徐莉　潘宏　孫洪艷

摘 要： 為改進(jìn)三維大尺寸復(fù)雜物體電磁建模精確求解的效率，采用了自適應(yīng)交叉算法（ACA）基礎(chǔ)上的多層簡易矩陣稀疏算法（MLSSM）改進(jìn)的方式，通過算法的理論及實(shí)現(xiàn)過程分析在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中表明：應(yīng)用的改進(jìn)ACA算法計(jì)算效率比矩量法逐點(diǎn)計(jì)算顯著提高；改進(jìn)的MLSSM的內(nèi)存需求減少了一半左右，矩陣構(gòu)造過程速度有了明顯提高；改進(jìn)的MLSSM降低了計(jì)算復(fù)雜度，迭代求解過程速度有了明顯提高。從算法對(duì)比結(jié)果可以看出，改進(jìn)的MLSSM在降低計(jì)算復(fù)雜度方面占據(jù)優(yōu)勢(shì)，在分析半空間上大目標(biāo)復(fù)雜物體優(yōu)勢(shì)明顯。這一研究對(duì)復(fù)雜物體的電磁建模優(yōu)化具有一定的理論和應(yīng)用意義。

關(guān)鍵詞： 電磁建模； 精確求解； 復(fù)雜物體； 多層簡易矩陣稀疏算法； 自適應(yīng)交叉算法

中圖分類號(hào)： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2016）07?0161?06

Abstract： To improve the efficiency of exactly solving the electromagnetic modeling of large?size three?dimensional complex object， the improved multilayer simple sparse matrix （MLSSM） algorithm based on adaptive crossover algorithm （ACA） is adop?ted. The experimental verification of theory analysis and realization process shows that： the computing efficiency of using improved ACA algorithm is significantly increased than that of moment method； the memory requirement is reduced by a half by means of the improved MLSSM， which can significantly improve the speed of matrix construction process； the computing complexity is reduced by means of the improved MLSSM， and the speed of iterative solution process is significantly improved. The comparison results show that the improved MLSSM algorithm has the advantages in the aspects of reducing the computing complexity and analyzing the large complex object in half space. The study has certain theoretical and applied significances for the optimization of the complex object electromagnetic modeling.

Keywords： electromagnetic modeling； exact solution； complex object； multilayer simple sparse matrix algorithm； adaptive crossover algorithm

0 引 言

隨著科技不斷的飛速發(fā)展，對(duì)三維電較大對(duì)象的電磁建模，同時(shí)還做數(shù)值分析方面的深層研究，借助于計(jì)算機(jī)軟件以及硬件功能都得到了很大的提升，這讓從前沒辦法對(duì)某些對(duì)象做研究分析，而在現(xiàn)在能夠得以實(shí)現(xiàn)[1?3]。在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中對(duì)于很大尺寸對(duì)象的研究分析預(yù)期借助計(jì)算機(jī)的功能水平大大高于實(shí)際發(fā)展的水平，所以如何提升數(shù)值運(yùn)算的能力，是學(xué)者研究電磁學(xué)的關(guān)鍵因素。在三維電大尺寸對(duì)象的理論分析里，一般經(jīng)常用到的方法有微分、高頻等方法[4?5]。比如有限元法屬于微分法，物理光學(xué)法、幾何繞射理論屬于高頻方法。采用有限元方法雖能形成不太密集的矩陣，但其對(duì)欲求的對(duì)象做體剖分[6?7]。在分析對(duì)象的電尺寸非常大時(shí)，網(wǎng)格在離散時(shí)產(chǎn)生的未知量數(shù)目很多且無法預(yù)知，所以造成的運(yùn)算量非常大。在高頻條件下的假設(shè)，高頻方法在面向較為復(fù)雜的對(duì)象時(shí)沒辦法得到精確的數(shù)據(jù)，所以無法應(yīng)用[8]。而采用矩量法能夠得到精確的數(shù)據(jù)，任意幾何形狀以及復(fù)雜的物體都能適用，也不用增加吸收邊界條件，在做網(wǎng)格離散的時(shí)候，只用在被分析對(duì)象的表面上實(shí)施就可以，這樣一來，該算法的未知數(shù)就大大減少。傳統(tǒng)的矩量法得到的是稠密矩陣，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)會(huì)花費(fèi)較多的時(shí)間以及空間，而當(dāng)代的計(jì)算機(jī)要實(shí)現(xiàn)大尺寸對(duì)象運(yùn)算非常困難[9?10]。本文基于上述背景，改進(jìn)多層簡易矩陣稀疏算法實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格離散復(fù)雜目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，這一研究對(duì)于復(fù)雜物體的電磁建模的優(yōu)化有一定的理論和應(yīng)用意義。

