周志杰 沈振中 徐力群 任杰

摘要：基于極值理論的BMM（Block Maximum Method）和POT模型是近來分析邊坡安全監(jiān)測(cè)資料、評(píng)估邊坡安全狀況的新興方法之一。相對(duì)簡(jiǎn)便的BMM模型在數(shù)據(jù)取樣時(shí)往往忽略區(qū)間次極大值，在資料年限較短時(shí)樣本容量偏小，可能導(dǎo)致所得結(jié)果誤差較大。本文利用改進(jìn)的Hill估計(jì)方法得到閾值，通過極大似然估計(jì)確定廣義帕累托分布參數(shù)，從而利用超限數(shù)據(jù)序列來確定測(cè)值序列的整體分布，提出了改進(jìn)POT（Modified Peaks over Threshold）模型，并應(yīng)用于某邊坡工程的安全監(jiān)測(cè)預(yù)警指標(biāo)分析。結(jié)果表明，在同一置信水平下利用超限值應(yīng)用廣義帕累托分布擬合得到的預(yù)警指標(biāo)小于利用塊極大值應(yīng)用正態(tài)分布得到的預(yù)警指標(biāo)，表明基于超限數(shù)據(jù)的改進(jìn)POT模型得到的預(yù)警指標(biāo)更能有效規(guī)避極端情況發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)，更有利于邊坡安全監(jiān)測(cè)和預(yù)警。

關(guān)鍵詞：邊坡；極值理論；BMM模型；改進(jìn)POT模型；預(yù)警指標(biāo)；閾值；極大似然估計(jì)

中圖分類號(hào)：U416 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1672-1683（2016）04-0192-06

Abstract：BMM model and POT model which based on extreme value theory are one of the newly-developing methods to assess the safety conditions of slope in recent years.The ignorant of secondary maximum points and the relatively small size of sample in the case of short-time data may lead to a big error in BMM model.A modified POT model was proposed in the paper to get the threshold with improved Hill estimator method and obtain the Pareto parameters with the maximum likelihood estimation so that the whole distribution could be determined.With the analysis of a slope engineering，the early-warning index which used the generalized Pareto distribution with the data exceeding the threshold was less than that using the normal distribution with the block maximum values in the case of same confidence level.It could be drawn from the results that the early-warning index based on modified POT model was more effective in slope safety monitoring，which could be made use of reducing the risk when extreme conditions happened.

Key words： slope；extreme value theory；BMM model；modified POT model；early-warning index；threshold；maximum likelihood estimation

依據(jù)邊坡工程施工、運(yùn)行的原型監(jiān)測(cè)資料，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)、力學(xué)等方法建立監(jiān)控模型，擬定不同置信水平下的預(yù)警指標(biāo)，展開對(duì)邊坡的實(shí)時(shí)監(jiān)控和預(yù)警，是應(yīng)對(duì)復(fù)雜工作條件下預(yù)防邊坡發(fā)生極端事件的有效措施[1-3]。而極值理論不僅提供了建立模型描述極端事件的理論基礎(chǔ)，且具有超越樣本數(shù)據(jù)的能力，有效地對(duì)隨機(jī)序列的最大（?。┲档母怕史植己蛿?shù)據(jù)序列的邊際概率分布尾部進(jìn)行建模，進(jìn)而建立有效的風(fēng)險(xiǎn)防范和預(yù)警系統(tǒng)[4]，在實(shí)際工程監(jiān)控領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

