江勇才

概念是思維的基本單位。由于概念的存在和應用，人們可以對復雜實物做出簡化、概括或分類的反應；由于概念是在揭示了經(jīng)驗的內(nèi)在聯(lián)系，獲得了實物的本質(zhì)特征以后形成的，所以，概念增加了經(jīng)驗的意義。概念將事物依其共同屬性而分類，依其屬性的差異而區(qū)別，因此，概念的形成可以幫助學生了解事物之間的從屬或相對關(guān)系。

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡明、概括的反映，并且都由反映概念本質(zhì)特征的符號來表示，這些符號使數(shù)學比別的學科有更加簡明、清晰、準確的表述形式。在中學數(shù)學教學中，正確理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識的前提，是學好定理、公式、法則和數(shù)學思想的基礎(chǔ)，對數(shù)學概念的理解和掌握既是正確思維的前提，又是提高數(shù)學解題能力的必要條件。而數(shù)學概念形成的主要途徑可以說是教學。

三角形的內(nèi)角和這一定理在初中的數(shù)學中有著舉足輕重的地位，它是初中數(shù)學最基礎(chǔ)、最重要的內(nèi)容之一，是以后學習多邊形內(nèi)角和的基礎(chǔ)，特別是現(xiàn)代生活中的“鑲嵌”，也離不開三角形的內(nèi)角和定理。學習它，特別是學習它的推理證明，可以發(fā)展學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)他們自主學習、合作探究、推理論證等能力。

根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，學生在遇到新概念時，總是先用已有認知結(jié)構(gòu)去同化，如果獲得成功，就得到暫時的平衡；如果同化不成功，則會調(diào)節(jié)已有認知結(jié)構(gòu)或重新建立新的認知結(jié)構(gòu)，以順應新概念，從而達到平衡。本文以“14.2（1）三角形的內(nèi)角和”為題目，說說我是怎樣依據(jù)學生概念學習的這種機制，利用新概念與學生已有認知結(jié)構(gòu)之間的差異來設(shè)置出相應的教學情境，以使學生能夠意識到這種不平衡，從而引起學生的認知需要，促使學生展開積極主動的學習活動。

本節(jié)課的教學目標：（1）經(jīng)歷對三角形內(nèi)角和進行猜測、說理證實的研究過程，體會直觀感知與理性思考的聯(lián)系和區(qū)別，感受添加輔助線的依據(jù)；（2）掌握三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，能運用這一性質(zhì)進行簡單的說理計算。

本節(jié)課的教學難點：感受輔助線生成的過程，證實三角形內(nèi)角和的性質(zhì)。本節(jié)課是由實驗幾何向論證幾何過渡，初步經(jīng)歷和體驗幾何推理的過程。

作為幾何證明的重要組成部分，這節(jié)課所涉及的內(nèi)容對于幾何證明的學習顯得十分重要。其原因一方面在于，這是添加輔助線、進行幾何證明的首次學習，學生對此普遍感到困難；另一方面，這是《義務教育數(shù)學課程標準》下的“幾何公理體系”第一次循環(huán)的綜合運用，即“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的綜合應用。

我認為本節(jié)課的重點和難點是證明三角形內(nèi)角和為180°的輔助線的添法。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫作輔助線，輔助線通常畫成虛線。三角形的內(nèi)角和為180°，這個定理學生小學已經(jīng)學過，而且用操作的方法進行了初步的驗證，因此，本節(jié)課主要是定理的證明。在證明的過程中，設(shè)置了一個小提示，“180°是在什么情況下出現(xiàn)的？你可以怎樣建構(gòu)？”由于剛剛學習過平行線，因此，學生多數(shù)都能聯(lián)想到兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；也能想到，平角為180°，學生有了初步的想法：添加平行線。然后我根據(jù)學生的特點安排了分組討論證明，學生經(jīng)過小組討論，一共獲得了如下幾種證明的方法：

方法1：作AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和同旁內(nèi)角互補，得到∠C=∠DAC，∠B+∠BAD=180°，再根據(jù)等量代換，得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法2：過點A作ED∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAB，再由等量代換和平角的意義從而得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法3：過點A作ED∥BC，延長BA，根據(jù)直線平行同位角和內(nèi)錯角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAD再由等量代換和平角的意義，得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法4：過點A，B，C作AD∥BE∥CF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等則∠ACD=∠DAC，∠EBA=∠BAD，再由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，得∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

方法5：過點A，B，C作AD⊥BC，BE⊥BC，CF⊥BC，由垂直的意義，得到∠EBC=∠FCD=90°，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等，得∠ACF=∠DAC，∠EBA=∠BAD，最后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

此時，本節(jié)課的重點和難點自然突破，在探索的過程中，無論是優(yōu)等生還是學困生都獲得了極大的成功感，優(yōu)等生能掌握更多的方法，而學困生也能掌握一兩種。

學生在探索添加輔助線證明這一部分一共用了25分鐘，后面的練習題分配的時間就相對少了，但是筆者認為，多種輔助線的添加，不僅鍛煉了學生的思維品質(zhì)，還培養(yǎng)了他們自主學習、合作探究、推理論證等能力。本節(jié)課中三角形內(nèi)角和的熟練掌握也為學生今后學習多邊形的內(nèi)角和等知識打下了良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：重慶市南川區(qū)南川中學東勝校區(qū)）