王春發(fā), 陳榮達(dá)

(1.浙江財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院,浙江杭州310019;2.浙江財經(jīng)大學(xué)財富管理與量化投資協(xié)同創(chuàng)新中心,浙江杭州310019)

Markov調(diào)制Lévy模型定價的Fourier-Cos方法

王春發(fā)1,2, 陳榮達(dá)1,2

(1.浙江財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院,浙江杭州310019;2.浙江財經(jīng)大學(xué)財富管理與量化投資協(xié)同創(chuàng)新中心,浙江杭州310019)

對一般的Markov調(diào)制Lévy模型,利用Fourier Cosine級數(shù)展開原理得到歐式期權(quán)價格的計算方法.進(jìn)一步,為了改進(jìn)期權(quán)定價的Fourier Cosine級數(shù)展開方法的計算精度,Fourier Cosine級數(shù)展開的對象進(jìn)行了修正,獲得了歐式期權(quán)價格的修正Fourier Cosine級數(shù)展開計算方法.此外,還將獲得的方法應(yīng)用于Markov調(diào)制Black-Scholes模型,Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型和Markov調(diào)制CGMY Lévy模型期權(quán)定價的計算.具體的數(shù)值計算說明：修正Fourier Cosine級數(shù)展開方法應(yīng)與Fourier Cosine級數(shù)展開方法相比,收斂速度要慢一些,但準(zhǔn)確性卻有很大的提高.特別是對Markov調(diào)制純跳模型,效果更為顯著.

Lévy過程;Markov調(diào)制;Fourier變換;Fourier Cosine級數(shù)展開;期權(quán)定價

§1 引 言

期權(quán)定價一直是金融數(shù)學(xué)和金融工程中的一個重要課題.在過去的30多年里,研究者對期權(quán)定價作出了許多的嘗試和貢獻(xiàn).具有劃時代意義的進(jìn)展是Black和Scholes[1]提出的Black-Scholes期權(quán)定價模型.盡管Black-Scholes期權(quán)定價模型在期權(quán)定價方面取得了很大的成功,但這個純對數(shù)正態(tài)模型卻不能反映以下三種現(xiàn)象：(1)特大的隨機(jī)波動.(2)股票收益分布的非正態(tài)特征(負(fù)的偏態(tài)和尖峰性).(3)隱含波動率微笑,也就是Black-Scholes模型中的隱含波動率不是常數(shù).針對這些缺陷,研究者作了許多改進(jìn).提出了隨機(jī)利率模型,隨機(jī)波動率模型,跳擴(kuò)散模型,純跳模型等等,以彌補(bǔ)Black-Scholes模型的缺陷.但這些改進(jìn)的模型都是時齊的.Konikov和Madan[2]指出這些模型矩的期限結(jié)構(gòu)理論值和實證結(jié)果不相符.例如,理論上講,方差以速率t(持有股票的時間)增加,偏態(tài)以速率t1/2遞減,峰度以速率t增加.但時齊模型的矩并不能反映這種現(xiàn)象.因此,有必要考慮非時齊模型.引入非時齊性的一種方式是在定價模型中引入Markov調(diào)制(Markov Regime-Switching)因素.具有Markov調(diào)制因素的定價模型(簡稱Markov調(diào)制定價模型),模型的參數(shù)不再是時不變,而是依賴于一個Markov鏈,使得定價模型可以隨市場條件變化而改變,從而更能反映客觀現(xiàn)實.

較早利用Markov調(diào)制Black-Scholes模型研究期權(quán)定價問題有Gou[3],Buffington和Elliott[4],Mamon和Rodrigo[5],Yao等[6].Konikov和Madan[2]也對兩狀態(tài)Markov調(diào)制Variance-Gamma模型研究了期權(quán)定價問題.隨后Elliott和Osakwe[7]研究了Markov調(diào)制純跳Lévy的期權(quán)定價問題.Elliott等[8],Yuen和Yang[9],Bo[1.Raible S.(2000).Lévy processes in fi nance：theory,numerics,and empirical facts. 德國Freiburg大學(xué)博士論文(未發(fā)表).可在網(wǎng)頁：www.users.ugent.be/～dheyman/Levy/Sebastian-Raible.pdf下載.0],Wang[11],Ramponi[12],Costabile等[13]和Swishchuk等[14]研究了Markov調(diào)制跳擴(kuò)散模型的期權(quán)定價問題.最近Dang[15]利用偏微分方程數(shù)值解方法研究了Markov調(diào)制跳擴(kuò)散模型的亞式期權(quán)價格的計算問題.已有的研究大都局限于有限跳躍活動的Markov調(diào)制Lévy模型,如Markov調(diào)制跳擴(kuò)散模型,或者僅考慮無限跳躍活動的純跳Markov調(diào)制Lévy模型.本文的目的之一是給出一個一般Markov調(diào)制Lévy模型,并從數(shù)學(xué)上進(jìn)行嚴(yán)格刻畫.進(jìn)而在這樣的模型下研究期權(quán)定價問題.