傳統(tǒng)的分塊樣本極大值方法（BMM模型）將一獨(dú)立隨機(jī)觀測(cè)序列依據(jù)時(shí)間或者其它的標(biāo)準(zhǔn)分隔為幾個(gè)非重疊區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域中選極大值，以這些極大值構(gòu)成的極值樣本數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分布擬合從而估計(jì)預(yù)警指標(biāo)[5]，主要用于處理具有明顯季節(jié)性數(shù)據(jù)的極值問題。但受限于取樣數(shù)據(jù)方法，忽略了區(qū)域次大值，往往造成區(qū)間內(nèi)除極值外大量數(shù)據(jù)的浪費(fèi)，且在原型觀測(cè)資料年限較短的情況下，使無法滿足參數(shù)估計(jì)的樣本量，增加估計(jì)的誤差，顯然依據(jù)這些樣本而擬定的預(yù)警指標(biāo)存在一定的偏差。并且鑒于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布可能存在的厚尾性，即極端事件引發(fā)的極端風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)值要比正態(tài)分布的大且更頻繁[6]，所以BMM模型中基于正態(tài)分布的假設(shè)也同樣低估了尾部極端風(fēng)險(xiǎn)[7]。與之相對(duì)，POT模型是一種基于超限值的建模方法，即基于廣義帕累托分布（GPD）對(duì)超過某一閾值的所有觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，漸進(jìn)地刻畫分布的尾部特征。該模型更能充分利用樣本數(shù)據(jù)的極值序列包含的信息，理論上更加符合實(shí)際情況，適用于工程實(shí)際。因此，本文基于POT模型，以超過某一閾值的數(shù)據(jù)序列作為研究對(duì)象，利用廣義帕累托分布擬合超限分布，提出了改進(jìn)的閾值估計(jì)方法，并利用極大似然估計(jì)確定分布參數(shù)，建立了改進(jìn)POT模型，并應(yīng)用于邊坡變形監(jiān)測(cè)資料分析及預(yù)警，結(jié)合邊坡工程的實(shí)例對(duì)兩種模型所確定的預(yù)警指標(biāo)進(jìn)行比較，驗(yàn)證了方法的合理性。

1 BMM模型

傳統(tǒng)的分塊樣本極大值方法（BMM）是基于廣義極值分布的參數(shù)模型，它是對(duì)某一同分布樣本分塊后的極大值進(jìn)行建模。Fisher和Tippett[8]證明了如果獨(dú)立同分布序列的標(biāo)準(zhǔn)極大值收斂于某分布，那么其極限分布就是廣義極值分布（GEV）。

以上基于超限值數(shù)據(jù)序列的改進(jìn)POT模型旨在針對(duì)傳統(tǒng)BMM模型在取樣數(shù)據(jù)方法上僅選取極值的缺陷，將超過某一閾值的較大測(cè)值均納入考慮，可使所擬定的預(yù)警指標(biāo)更貼近實(shí)際，有效規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。下面以某邊坡工程為例，利用其變形監(jiān)測(cè)資料建立以上兩種模型，并擬定預(yù)警指標(biāo)進(jìn)行分析比較，驗(yàn)證改進(jìn)POT模型的合理性。

3 實(shí)例分析

某水電站位于我國(guó)西南部，工程以發(fā)電為主，樞紐主要由混凝土面板堆石壩、右岸開敞式溢洪道、左岸引水發(fā)電系統(tǒng)、地面廠房等組成。壩頂高程643.0 m，最大壩高約135 m，壩頂長(zhǎng)度315 m，水庫(kù)正常蓄水位639.0 m，可調(diào)節(jié)庫(kù)容3.341億m³。樞紐工程位于高山峽谷、陡峻岸坡地段，工程開挖形成了多處高開挖邊坡，主要有：壩址左岸邊坡、左岸下游邊坡、右岸高程643.0 m以上邊坡（主要屬于溢洪道引渠段邊坡）和溢洪道邊坡。

高開挖邊坡主要集中在溢洪道所在的右岸邊坡。該范圍邊坡呈弧形，坡高一般60～80 m，末端高達(dá)114 m，主要為土質(zhì)邊坡和部分巖質(zhì)邊坡。巖質(zhì)邊坡存在不利結(jié)構(gòu)面組合構(gòu)成的不穩(wěn)定楔形塊體，施工過程中產(chǎn)生了兩次塌滑，穩(wěn)定性較差。土質(zhì)邊坡采用混凝土框架梁、節(jié)點(diǎn)加錨索固坡形式，由于支護(hù)滯后等原因，沿覆蓋層與基巖接觸面產(chǎn)生了滑塌。之后設(shè)計(jì)方案調(diào)整為：放緩開挖邊坡為1∶1.2～1∶1.0；上部采用1∶1.4，并用M10貼坡漿砌石護(hù)坡，厚度40 cm；下部邊坡及變坡部位采用C20貼坡鋼筋混凝土加錨索固坡；在坡面上均按梅花型布設(shè)排水孔。為了確保右岸邊坡的穩(wěn)定性，在右岸高程643.0 m以上邊坡布置了錨索測(cè)力計(jì)、表面變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)、多點(diǎn)位移計(jì)及測(cè)斜孔等邊坡監(jiān)測(cè)設(shè)施。

