羅增儒

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數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐（中）

羅增儒

2.數(shù)學(xué)解題過程的操作

什么是解題過程？解題過程不僅包括書寫表達(dá)，還包括從拿到題目到完全解出的所有環(huán)節(jié)或每一個(gè)步驟。通過回顧自己的實(shí)際操作（看題、想題、答題、回題）可以看到，解題通常有四個(gè)基本的階段：理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思。我們對(duì)這個(gè)看題、想題、答題、回題的感性過程并不陌生，問題在于能不能上升到理性的高度。比如：

我們都知道解題的首要前提是審題，但審題“審什么、怎么審”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

我們都知道解題的思維核心是思路探求，但思路探求“探什么、怎么探”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

我們都知道解題的最終呈現(xiàn)是書寫，但書寫“寫什么、怎么寫”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

我們都知道學(xué)會(huì)解題的好途徑是反思，但反思“思什么、怎么思”，能夠說清楚、講明白、做到位嗎？

2-1理解題意

（1）理解題意的基本含義

理解題意也叫做審題，主要是弄清題目已經(jīng)告訴了你什么，又需要你去做什么，從題目本身獲取怎樣解這道題的邏輯起點(diǎn)、推理目標(biāo)以及溝通起點(diǎn)與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息。

題目本身是解決這道題的鑰匙。只不過其中的積極提示往往是通過語言文字、公式符號(hào)以及它們之間的聯(lián)系間接地告訴我們。所以，審題一定要逐字逐句看清楚，力求從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)含義、答題形式、數(shù)據(jù)要求等方面真正看懂題意。

成在審題，敗在審題。弄清題意等于解決了問題的一半。解題中出現(xiàn)的會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全的情況，究其原因，多在于未審清或?qū)彶磺孱}意。審題要抓好“審什么”的三個(gè)要點(diǎn)和“怎么審”的四個(gè)步驟。

（2）審題審什么。

抓好審題“審什么”的三個(gè)要點(diǎn)。

①弄清題目的條件是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何。

條件包括明顯寫出的和隱蔽地給予的，弄清條件就是要把它們都盡量找出來；更重要的是弄清條件的數(shù)學(xué)含義，即看清楚條件所表達(dá)的到底是哪些數(shù)學(xué)概念、哪些數(shù)學(xué)關(guān)系。有時(shí)，還要排除無關(guān)信息與干擾信息。

題目的條件告訴我們從何處下手、預(yù)示“可知”并啟發(fā)解題手段，弄清了條件就等于弄清了行動(dòng)的起點(diǎn)，也準(zhǔn)備好了行進(jìn)中的加油站。

②弄清題目的結(jié)論是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何。

題目的結(jié)論有的是明顯給出的，如求證題，關(guān)鍵是要弄清結(jié)論到底與哪些數(shù)學(xué)關(guān)系、哪些數(shù)學(xué)概念有關(guān)；有的是要我們?nèi)ふ业模缜蠼忸}、探索題等。這時(shí)的弄清結(jié)論，就是要弄清求解的探索性質(zhì)或探索范圍，它們與哪些數(shù)學(xué)關(guān)系、哪些數(shù)學(xué)概念有關(guān)，以明確推理或演算的方向。

題目的結(jié)論告訴我們向何方前進(jìn)、預(yù)告“需知”并引導(dǎo)解題方向。弄清了結(jié)論就等于弄清了行動(dòng)的目標(biāo)，也隨身帶上了糾正偏差的“指南針”。

③弄清題目的條件和結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)。

在弄清條件的數(shù)學(xué)含義、結(jié)論的數(shù)學(xué)含義的基礎(chǔ)上，繼續(xù)弄清條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)之間存在哪些初步的數(shù)學(xué)聯(lián)系，這些初步聯(lián)系就表現(xiàn)為題目的結(jié)構(gòu)（題型）。

為了更接近問題的深層結(jié)構(gòu)，審題不僅開始于解題工作的第一步，還貫穿于探求的過程與結(jié)果的反思，應(yīng)該是一個(gè)循環(huán)往復(fù)、不斷深化的過程。

題目的條件和結(jié)論是怎樣解這道題的兩個(gè)信息源，審題的實(shí)質(zhì)是從題目本身去獲取從何處下手、向何方前進(jìn)的信息與啟示。

（3）審題怎么審。

抓好審題“怎么審”的四個(gè)步驟。

①讀題——弄清字面含義。

首先要逐字逐句逐段地讀懂題目說了什么，按每分鐘閱讀300～400個(gè)印刷符號(hào)的速度計(jì)算，通常讀完一道題用不了1分鐘，但未必讀懂了。因而，還應(yīng)該從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系上作出分析，真正弄清哪些是條件，哪些是結(jié)論，各有幾個(gè)，這是讀題最實(shí)質(zhì)性的工作。