1 MLSSM算法改進(jìn)設(shè)計(jì)

一開始的多層簡易矩陣稀疏方法（MLSSM）是以直接的方法做求解的。該方法基于稀疏阻抗矩陣，而如今已成為迭代求解的方法，能夠在低秩類方法上構(gòu)建起來。另外，還可以把阻抗矩陣用另外幾個(gè)更稀疏的矩陣以乘積的方式表達(dá)，其實(shí)就是低秩方法的再壓縮。以常見的低秩類方法產(chǎn)生的阻抗矩陣?yán)?，層和層無邏輯上的關(guān)系，每一層都相互獨(dú)立，并且在壓縮以后矩陣的秩只可以在某種角度上減小以及對(duì)中間范圍的電尺寸對(duì)象特征的分析。多層簡易矩陣稀疏的任意一層阻抗矩陣都是環(huán)環(huán)相扣的，產(chǎn)生的是嵌套結(jié)構(gòu)，所以只能再減小內(nèi)存的需要以及提升矩陣矢量乘的處理。

1.1 自適應(yīng)交叉算法（ACA）

同時(shí)把其代到式（4）能求得指定的頻帶內(nèi)任何范圍的頻率點(diǎn)的未知向量解[x（k）]。在進(jìn)行求解時(shí)僅作一次矩陣求逆運(yùn)算，就能夠得到全部頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)。該優(yōu)點(diǎn)就是ACA算法能夠使得運(yùn)算效率提升。

1.2 應(yīng)用ACA優(yōu)點(diǎn)改進(jìn)多層簡易矩陣稀疏方法

依照樹形結(jié)構(gòu)，可以把阻抗矩陣分成近場[ZN]和遠(yuǎn)場[ZF，]和其他快速算法不一樣的是，多層簡易矩陣稀疏方法把阻抗矩陣分成3部分。在其中任意一層的全部非空組，其阻抗元素有近場、本層遠(yuǎn)場以及父層遠(yuǎn)場3部分。在這里以一個(gè)四層八叉樹形成的阻抗矩陣為例。四層樹形結(jié)構(gòu)的最細(xì)層的阻抗矩陣分解見圖1。

圖1右邊第一個(gè)子圖是描述近場組作用產(chǎn)生的矩陣。第二個(gè)子圖是本層遠(yuǎn)場組對(duì)應(yīng)的阻抗矩陣。第三個(gè)子圖是父層遠(yuǎn)場組相互作用產(chǎn)生的矩陣。對(duì)于強(qiáng)相互作用的矩陣無需任何操作，采用矩量法做填充。弱相互作用部分采用ACA算法，MLSSM通過低秩類方法做填充。通常情況下，MLSSM可形成下面的遞歸表達(dá)式：

式中：[ZL]是在第[L+1]層遠(yuǎn)場部分阻抗矩陣的稀疏描述方式，其任意一層的阻抗矩陣都有其對(duì)應(yīng)的本層以及父層遠(yuǎn)場；[ULZL-1VHL]是父層遠(yuǎn)場部分；[ZL]是本層遠(yuǎn)場部分，表示的是幾個(gè)稀疏矩陣相乘。當(dāng)創(chuàng)建一層數(shù)為[L]的樹形結(jié)構(gòu)時(shí)，最細(xì)層[ZL]描述的是近場組的阻抗矩陣，而在最粗層是沒父層遠(yuǎn)場，因此，MLSSM由第[L]層遞歸到第2層。此時(shí)的矩陣元素全部是在復(fù)數(shù)域范圍里，[UL]稱作行基矩陣，[VL]稱作列基矩陣，[UL，VL]都是以對(duì)角方式的酉矩陣。和傳統(tǒng)的MLSSM對(duì)照，經(jīng)改進(jìn)后的MLSSM只用保存[UL]以及[12]的[ZL-1，]這樣就減少了冗余的數(shù)據(jù)。按照這個(gè)方式，可以構(gòu)造出和前面阻抗矩陣類似的表達(dá)式。