在實際應(yīng)用中,需要利用模型校準(zhǔn)方法獲得模型參數(shù).在模型校準(zhǔn)時,需要快速準(zhǔn)確地計算期權(quán)價格.所以期權(quán)價格計算也是一個重要的課題.期權(quán)價格計算有Monte-Carlo模擬方法,偏微分方程數(shù)值解方法和數(shù)值積分法.用數(shù)值積分法計算期權(quán)價格時,一般先將期權(quán)價格表示為貼現(xiàn)的期權(quán)到期支付在風(fēng)險中性概率下期望值,從而通過計算貼現(xiàn)的支付函數(shù)關(guān)于風(fēng)險中性概率分布的積分得到期權(quán)價格.一般風(fēng)險中性概率分布比較復(fù)雜,有時甚至沒有確切的表達(dá)式,從而不能直接計算這樣的積分.Carr和Madon[16](Carr-Madon方法)提出一種Fourier變換方法.Carr-Madon方法是將期權(quán)價格看作是執(zhí)行價格的函數(shù),先作期權(quán)價格關(guān)于執(zhí)行價格的Fourier變換,然后求逆Fourier變換得到期權(quán)價格.Raible(2000)1.Raible S.(2000).Lévy processes in fi nance：theory,numerics,and empirical facts. 德國Freiburg大學(xué)博士論文(未發(fā)表).可在網(wǎng)頁：www.users.ugent.be/～dheyman/Levy/Sebastian-Raible.pdf下載.提出了另一種期權(quán)價格的Fourier變換計算方法,具體可參見Eberlein等[17].[17]對Raible的方法作了改進(jìn),并給出Fourier變換應(yīng)用的一般條件.在實現(xiàn)Carr-Madon方法時,需要進(jìn)行數(shù)值積分.為了提高計算效率,Carr和Madon[16]采用快速Fourier變換方法進(jìn)行具體計算.采用快速Fourier變換方法時,由于要對期權(quán)執(zhí)行價格的對數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格化,所以計算出的期權(quán)價格是對應(yīng)于期權(quán)執(zhí)行價格分點的價格,這與市場交易的執(zhí)行價格有差異.為了獲得與市場交易相同執(zhí)行價格的期權(quán)價格,需要采用插值法.這就產(chǎn)生插值誤差.這是快速Fourier變換方法的一個缺陷.Fang和Oosterlee[18]提出一種高效而準(zhǔn)確的,稱為Cos方法的期權(quán)價格計算方法.用Cos方法計算期權(quán)價格時,先將無窮積分區(qū)間截斷,然后對條件密度函數(shù)進(jìn)行Fourier cosine級數(shù)展開,利用特征函數(shù)表示Fourier cosine級數(shù)的系數(shù),從而將積分轉(zhuǎn)化為計算級數(shù)之和.只要標(biāo)的資產(chǎn)價格的特征函數(shù)是已知的,就可以利用這種方法來計算期權(quán)價格.COS方法可以對給定的執(zhí)行價格計算期權(quán)價格,不需要進(jìn)行插值.此外,COS方法對于光滑的密度函數(shù),呈現(xiàn)指數(shù)收斂速度,從而是一種高效準(zhǔn)確的計算方法.Fang和Oosterlee[19]將Cos方法應(yīng)用于可提前執(zhí)行期權(quán)和離散障礙期權(quán)的定價,Zhang和Oosterlee[20]利用Cos方法計算亞式期權(quán)的價格.最近,Ruijter和Oosterlee[21]將Cos方法推廣到多維情形,并用于兩色彩虹期權(quán)的定價.