其次要從題型特點(diǎn)、答題形式、數(shù)據(jù)要求上明確題目的技術(shù)性細(xì)節(jié)。比如在考試中，有的題目要求保留幾位小數(shù)等。如果不按這些要求來，解答就會(huì)被認(rèn)為不完整（存在扣分的危險(xiǎn)），即使有的同學(xué)并非不會(huì)做。

②理解——弄清數(shù)學(xué)含義。

看懂題目的字面含義還不能算真正審清題意，它只是為實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)理解掃清了語言障礙，關(guān)鍵是要能進(jìn)行文字語言、符號(hào)語言、形象語言、表格語言之間的轉(zhuǎn)化，從題目的敘述中獲取數(shù)學(xué)符號(hào)信息，從題目的圖形中獲取數(shù)學(xué)形象信息，弄清題目的數(shù)學(xué)含義。這當(dāng)中，我們常常要回到定義，激活相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要輔以圖形或記號(hào)，使條件和結(jié)論都數(shù)學(xué)化，并被我們所理解。比如：

題目的條件（或結(jié)論）說了拋物線，拋物線能加嗎？能減嗎？能乘嗎？能除嗎？能運(yùn)算嗎？能推理嗎？有困難！所以，立即想拋物線的定義，想拋物線的表達(dá)式（符號(hào)語言）和圖像（形象語言），初中的表達(dá)式是y=ax2+bx+c（a≠0），圖像是一條類似拋體運(yùn)動(dòng)路徑的曲線。一旦寫出拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）就等于設(shè)出了5個(gè)字母和它們之間的等量關(guān)系，有助于運(yùn)算或推理的展開。

題目出現(xiàn)了正方形ABCD，但正方形能加嗎？能減嗎？好運(yùn)算、易推理嗎？應(yīng)該把正方形的定義和相關(guān)性質(zhì)都寫出來。如∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC= 90°，AB=BC=CD=DA等，這有助于運(yùn)算或推理的展開。

題目的條件（或結(jié)論）說了“二次方程有實(shí)根”，它的數(shù)學(xué)含義是什么？可以是等式，存在x0使ax02+bx0+c=0，也可以是不等式b2-4ac≥0，還可以從知識(shí)鏈上展開：

……

③表征——識(shí)別題目類型。

信息在大腦的呈現(xiàn)叫做表征。弄清條件、弄清結(jié)論的同時(shí)，條件與結(jié)論之間的關(guān)系會(huì)在頭腦中呈現(xiàn)，這種呈現(xiàn)不僅會(huì)激活相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也會(huì)調(diào)動(dòng)相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于大量的常規(guī)題來說，條件與結(jié)論之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)是記憶儲(chǔ)存中現(xiàn)成的——每人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣地儲(chǔ)存有基本模式與經(jīng)典題型。題意弄清楚了，題型就得以識(shí)別，提取該題型的相應(yīng)方法即可解決（叫做模式識(shí)別）。即使是新的陌生情景，我們也有了解決它的邏輯起點(diǎn)與推理目標(biāo)，繼而可以用差異分析、以退求進(jìn)、區(qū)分情況、層次解決、正難則反、數(shù)形結(jié)合等措施進(jìn)入下一階段——思路探求。

④深化——接近深層結(jié)構(gòu)。

簡單題一旦弄清了題意，題型就得以識(shí)別，思路隨之打通，但有時(shí)認(rèn)識(shí)是淺層的。對(duì)于變通過的、形似而質(zhì)異的或綜合性較強(qiáng)的題目，則還要不停頓地弄清問題。因而，弄清題意的工作在識(shí)別題目類型之后還結(jié)束不了，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一是在思路探求中，還有一個(gè)繼續(xù)弄清題意的過程，否則會(huì)使思路受阻、思維走偏；其二是在思路已打通、解法初步得出時(shí)，仍有一個(gè)回顧反思、再認(rèn)識(shí)的過程，即更本質(zhì)地弄清問題，努力接近問題的深層結(jié)構(gòu)。

經(jīng)驗(yàn)表明，凡是題目未明顯寫出的，一定是隱蔽地給予的。只有細(xì)致地審題，才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這一步不要怕慢。注意：這些要點(diǎn)，敘述時(shí)是分解動(dòng)作，真正解題時(shí)是連續(xù)進(jìn)行、一氣呵成的。請(qǐng)思考下面題目中條件是什么，結(jié)論是什么。