1.3 算法改進(jìn)設(shè)計(jì)詳細(xì)說明

按照改良的MLSSM本質(zhì)思路，它的阻抗矩陣的表達(dá)式和MLSSM不一樣，這里敘述其構(gòu)造方法以及步驟。

耦合矩陣也涵蓋了對(duì)應(yīng)的本層遠(yuǎn)場和父層遠(yuǎn)場。本層遠(yuǎn)場可形成最細(xì)層的耦合矩陣，父層遠(yuǎn)場是下一層要操作的，在經(jīng)處理后可形成嵌套形式。

改進(jìn)的MLSSM構(gòu)造的步驟（如圖2所示）有下面三步：

（1） 在樹形結(jié)構(gòu)的底層，通過采用ACA算法，可把全部遠(yuǎn)場的阻抗矩陣做填充處理，得到子塊的[Uij]以及[VHij，]其全部是低秩矩陣，近場的阻抗矩陣可采用矩量法求得。

（2） 把前面的[Uij]按照非空組做組合，同時(shí)進(jìn)行SVD分解后乘以[VHij，]采用式（12）的方法最后得到最細(xì)層的行基、列基矩陣以及耦合矩陣。

（3） 耦合矩陣分為兩個(gè)組成部分，把本層遠(yuǎn)場部分進(jìn)行存儲(chǔ)，父層遠(yuǎn)場部分做UV分解處理，最終得到如同第一個(gè)步驟的兩個(gè)低秩矩陣相乘的表達(dá)式，即是次細(xì)層每個(gè)非空組的矩陣，反復(fù)進(jìn)行前面敘述的步驟，一直到最粗層終止。

2 算法改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 ACA算法優(yōu)勢(shì)驗(yàn)證

由上面敘述的最終數(shù)據(jù)結(jié)果可知如下結(jié)論：

（1） 泰勒級(jí)數(shù)展開和帕德逼近都在一定范圍內(nèi)的頻帶和矩量法解一致，而帕德逼近比泰勒展開近似頻帶更寬，和理論分析一樣，預(yù)期效果也基本一致。

（2） 采用ACA算法可以較好的逼近雙負(fù)媒質(zhì)的MOM逐點(diǎn)運(yùn)算解。表1說明了ACA算法能更好的得到雙負(fù)媒質(zhì)的寬頻RCS頻率響應(yīng)，其效率比矩量法逐點(diǎn)的方式進(jìn)行運(yùn)算提升了很多。

2.2 壓縮效果的對(duì)比驗(yàn)證

要證明經(jīng)改進(jìn)的MLSSM比傳統(tǒng)的MLSSM對(duì)ACA壓縮的效果更加明顯，本文給出了幾個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。這幾個(gè)數(shù)例在測試過程中，都在同一計(jì)算機(jī)設(shè)備配置下進(jìn)行。最初，為保證實(shí)驗(yàn)流程的準(zhǔn)確，還對(duì)一個(gè)半徑為2.4 m的金屬球進(jìn)行了測試，預(yù)設(shè)的平面波入射頻率是300 MHz，其波長[λ=1 m，]入射角[θi=0°，][?i=0°。]依據(jù)[0.1λ]的標(biāo)準(zhǔn)采取RWG基函數(shù)的方式將其表面做網(wǎng)格離散處理，之后未知量有23 952個(gè)。構(gòu)建一個(gè)三層的樹形結(jié)構(gòu)，設(shè)置[0.3λ]為其最細(xì)層的電尺寸。再進(jìn)行阻抗矩陣填充，ACA的截?cái)喙钍荹1×10-3，]而MLSSM、改進(jìn)的MLSSM的奇異值分解截?cái)鄥?shù)都一樣，也是[1×10-3。]最后生成的方程組通過以GMRES方式進(jìn)行迭代求解，設(shè)定收斂精度為[1×10-3。]此時(shí)，這兩種方式都各自計(jì)算金屬球的雙站RCS，同時(shí)把這種結(jié)構(gòu)以及Mie級(jí)數(shù)做對(duì)比，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)結(jié)果是吻合的，由此證明本文的運(yùn)算結(jié)果是對(duì)的，如圖5所示。表2將MLSSM與改進(jìn)的MLSSM需占據(jù)的內(nèi)存以及在進(jìn)行迭代時(shí)耗費(fèi)的時(shí)間做對(duì)照，能夠知曉改進(jìn)的MLSSM所需空間減少了一半，并且矩陣的構(gòu)造提高了效率。