Liu等[22]首先將Carr-Madon方法應(yīng)用于Markov調(diào)制Black-Scholes模型的期權(quán)價格計算.[12]將上面的兩種Fourier變換方法應(yīng)用于Markov調(diào)制跳擴(kuò)散模型的期權(quán)價格計算.Shen和Siu[23]將Carr-Madon方法應(yīng)用于Markov調(diào)制Hull-White模型的債券期權(quán)定價.但目前還沒有將Cos方法應(yīng)用于Markov調(diào)制定價模型期權(quán)價格計算的研究.本文的主要目的是研究Cos方法在Markov調(diào)制定價模型的期權(quán)價格計算中的應(yīng)用.對一般的Markov調(diào)制Lévy模型,給出了歐式期權(quán)價格計算的Cos方法.在數(shù)值計算中發(fā)現(xiàn),對于Markov調(diào)制跳擴(kuò)散模型,Cos方法具有收斂快和準(zhǔn)確性高的特點,從而是高效而準(zhǔn)確的方法.但應(yīng)用于Markov調(diào)制純跳模型時,雖然收斂速度快,準(zhǔn)確性卻降低.特別地,當(dāng)Cos方法應(yīng)用于Markov調(diào)制CGMY純跳模型的期權(quán)價格計算時,對某些合理的模型參數(shù),不能獲得合理的價格.為了彌補(bǔ)Cos方法的這一缺陷,本文提出一種修正Cos方法.修正Cos方法是先用一個指數(shù)因子乘以條件密度函數(shù),再進(jìn)行Fourier Cosine級數(shù)展開.計算結(jié)果表明,修正Cos方法應(yīng)用于Markov調(diào)制Lévy模型的期權(quán)價格計算時,與Cos方法相比,收斂速度要慢一些,但準(zhǔn)確性卻有很大的提高.特別是對Markov調(diào)制純跳模型,效果更為顯著,而且不會像Cos方法那樣,出現(xiàn)不合理的價格.因此,修正Cos方法確實是有效和準(zhǔn)確的方法.

§2 Markov調(diào)制Lévy模型及其假設(shè)

期權(quán)的風(fēng)險中性定價的基本思想是選擇合適的概率空間,使得貼現(xiàn)的標(biāo)的資產(chǎn)為一個鞅.這樣的概率空間稱為風(fēng)險中性世界.在風(fēng)險中性世界里,期權(quán)的價格為到期的期望支付的現(xiàn)值.在實際應(yīng)用中,模型參數(shù)一般是通過模型的校準(zhǔn)獲取,而不是通過估計得到,所以不討論概率測度變換,直接假設(shè)(?,F,P)是風(fēng)險中性世界.即P為風(fēng)險中性概率測度.設(shè)金融市場延續(xù)的時間為[0,T].

注 特征偶對(γ,σ2,ν)中,γ為Lévy過程的漂移系數(shù),σ為Lévy過程的擴(kuò)散系數(shù),ν為Lévy測度.Lvy測度ν是R{0}上的RandoZn測度,滿足條件

注 在一個無套利的Lévy金融市場模型(r,γ,σ2,ν)中,由于貼現(xiàn)的股票價格{(t)}t∈[0,T]是一個P鞅,因此E[(t)]＜∞.由此可知E[eL(t)]＜∞.由引理6可知

表1給出了Black-Scholes模型,Merton跳擴(kuò)散模型,Kou跳擴(kuò)散模型,VG模型和CGMY模型的各階累積矩.

表1 Lévy模型的各階累積矩

2.Markov調(diào)制Lévy模型 設(shè){α(t)}0∈[0,T]是(?,F,P)上的連續(xù)時間有限狀態(tài)的Markov鏈,狀態(tài)空間為M={1,···,m},轉(zhuǎn)移概率為

其中πij≥ 0,i 6=j;πii=記{α(t)}0∈[0,T]的生成矩陣為Q=[πij]m×m. 設(shè)(Gt)0∈[0,T]是Markov鏈{α(t)}0∈[0,T]生成的σ-代數(shù)流,Gt= σ{α(s),0 ≤ s ≤ t}. 設(shè)τ1,τ2是Markov鏈{α(t)}任意兩個相鄰的狀態(tài)轉(zhuǎn)移時間.

定義2.2 一個隨機(jī)過程{L(t)}0∈[0,T]稱為是相應(yīng)于Markov鏈{α(t)}的Markov調(diào)制Lévy過程,如果對t ∈ [τ1,τ2],α(t)=j,L(t)=Lj(t),0 ≤ t≤ T,其中{Lj(t)}t∈[0,T]是具有特征偶對(γ(j),σ2(j),ν(j))的Lévy過程,即對t∈ [0,T],

假設(shè)α與{Lj(t)}t∈[0,T]獨立,j=1,···m. 設(shè){Hj(t)}t∈[0,T]為Lévy過程{Lj(t)}t∈[0,T]生成的完備化自然σ-代數(shù)流,j∈ M.記H(t)=H1(t)∨H2(t)∨···∨Hm(t).F(t)=H(t)∨G(t).

