidson方法求取系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的關鍵特征子集，使用了電力系統(tǒng)線性化模型中的增廣狀態(tài)矩陣進行相應面向稀疏的計算。文獻[6]把Krylov-Schur方法應用于大規(guī)模電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性分析，求取狀態(tài)矩陣阻尼比最小的部分特征值。這些方法只計算一部分對穩(wěn)定性判別有關鍵影響的特征值，以確保計算精度和速度都可以滿足大規(guī)模電力系統(tǒng)的要求，但不能保證所有負阻尼和弱阻尼模式不被漏掉。為了避免特征值直接求解的不足，本文應用小擾動后系統(tǒng)的時頻特性，直接獲取狀態(tài)矩陣的跡的軌跡，從而獲取系統(tǒng)的振蕩參數，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。獲取狀態(tài)矩陣的跡的軌跡就是對狀態(tài)矩陣進行指數計算，在矩陣指數計算常用的數值方法中，縮放平方法因其更少的矩陣乘法和開方計算而具有更高的計算效率和準確度。

電力系統(tǒng)運行過程中，小干擾失穩(wěn)多體現為低頻振蕩問題，衡量機電振蕩模式有2個常用指標：衰減系數σ和阻尼比ζ。ζ計及了振蕩頻率，因此使用起來更為方便，目前ζ已成為衡量小干擾穩(wěn)定性最主要的指標[7]。對于實際電網，機電振蕩模式下ζ應達到多少并沒有統(tǒng)一定義，其典型值的大致范圍為0.02～0.05。

李雨：基于希爾伯特-黃變換的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)方法用于分析振蕩信號時，既能處理線性、平穩(wěn)信號，又能處理非線性、非平穩(wěn)信號，是一種可以根據信號的局部時變特征進行自適應時頻分解的分析方法。本文采用HHT方法對系統(tǒng)跡的軌跡進行自適應分解，得到相關時頻分量，并對每個分量經過Hilbert變換計算出振蕩頻率、阻尼比ζ等系統(tǒng)的振蕩特性參數，然后根據與系統(tǒng)小干擾振蕩的對應關系將這些參數轉換成系統(tǒng)的關鍵模態(tài)值，從而反映出系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定情況。最后，本文在WSCC 3機9節(jié)點系統(tǒng)算例中驗證該方法的有效性。

1小干擾穩(wěn)定分析一般性描述

在描述電力系統(tǒng)動態(tài)特性的微分-代數方程上根據李雅普諾夫線性化理論，在系統(tǒng)平衡點進行線性化，得到小干擾穩(wěn)定的微分代數方程：

(1)

對式(1)消去運行向量Δy得：

(2)

基于線性定常時不變系統(tǒng)的時域解，則式(2)的時域解

(3)

式中Δx(0)為系統(tǒng)自由運動的初始狀態(tài)。

設λ、v、uT分別表示狀態(tài)矩陣A的特征值及對應的右向量、左向量，文獻[3]給出了式(3)對應的原始狀態(tài)向量的時域解

(4)

基于式(3)、(4)可知

(6)

式中tr(*)為矩陣的跡。

令y(t)=tr(eAt)，則y(t)表示了所有特征值的指數函數線性和。

2縮放平方法

對于矩陣指數的求解方法，文獻[8]應用精細積分法求解，文獻[9]給出了19種求解方法，其中縮放平方法是應用最廣泛有效的求解方法。其以2的冪次縮放矩陣來使得矩陣的范數減少到1階，同時應用Padé逼近來獲取矩陣指數的近似值，然后重復平方來撤銷縮小的效果[10]。該方法應用表達式為

(7)

(8)

3HHT理論

3.1經驗模態(tài)分解

HHT方法的核心部分在于經驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)過程，在這個過程中定義了使得進行Hilbert變換求取的瞬時頻率具有物理意義的固有模態(tài)函數(intrinsic mode function，IMF)信號。IMF信號滿足以下兩個條件[11-12]：條件一，在所有的分析數據段，極值點的個數和零點的個數必須相等或差值至多為1；條件二，在任意時間點上，分別由局部極大值點、局部極小值點形成的兩條包絡線的均值為零。但是第二個條件是很難達到的，研究者對此有不同的近似處理方法，在本文中IMF的篩選條件采用的是法國學者G-Rilling于2003年提出的基于模態(tài)幅值和估計函數的改進準則[12]。

EMD分解的具體步驟：

a)找到原始信號s(t)的所有極大值和極小值點，分別用三次埃爾米特插值函數得到s(t)的上、下包絡線emax(t)、emin(t)；

c)將h(t)作為新的s(t)，重復步驟a)、b)，直到h(t)滿足IMF條件則停止，此時得到第一階IMF記作c1(t)；

d)將r(t)=s(t)-c1(t)作為新的s(t)，重復步驟a)、b)、c)，依次得到第二階IMF、第三階IMF，……，最終可得：

(10)

式中：ci(t)為第i個IMF分量；r(t)為剩余量。

① 估計函數β(t)∈(θ1,θ2)，θ1、θ2分別為估計函數數值的上下限，θ1、θ2一般取值0.05、0.5。

② 滿足條件①的序列數與總序列數的比值達到1-α，α為可根據需要設置數值的變量，α一般取值0.05；

③ 過零點數和極值點數相等或相差1。

分解終止條件，應用的是Huang[13]等人在提出EMD分解的同時給出的分解終止條件。

3.2Hilbert變換

對任一上述分解得到的IMF信號ci(t)，Hilbert變換為

(11)