接著，分析如圖6所示的自由空間導(dǎo)彈模型的散射特性。其電尺寸是[16λ，]平面波入射頻率[f]為800 MHz，其波長為[λ=0.375 m，]入射角[θi=0°，?i=0°，]依據(jù)[0.1λ]的標(biāo)準(zhǔn)采取RWG基函數(shù)的方式將其表面做網(wǎng)格離散處理，之后未知量有56 859個(gè)。再進(jìn)行阻抗矩陣填充，ACA的截?cái)喙钍荹1×10-3，]而MLSSM、改進(jìn)的MLSSM的奇異值分解截?cái)鄥?shù)都一樣，也是[1×10-3。]構(gòu)建一個(gè)四層的樹形結(jié)構(gòu)對(duì)此模型做分組，最后生成的方程組通過以GMRES方式進(jìn)行迭代求解，設(shè)定收斂精度為[1×10-3。]此時(shí)，這兩種方式都各自計(jì)算此模型雙站RCS，見圖7，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)結(jié)果是吻合的。表3將MLSSM與改進(jìn)的MLSSM在需占據(jù)的內(nèi)存、構(gòu)造時(shí)間以及在進(jìn)行迭代時(shí)耗費(fèi)的時(shí)間做對(duì)照，能夠知曉改進(jìn)的MLSSM的運(yùn)算降低了難度，并且在矩陣的構(gòu)造以及迭代運(yùn)算上都提高了效率。

如果需要計(jì)算的對(duì)象在有耗半空間的上方，因?yàn)椴⑹父窳趾瘮?shù)具有較為復(fù)雜的形式，其計(jì)算采用快速多極子難度較大；加上快速多極子受到分組的限制，通常情況下，它有以下三個(gè)環(huán)節(jié)，即聚合、轉(zhuǎn)移以及配置；如果分組過大，即便轉(zhuǎn)移過程可正常進(jìn)行，但在一定程度上會(huì)降低聚合與配置過程的效率；如果分組過小，情況剛好相反，其轉(zhuǎn)移過程與計(jì)算相對(duì)會(huì)變得更加復(fù)雜，而聚合與配置過程則沒有多大影響。因此，分組大小要恰當(dāng)，這樣快速多極子才發(fā)揮其最大的效率，通常最細(xì)層的電尺寸不能超過[0.2～0.4λ]這個(gè)范圍。經(jīng)過改進(jìn)的MLSSM方法是基于ACA而建立的，屬于純代數(shù)方法，這點(diǎn)與ACA相同，并不只局限于格林函數(shù)的形式，它就是對(duì)矩陣的數(shù)學(xué)壓縮，沒有快速多極子聚合轉(zhuǎn)移配置的過程，所以也不受限于分組。由以上兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)可知，經(jīng)過改進(jìn)的MLSSM非常適用于對(duì)有耗半空間上目標(biāo)的分析。

3 結(jié) 語

本文對(duì)矩量法中的快速迭代法進(jìn)行了概括，著重對(duì)MLSSM的阻抗矩陣形式進(jìn)行了分析，同時(shí)采取了一種新的方法作出了相應(yīng)的改進(jìn)，經(jīng)過改進(jìn)的MLSSM是對(duì)低秩類方法的進(jìn)一步壓縮，新的MLSSM計(jì)算相對(duì)要簡單很多，其嵌套結(jié)構(gòu)使矩陣矢量乘操作速度加快，數(shù)值算例分析對(duì)其正確性、有效性以及實(shí)用性進(jìn)行了驗(yàn)證，與其他算法相比，它在很大程度上可以減少同一模型的計(jì)算量，而且還是代數(shù)類方法，就算沒有使用格林函數(shù)的形式，也可不受分組的限制，在分析環(huán)境較為復(fù)雜的電磁問題中比較適用。

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