定義2.3 一個金融市場稱為是一個Markov調(diào)制Lévy金融市場模型(簡稱Markov調(diào)制Lévy模型),如果貨幣市場賬戶利率依賴于Markov鏈{α(t)}0∈[0,T],即r：M → R++,使得當(dāng)t∈[τ1,τ2],α(t)=j時,利率為r(j);而股票價格為S(t)=S(0)eL(t),t∈ [0,T],其中S(0)＞ 0,{L(t)}t∈[0,T]為零初值的相應(yīng)于Markov鏈{α(t)}0∈[0,T]的Markov調(diào)制Lévy過程. 一個Markov調(diào)制Lévy模型稱為是無套利的,若貼現(xiàn)的股票價格{eS(t)}0∈[0,T]是一個鞅,其中eS(t)=S(t)e-R(t),而R(t)=Rr(α(s))ds. 無套利Markov調(diào)制Lévy模型記為(S(0),r(α(t)),σ(α(t),ν(α(t))0∈[0,T].

注 設(shè)(S(0),r(α(t)),σ(α(t),ν(α(t))0∈[0,T]是一個無套利Markov調(diào)制Lévy模型.(i) 如果t∈[τ1,τ2),α(t)=j時,S(t)=Sj(t)=S(0)eLj(t). 由引理2.4的注可知,{Lj(t)}t∈[0,T]在P下的動態(tài)關(guān)系為：

逼近(3.24)的U2(u,ρ),其中(u)為g的Fourier變換.如果e-ρxg(x)在R上是可積的,則對任意u ∈R,(u+iρ)有定義.表2給出了一些支付函數(shù)的Fourier變換例子.

表2 些支付函數(shù)的Fourier變換

現(xiàn)在分別將H2(un,ρ,T)和U2(un,ρ)的代替(3.19)中的H2(un,ρ,T)和U2(un,ρ),得到

再將上式無窮項求和截斷,求前N項之和,得到

綜上所述,可以得到下面結(jié)果.

定理3.2 設(shè)假設(shè)8滿足,而且常數(shù)ρ使得MT(ρ)有定義,并且e-ρxg(x)在R上是可積的.則在無套利Markov調(diào)制Lévy模型中,到期時間為T,支付g(x)歐式衍生證券在0時間的價格V(0)可以近似地表示為

證 類似于定理3.1.

注 對于Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型,由(2.36)可知,L(t)條件矩母函數(shù)對任意的u∈R都有定義.而對于Markov調(diào)制Kou跳擴(kuò)散模型,由(2.37)可知,除了在α(j)和-β(j)之外,j=1,···,m,對任意的u ∈ R都有定義.在Markov調(diào)制CGMY模型中,由(2.38)可知,L(t)條件矩母函數(shù)任意的u ∈ [-min1≤j≤mG(j),min1≤j≤mM(j)]都有定義.在Markov調(diào)制VG模型,由(2.39)可知,L(t)條件矩母函數(shù)在區(qū)間[κ,λ]上都有定義,其中

§4 數(shù)值計算

本節(jié)以兩狀態(tài)Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型和Markov調(diào)制CGMY純跳模型等Lévy模型為例,說明Cos方法和修正系數(shù)的Cos方法用于歐式看漲期權(quán)價格計算的準(zhǔn)確性和效率.為了比較Cos方法和修正系數(shù)的Cos方法的準(zhǔn)確性,以Carr-Madan的Fourier變換方法作為基準(zhǔn).對于歐式看漲期權(quán),g(x)=K(ex-1)+=(Kex-K)+.于是V(0)=E[e-R(T)(KeeL(T)-K)+|F0]=S(0)E[e-R(T)(eL(T)-ek)+|F0],其中k=log(K/S(0))將V(0)看作是k的函數(shù),并記C(k)：=V(0).定義修正后的期權(quán)價格：

(4.3)的積分計算可以采用數(shù)值積分的方法計算,也可以采用快速Fourier方法計算.由此可以計算出C(k)=S(0)e-ρkc(k).

在所有的計算例子中,取S(0)=100,r(1)=0.05,r(2)=0.1.π1=20,π1=30.其余模型參數(shù)由表3給出,其中Markov調(diào)制-CGMY模型給出了兩組參數(shù),以比較Cos方法和修正系數(shù)的Cos方法的準(zhǔn)確性.