例1已知mn≠0，n2+4m＞0，又a≠b且

試求過點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示）。

講解：條件是什么？結(jié)論是什么？

理解1：給出關(guān)于四個(gè)字母m，n，a，b的五個(gè)條件（三個(gè)不等關(guān)系、兩個(gè)同形等式），mn≠0，n2+4m＞0，a≠b，ma2+na-1=0，mb2+nb-1=0。

結(jié)論是求過兩點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示），或者說是求y=kx+h中的兩個(gè)字母k，h。

理解2：關(guān)于四個(gè)字母m，n，a，b的三個(gè)條件：

條件1：給出四個(gè)字母m，n，a，b。

條件2：字母m，n滿足兩個(gè)關(guān)系mn≠0，n2+4m＞0。

條件3：字母a，b滿足三個(gè)關(guān)系：a≠b，a，b是二次方程mx2+nx-1=0的兩個(gè)實(shí)根，組成兩個(gè)點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）。

結(jié)論是求過兩點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示），或者說是求y=kx+h中的兩個(gè)字母k，h。

對(duì)于題目的多個(gè)條件，先用哪個(gè)后用哪個(gè)，哪個(gè)條件與哪個(gè)條件相配合等需作通盤考慮。一個(gè)比較麻煩的想法是從已知兩等式中解出a，b，再由A，B的坐標(biāo)求一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+h。另一種較為自然的解法是用待定系數(shù)法求k，h。

解法1：由①、②可解得

由于a≠b，所以A，B的坐標(biāo)恰好為一個(gè)取正（負(fù)）號(hào)、另一個(gè)取負(fù)（正）號(hào)：

反思1：這個(gè)解法的運(yùn)算能力值得敬佩，但十分麻煩，需要簡化。首先，分別求出A，B的坐標(biāo)a1，2，b1，2又討論合并，有思維回路；其次，求出A，B的坐標(biāo)又在解方程中消去也是一個(gè)思維回路，應(yīng)該考慮這些回路是必要的還是多余的；再次，理解求k，h的方程，其實(shí)是，由相減，可得，從而h=a2-ka=a2-（a+b）a=-ab。

抓住這個(gè)實(shí)質(zhì)步驟，立即可以將k，h表示為a，b之和、之積，然后將a，b之和、之積用含有m，n的代數(shù)式表示。由兩數(shù)之和與兩數(shù)之積很容易想到韋達(dá)定理。

解法2：設(shè)過A，B的一次函數(shù)解析式為y=kx+h，由于A，B在拋物線y=x2上，消去y，得a，b是二次方程

的兩個(gè)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，有

但由已知兩等式知，a，b是二次方程

的兩個(gè)實(shí)根，又有

反思2：在解法2中，③式與⑤式都是以a，b為根的一元二次方程，④式與⑥式都有兩根之和、兩根之積（a+b，ab），我們有理由懷疑這里面有重復(fù)。重新理解條件與結(jié)論，a，b是二次方程③x2-kx-h=0的根表明

作為目標(biāo)，需要確定k，h。而條件有①、②式成立，將其與⑦、⑧式比較，從中可以看到，二次項(xiàng)的系數(shù)不相同，消除差異，有0，（a≠b）。

解法3：由①，②有

由a≠b表明，兩點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）均在直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線知，這就是過點(diǎn)A，B的一次函數(shù)解析式。

評(píng)析：這個(gè)解法變解法1的運(yùn)算為推理，把k，h作為整體而同時(shí)確定，把解法2中③式與⑤式的重復(fù)、④式與⑥式的重復(fù)都消除了。關(guān)鍵在于，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想揭示了題目的本質(zhì)：已知A，B兩點(diǎn)均在直線my+nx-1=0（mn≠0）上，變形，這就是過A，B兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式。這樣一來，題目幾乎不用做就有答案（只要明白一次函數(shù)的圖像是直線）。這就是對(duì)題意的更接近深層結(jié)構(gòu)的理解：

理解3：兩個(gè)字母a，b滿足兩個(gè)條件：

條件1：字母a，b（a≠b）組成兩個(gè)點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）。

條件2：這兩個(gè)點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）在直線my+ nx-1=0上（滿足兩個(gè)同形等式ma2+na-1=0，mb2+ nb-1=0），其中mn≠0（有了a≠b，n2+4m＞0成為多余的）。

結(jié)論是求過兩點(diǎn)A（a，a2），B（b，b2）的一次函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示）。

（待續(xù)）