鑒于右岸邊坡工程的重要性，基于極值理論分析邊坡安全監(jiān)測(cè)資料，擬定某一置信水平下的預(yù)警指標(biāo)，以便展開對(duì)右岸邊坡的實(shí)時(shí)監(jiān)控和預(yù)警。取右岸邊坡有效表面變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)BPB-TP-07，各測(cè)點(diǎn)位置見圖1。自2005年1月16日至2014年7月17日順河向表面位移的測(cè)值序列，樣本總數(shù)為n=127，分別利用BMM模型和改進(jìn)POT模型擬定右岸邊坡在95%置信水平下的水平位移預(yù)警值。

3.1 利用BMM模型擬定預(yù)警值

將所取測(cè)值序列以年為區(qū)間進(jìn)行分塊處理，得到m=10的年極大值樣本序列{M1，M2，…，Mm}，利用式（3）對(duì)分布參數(shù)ξ，μ，σ通過matlab編程得到極大似然估計(jì)值（結(jié)果見表1），代入GEV分布的概率密度函數(shù)，易得在α=95%的置信水平下邊坡水平位移的預(yù)警值為201.247 mm。

3.2 利用改進(jìn)POT模型擬定預(yù)警值

基于改進(jìn)的Hill估計(jì)方法確定閾值，然后對(duì)分布參數(shù)采用極大似然估計(jì)，從而得到超限值的條件分布函數(shù)來表示總體分布函數(shù)。

首先，將測(cè)值序列{x1，x2，…，xn}按升序排列得到次序統(tǒng)計(jì)量x（i），由式（8）通過matlab編程獲得k及對(duì)應(yīng)的估計(jì)量γ（k），繪制點(diǎn)（k，γ（k）-1）集合的Hill圖見圖2。

3.3 預(yù)警指標(biāo)的比較分析

通過算例發(fā)現(xiàn)，在相同置信水平下利用超限值應(yīng)用廣義帕累托分布擬合得到的預(yù)警指標(biāo)小于利用塊極大值應(yīng)用正態(tài)分布得到的預(yù)警指標(biāo)。為排除單個(gè)測(cè)點(diǎn)測(cè)值序列所具有的偶然性，用同樣方法隨機(jī)取右岸邊坡若干有效測(cè)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算同樣得到類似結(jié)論。由此可知，在實(shí)際監(jiān)測(cè)邊坡安全狀況的過程中，基于傳統(tǒng)BMM模型所得的預(yù)警指標(biāo)往往可能偏于開放，尤其是在處理數(shù)據(jù)序列年限較短、有效區(qū)間次極大值被忽略的情況下，所得的預(yù)警指標(biāo)存在較大偏差。而利用改進(jìn)POT模型，可以充分考慮測(cè)值序列中的較大測(cè)值，所得的預(yù)警指標(biāo)也更具參考性，使有效規(guī)避極端情況發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）借助極值理論和BMM模型提出了改進(jìn)POT模型，研究了邊坡預(yù)警指標(biāo)的擬定原理和算法。并結(jié)合具體邊坡工程的實(shí)例，分別利用區(qū)間極大值和超限值對(duì)邊坡測(cè)值序列進(jìn)行整體分布擬合，從而比較同一置信水平下的預(yù)警指標(biāo)，得到改進(jìn)POT模型相較BMM模型所得預(yù)警指標(biāo)更偏于保守，對(duì)于邊坡工程的風(fēng)險(xiǎn)防范和極端情況預(yù)警更具指導(dǎo)性。

（2）改進(jìn)POT模型通過引入斜率變點(diǎn)來界定Hill圖中序列的平穩(wěn)性，有效避免了主觀判定閾值產(chǎn)生的誤差，并通過編程使模型適用于大樣本數(shù)據(jù)的自動(dòng)處理，為其他類似工程預(yù)警系統(tǒng)的建立和預(yù)警指標(biāo)的擬定提供了參考。

（3）基于一維情況對(duì)測(cè)值序列的極值進(jìn)行建模處理來擬定預(yù)警指標(biāo)，僅考慮了超越閾值的大小，沒有考慮隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，因此可考慮用多維極值理論來研究其可行性。

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