孫 健，劉輝昭

（1.天津中德應(yīng)用技術(shù)大學 基礎(chǔ)課部，天津 300350；2.河北工業(yè)大學 理學院，天津 300401）

一類p（x）-Laplace方程解的存在性研究

孫 健1，劉輝昭2

（1.天津中德應(yīng)用技術(shù)大學 基礎(chǔ)課部，天津 300350；2.河北工業(yè)大學 理學院，天津 300401）

在光滑有界區(qū)域 Ω?RN上，討論了具有 Dirichlet邊值條件的一類 p（x）-Laplace方程解的存在性.在問題的研究過程中，通過利用 LP（x）（Ω）空間，W1，P（x）（Ω）空間的一些相關(guān)理論及帶有 PS條件的Mountain Pass引理，給出了解存在性的一個充分條件，對原有結(jié)論進行了一個有意義的推廣.

p（x）-Laplace方程；PS條件；Mountain Pass引理

1 引言

近年來，p（x）-Laplace方程 Dirichlet邊值問題得到了廣泛關(guān)注［1］-［4］，文獻［5］討論了Laplace方程Dirichlet邊值問題

正解的存在性.

本文利用 Mountain Pass引理和嵌入定理，討論如下p（x）-Laplace方程 Dirichlet邊值問題

非平凡解的存在性，其中 Ω是Rn上有界光滑區(qū)域，p，q∈C（），p（x）＜n，1＜p（x）＜q（x）

定理1.1當 p（x）

2 預(yù)備知識

定理 2.3［5］［Mountain Pass引理］：設(shè) E是Banach空間，I∈C1（E，R）滿足：

3 主要問題的證明

設(shè) Ω1={x∈Ω：|u（x）|≥h}，Ω2={x∈Ω：|φ（x）|≥r}，Ω3={x∈Ω：|φ（x）|≤r，|u（x）|≤h}，則 p+（Ωi）＜q-（Ωi），故必存在 αi，使得 p+（Ωi）＜αi＜q-（Ωi），取α={αi}，則

因為 p+（B2R（x0））＜q-（B2R（x0）），所以當 t→+∞ 時，J（tx0）→-∞.

易知 J（0）=0，由引理 3.1，泛函 J（u）滿足 PS條件，結(jié)合定理2.3可知，問題具有非平凡解.

［1］Xian ling Fan,Qi Hu Zhang.Existence of solutions for p(x) -Laplacian Dirichlet probolem［J］.Nonlinear Analysis,200 3,52：1843-1852.

［2］Fan X L,Shen J,Zhao D.Sobolev Embeding Theorems for spaces［J］.Math Anal Appl,2001,262(2)：749-760.

［3］范先令，趙元章，張啟虎.p(x)-Laplace方程的強極值原理［J］.數(shù)學年刊，2003,24A：495—500.

［4］Wang X,Zhao L,Zhao P H.Combined effects of singular and critical nonlinearities in elliptic problems［J］.Nonlinear Analysis：Theoty,Method&Applications,2013,87：1—10.

［5］G.A.Afrouzi,On positive mountain pass solutions for a semilinear elliptic boundary value problem［J］.Applied Mat hematics and Computation.2005,167：76-80.

［責任編輯：劉 昱］

Existence of Solution for a Class of Equation

SUN Jian1LIU Huizhao2
(1.Tianjin Sino-German Vocational Technical College,Tianjin,300350,China；2.Hebei University of Technology,Tianjin,300401,China)

In this paper,the existence of solution for a class of p（x）-Laplace equation with Dirichlet boundary value was discussed.An existence result which generalized the work of G.A.Afrouzi independing on the spaces of LP（x）（Ω）,W1，P（x）（Ω）and the Mountain Pass Lemma was obtained.

p（x）-Laplace equation;PS condition;Mountain Pass Lemma

O 175.2

A

1672-402X（2016）08-0001-03

2016-02-29

孫?。?983-），男，天津人，碩士，天津中德應(yīng)用技術(shù)大學講師.研究方向：偏微分方程，數(shù)學教學.劉輝昭（1963-），男，天津人，博士，河北工業(yè)大學教授.研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學、非線性微分方程、數(shù)學建模等.