薛　紅，金宇寰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

隨機(jī)利率下具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)

薛紅，金宇寰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

摘要：假定股票價(jià)格遵循雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，利率滿足Vasicek模型，建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，利用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)分析理論和保險(xiǎn)精算方法，得到具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞：雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；可轉(zhuǎn)換債券；保險(xiǎn)精算；隨機(jī)利率

可轉(zhuǎn)換債券是指發(fā)行人依照法定程序發(fā)行、在一定時(shí)間內(nèi)依據(jù)約定條件可以轉(zhuǎn)換成股份的公司債券.可轉(zhuǎn)債是普通公司債券和認(rèn)股權(quán)證的組合，兼具債權(quán)和股權(quán)的雙重屬性.文獻(xiàn)[1]假定股票遵循分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，利率滿足Hull-White模型，利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分析理論與方法，得到可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式；文獻(xiàn)[2]在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下，隨機(jī)利率滿足Vasicek模型，得到隨機(jī)利率下具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式.雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更為廣泛的高斯過程，可以更好的用來刻畫金融資產(chǎn)的隨機(jī)波動(dòng)性，關(guān)于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念和性質(zhì)可參見文獻(xiàn)[3-4].本文假定股票價(jià)格遵循雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，利率滿足Vasicek模型，建立了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，利用保險(xiǎn)精算方法，得到了具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)公式.

1雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場(chǎng)模型

|t-s|2HK,s,t≥0,

其中：H∈(0,1),K∈(0,2)

當(dāng)K=1時(shí)，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K=1,H=1/2時(shí)，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

假定股票價(jià)格S(t)和利率r(t)分別滿足如下隨機(jī)微分方程

(1)

(2)

引理1 隨機(jī)微分方程的解為

引理2隨機(jī)微分方程(2)的解為

則

從而可證結(jié)果.

引理3[1]假定a,b,c,d,k為實(shí)數(shù)，且

ζ1～N(0,1),ζ2～N(0,1),cov(ζ1,ζ2)=ρ,

則

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

定義6[5]股票價(jià)格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率β(u),u∈[0,t]定義為

引理5股票價(jià)格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率

β(u)=μ(u)-q(u),u∈[t,T]

證明由引理1可知

又因?yàn)?/p>

所以

從而可得結(jié)果.

2具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)

定義2 [1] 假設(shè)可轉(zhuǎn)換債券只在債券到期時(shí)刻T發(fā)生轉(zhuǎn)換，則可轉(zhuǎn)換債券到期時(shí)的現(xiàn)金流量VT可以表示為

其中:VT表示可轉(zhuǎn)換債券到期時(shí)刻T的價(jià)值，Pb表示純債券價(jià)值，C表示轉(zhuǎn)換價(jià)格，M表示債券面值，S(T)表示T時(shí)刻股票價(jià)格.

定義3 具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)值定義為

其中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按利率r折現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按其期望收益率β折現(xiàn).

定理1具有紅利支付的可轉(zhuǎn)換債券在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

其中：Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且

證明令

由引理5可得

令

則A={ζ<-d},B={ζ≥-d} 又因?yàn)?/p>

則

其中 ζ1～N(0,1),ζ2～N(0,1),且cov(ζ1,ζ2)=ε 所以

且

).

注 當(dāng)K=1時(shí)，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有隨機(jī)利率和支付紅利的可轉(zhuǎn)換債券保險(xiǎn)精算價(jià)格(見文獻(xiàn)[2])

其中：Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且

D1=σ2δ2T2H,D2=δ2(1-δ2)T2H

MH的定義見文獻(xiàn)[6].

特別地，當(dāng)K=1,δ=0,q=0時(shí)，可得文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

[1]薛紅, 李軍, 吳曉蕊. 隨機(jī)利率下可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)[J]. 西安工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 25(1): 119-121.

[2]LI C, XUE H. An actuarial approach to convertible bond pricing in fractional brownian motion environment[C]// Shanghai: the 3rd International Conference on E-Business and E-Government, 2012. 2404-2407.

[3]ES-SEBAIY K, TUDOR C. Multidimensional bifractional brownian motion: Ito and Tanaka formulas [J]. Stochastics and Dynamics, 2007, 7(3): 365-388.

[4]RUSSO F, TUDOR C. On the bifractional Brownian motion [J]. Stochastic Processes and their Applications, 2006, 116(5): 830-856.

[5]BLADT M T, RYDBERG H. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumption [J]. Insurance: Mathematical And Economics, 1998, 22(1): 65- 73.

[6]BIAGINI F, HU Y, OKSENDAL B,etal. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and applications [M]. New York: Springer, 2008.

Pricing convertible bond with dividend paying under stochastic interest rate

XUE Hong, JIN Yu-huan

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Abstract：Assumed that asset price follows stochastic differential equation driven by the bifractional Brownian motion, and interest rate satisfies Vasicek interest rate model driven by the bifractional Brownian motion, the mathematical model for financial market was built. Using the stochastic analysis theory for bifractional Brownian motion and the method for actuarial mathematics, the pricing formula for convertible bond with dividend paying was obtained.

Key words：bifractional Brownian motion; convertible bond; actuary method; stochastic interest rate.

收稿日期：2015-07-02.

基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016JM1031)

作者簡(jiǎn)介：薛紅(1964-)，男，博士，教授，研究方向：隨機(jī)分析與金融工程、保險(xiǎn)精算.

中圖分類號(hào)：O211

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-0946(2016)03-0369-03