式中τ為積分變量。

即可獲得解析信號

(12)

式中：a(t)為信號的瞬時幅值；φ(t)為信號的瞬時相位。

從而信號的瞬時幅值a(t)、瞬時相位φ(t)和瞬時頻率f(t)的計算如下：

3.3小干擾穩(wěn)定信息的提取

一個振蕩模式λ1,2=σ±jω可以表達為

(14)

式中：A0為b(t)的幅值；ω為角速度；φ為相位。

其響應特性

式中ω0為初始角速度。

那么阻尼比

(15)

如果一個振蕩信號x(t)是多個不同頻率的振蕩模式的線性和，即

(16)

該信號進行HHT轉換得到

(17)

式(16)、(17)中：Ak為第k個模態(tài)的幅值；σk為第k個模態(tài)的衰減系數；ωk為第k個模態(tài)的角速度；φk為第k個模態(tài)的相位；ak(t)為第k個IMF信號的幅值；φk(t)為第k個IMF信號的相位。

則可知每個IMF分量對應一個振蕩模式，通過求解IMF的幅值、頻率可獲得系統(tǒng)的模態(tài)參數。

4算例分析

本文采用WSCC3機9節(jié)點系統(tǒng)算例進行分析，其結構框架如圖1所示，結構參數見文獻[14]，發(fā)電機采用六階模型。

文獻[3]給出了詳細的狀態(tài)矩陣形成過程，本文不再敘述。由于系統(tǒng)都會存在一個0的特征值，其指數函數數值為常數1，所以不需要求解該特征值，就在獲取的數值曲線上減去1。取仿真時長為10s，步長為0.05s，獲得該系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣指數函數曲線y(t)如圖2所示。

對y(t)進行EMD分解獲得兩個固有模態(tài)分量f1、f2以及剩余分量r，如圖3所示。

按式(13)求解每個IMF的瞬時幅值、瞬時相位和瞬時頻率。

由式(16)、(17)的對應關系得

(18)

式中：fi、σi、ζi分別為原信號不同頻率分量的頻率、衰減系數和阻尼比；fj、aj為每個IMF的瞬時頻率和瞬時幅值。

對圖3中的每個IMF分量的瞬時值進行最小二乘法擬合并應用式(13)和式(18)進行計算，獲得IMF分量的頻率、衰減系數和阻尼比參數(見表1)。

從表1可以知道原信號分解后獲得兩個振蕩模式-1.099 0±j12.445 0(此處12.445 0=2πf)、-0.324 6±j7.709 0和一個衰減模態(tài)，阻尼比分別為0.088、0.042、1。與對該系統(tǒng)進行QR求解得到特征值的對照見表2。

表2本文方法與QR算法的比較

QR算法計算結果存在兩個振蕩模態(tài)，本文所提算法能較準確地判斷系統(tǒng)的振蕩模態(tài)。

5結束語

本文基于矩陣指數函數的計算，獲得表征系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的時頻特性曲線。通過HHT方法對該曲線進行分解轉換，求解出每個分量的瞬時幅值、瞬時相位及瞬時頻率。根據曲線特性與分解分量的關系計算出小干擾穩(wěn)定分析的各模態(tài)參數，判定穩(wěn)定性。本文的優(yōu)點在于通過曲線獲得振蕩模態(tài)參數，避免大量特征值的計算，快速準確，為大系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定在線分析提供依據。

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AnalysisMethodforSmallSignalStabilityofPowerSystemBasedon

Hilbert-HuangTransformLIYu

(GuangxiKeyLaboratoryofPowerSystemOptimizationandEnergyTechnology,Nanning,Guangxi530004,China)

Keywords：powersystem;time-domainsimulation;matrixexponentialcalculation;smallsignalstabilityanalysis;Hilbert-Huangtransform(HHT)

Abstract：Therearedeficienciesofthesolutiontoeigenvalueforanalyzingsmallsignalstabilityofthepowersystemincludingdimensiondisastersofsolutionstoalleigenvaluesinlargescalepowersystemsandparteigenvaluesolvingmethodforlargescalesystemsbeinglikelytoleaveoutsomeimportantmodals.Therefore,thispaperproposesakindofanalysismethodforsmallsignalstabilityofpowersystembasedontime-domaincharacteristiccurveanalysis,whichisbasedoncalculationonmatrixexponentialtoobtainthetime-domaincharacteristiccurverepresentingsmallsignalstabilityofthesystem.Meanwhile,itisabletoobtainmodalparametersofthesystembyanalyzingthistime-domaincharacteristiccurvebasedonHilbert-Huangtransformmethodsoastoconductanalysisonsmallsignalstability.Finally,exampleanalysisonWSCC3machinewithninenodesverifiesvalidityofthismethod.

doi:10.3969/j.issn.1007-290X.2016.04.008

收稿日期：2015-10-12修回日期：2016-01-05

中圖分類號：TM71

文獻標志碼：A

文章編號：1007-290X(2016)04-0045-05

作者簡介：

李雨(1989)，女，廣西桂林人。在讀碩士研究生，主要研究方向為電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析與控制。

(編輯彭艷)