所有的計算都利用Matlab7.9在處理器為Intel(R)Core(TM)i5 2.27GHz,內(nèi)存為4GB的筆記本電腦上實現(xiàn).用Cos方法計算時,取D=10.用修正系數(shù)的Cos方法時,取D=28.對于ρ的取值,為了保證e-ρxg(x)可積性,根據(jù)表2,ρ必須滿足ρ＞ 1,所以比照[16]中取ρ=1.5,取ρ=2.5.而用Carr-Madan的Fourier變換方法計算時,與[16]一樣,取ρ=1.5.(4.3)的積分計算,為了避免由于插值而引起的誤差,沒有采用快速Fourier方法,而是采用數(shù)值積分的方法.數(shù)值積分采用Matlab內(nèi)置函數(shù)quadgk(Gauss-Kronrod二次法則)實現(xiàn).表4—表6給出了Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型和兩組參數(shù)Markov調(diào)制CGMY模型期權(quán)價格的計算結(jié)果.從表4—表5可以看出,保留小數(shù)點后8位數(shù),Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型和Markov調(diào)制CGMY-1模型,三種方法的準(zhǔn)確性是一樣的.表6給出了Markov調(diào)制CGMY 2模型期權(quán)價格的計算結(jié)果.從表6可以看出,保留小數(shù)點后8位數(shù),修正系數(shù)Cos方法與Carr-Madan的Fourier變換方法計算結(jié)果是一樣的,但Cos方法計算的結(jié)果就不合理.

表3 模型參數(shù)

表4 Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型期權(quán)價格

表5 Markov調(diào)制純跳CGMY-1模型期權(quán)價格

圖1 Cos方法和修正Cos方法的收斂結(jié)果

表7 給出了Cos,修正系數(shù)Cos和Carr-Madan三種方法計算Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型和Mar-kov調(diào)制CGMY 1模型期權(quán)價格在執(zhí)行價格為90時所需的時間.從計算時間上看,Cos方法和修正系數(shù)Cos方法確實是有效的計算方法.

進(jìn)一步以Markov調(diào)制Merton跳擴(kuò)散模型和Markov調(diào)制CGMY-1模型為例,通過分析Cos方法和修正Cos方法的收斂性來考察Cos方法和修正Cos方法的計算效率和準(zhǔn)確性.圖1顯示了Cos方法和修正Cos方法的收斂性.在圖1中,縱軸是以Carr-Madan方法計算的期權(quán)價格作為基準(zhǔn)價格,與Cos方法和修正Cos方法獲得的期權(quán)價格的對數(shù)絕對誤差,橫軸是求和項數(shù)N.從圖1可以看出,修正Cos方法與Cos方法相比,收斂速度要慢一些,但準(zhǔn)確性卻提高了.特別是對Markov調(diào)制CGMY 1模型,效果更為顯著.

表6 Markov調(diào)制純跳CGMY-2模型期權(quán)價格

表7 三種計算方法的計算時間(單位:秒)

致謝 感謝審稿人提出的寶貴意見.

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Option pricing in Markov regime switching Lévy models using Fourier-Cosine expansions

WANG Chun-fa1,2,CHEN Rong-da1,2
(1.School of Finance,Zhej.Univ.of Fin.and Econ.,Hangzhou 310018,China;2.Coor.Innov.Cent.Quant.Invest.,Zhej.Univ.Fin.and Econ.,Hangzhou 310018,China)

A method of calculating price of European options is obtained via Fourier-Cosine expansions approach when the underlying asset price follows a very general state-dependent regimeswitching Levy process.Furthermore,in order to improve accurate of the Fourier-Cosine expansions,a modi fi ed Fourier-Cosine expansions is developed.The method is then applied to option pricing for European options in Black-Scholes model,Merton jump di ff usion model and CGMY Lévy model,all with Markov regime switching.Numerical results illustrate that although the convergence rate of method modi fi ed Fourier-Cosine expansions is slower than that of Fourier-Cosine expansions,accuracy of method of modi fi ed Fourier-Cosine expansions is greatly improved.In particular for case of CGMY Lévy model,the improvement is signi fi cant.

Lévy processes;Markov regime switching;Fourier transform;Fourier Cosine extension;option pricing

60J

O211.63;F830.91

A

：1000-4424(2016)04-0390-15

2015-11-05

2016-09-08

國家自然科學(xué)基金重點項目(71631005);國家自然科學(xué)基金(71471161)