趙瑞，李樊

（1. 中國地震局地震研究所 地震大地測量重點實驗室，湖北 武漢 430071；2. 湖北省地震局，湖北 武漢 430071；3. 襄陽市中心醫(yī)院 急診科，湖北 襄陽441021）

?

不同耦合方式對單個振蕩系統(tǒng)中螺旋波的影響

趙瑞1，2，李樊3

（1. 中國地震局地震研究所 地震大地測量重點實驗室，湖北 武漢 430071；2. 湖北省地震局，湖北 武漢 430071；3. 襄陽市中心醫(yī)院 急診科，湖北 襄陽441021）

摘要：研究不同耦合方式對振蕩介質(zhì)中螺旋波的影響，同時用可激發(fā)介質(zhì)中的螺旋波作為對比.結(jié)果表明，不同耦合方式對螺旋波的影響主要表現(xiàn)為波紋、周期和振幅的變化，如螺旋波進(jìn)入時空混沌，平均振幅變大，相鄰的周期變小.

關(guān)鍵詞：振蕩系統(tǒng)；耦合；靜息態(tài)

自非線性科學(xué)形成以來，螺旋波斑圖備受關(guān)注，尤其是心臟中的螺旋波，主要造成心律不齊和心動過速.目前主要有化學(xué)實驗法、物理法和數(shù)值模擬3種研究方法.使用最多的是數(shù)值模擬，利用計算機(jī)編程，離散非線性模型，采取合理的邊界條件和初始條件，從而再現(xiàn)螺旋波的特性.合理有效地控制螺旋波，可以防止螺旋波失穩(wěn)破碎，形成時空混沌，而進(jìn)一步破壞心臟的有機(jī)組織.目前控制方法主要有：（1）全局控制，像外加周期信號，驅(qū)動耦合；（2）局部控制，如參數(shù)擾動等.其中張宏［1］通過周期地注入外界信號抑制螺旋波和時空混沌；馬軍［2］通過外界電場控制螺旋波和時空混沌；Nekorkin等人［3-5］利用耦合方法控制螺旋波和時空混沌.錢郁［6］對激發(fā)介質(zhì)中螺旋波做了長程連接的研究.

截止到目前為止，采用驅(qū)動耦合方法控制螺旋波主要集中在激發(fā)介質(zhì)中，而對于振蕩介質(zhì)中的螺旋波，以及單層的耦合研究的不夠多.

1　模型

二維的復(fù)金茲堡-朗道方程［7-8］其表達(dá)式（1）

其中：A是系統(tǒng)的復(fù)變量，具有A=a +ib 的形式，二階偏導(dǎo)數(shù)可以寫成▽2A =（?2A/?x2）+（?2A/?y2）.微調(diào)2個主要參數(shù)α和β時，可以繪制出各種各樣的時空斑圖，螺旋波斑圖就是其中的一種.已有的研究表明，當(dāng)αβ≥0（α＞β≥0或者0≥β＞α）時會出現(xiàn)反螺旋波［9］.同時又有結(jié)果表明，當(dāng)α＜β時系統(tǒng)才會出現(xiàn)反螺旋波［10］.

數(shù)值模擬中把參數(shù)α，β分別設(shè)置為α=0.35和β=-1.36，數(shù)值模擬的區(qū)域大小設(shè)置為100×100，離散成256×256的格點.使用無流邊界條件，一階歐拉向前差分，五點差分近似方法分別作用在系統(tǒng)的邊界.時間和空間上，空間步長取Δx=Δ y=1.0，時間步長Δt=0.05，合理的設(shè)置初始條件振蕩系統(tǒng)會出現(xiàn)穩(wěn)定的螺旋波.

2　數(shù)值模擬方法

在單層振蕩系統(tǒng)中，采用點對點的耦合方法，每個格點的選取都有一定的選擇概率，同時在數(shù)值模擬中不會出現(xiàn)重復(fù)選中.為了具體研究螺旋波，數(shù)值模擬主要從以下2個角度出發(fā)：

（1）在數(shù)值模擬的整個過程中，固定性的選擇1對耦合格點；

（2）在數(shù)值模擬中設(shè)置一定的選擇概率p，不同時間無重復(fù)的選擇需要耦合的2個格點.

數(shù)值模擬中以穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的螺旋波作為耦合前的初始態(tài)，耦合項在穩(wěn)定態(tài)之后加入.本文以18 000個時間步長為準(zhǔn)，耦合示意圖見圖1.

圖1 耦合示意圖

3　數(shù)值結(jié)果與分析

根據(jù)給出的耦合方法，主要研究2種耦合方式對單個振蕩系統(tǒng)中螺旋波動力學(xué)行為的影響，主要從斑圖的演化和部分的數(shù)學(xué)參量變化情況來描述.

3.1固定耦合

首先選取復(fù)變量耦合格點A（128，128）和A（192，192）作為耦合的對象，當(dāng)整個平面空間被螺旋波占據(jù)時，加入此耦合項，振蕩介質(zhì)和激發(fā)介質(zhì)中螺旋波受到此連接后的變化情況見圖2和圖3.

從圖2和圖3中可以發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定的螺旋波波紋變細(xì)，周圍出現(xiàn)少量的混沌，中心伴隨著靜息態(tài)，長時間演化，系統(tǒng)最終轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的靜息態(tài).應(yīng)用到不同的介質(zhì)中，例如：可激發(fā)介質(zhì)［11-12］，同樣將螺旋波轉(zhuǎn)化為靜息態(tài)，不僅需要的時間少，而且不會引起時空混沌.

3.2隨機(jī)耦合

隨機(jī)性的耦合，簡單的說就是以一定的概率p隨機(jī)性的，并且沒有重復(fù)性的從離散格點中只選擇1對格點作為耦合項加入動力學(xué)方程中的右邊.不同選擇概率p對整個螺旋波斑圖演化的影響見圖4.

選擇概率p =0.2的情況下螺旋波的變化情況見圖5.從圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)性耦合不僅可以促使螺旋波的破碎，而且又引導(dǎo)其進(jìn)入時空均勻的靜息態(tài).

圖2 振蕩介質(zhì)中螺旋波的演化

在非線性物理中，一般利用自關(guān)聯(lián)函數(shù)來度量系統(tǒng)本身各個格點的同步狀態(tài).例如：文獻(xiàn)［4］使用全局偏導(dǎo)數(shù)來描述控制方法的效果，得到的變化關(guān)系圖見圖6.其參數(shù)表示為

加入耦合前后系統(tǒng)的平均振幅隨時間的變化情況見圖7，其中圖7a是未加入耦合的關(guān)系圖（p =0.0），圖7b是加入耦合后的關(guān)系圖（p =0.2）.由圖7可以發(fā)現(xiàn)，二者周期和振幅之間有一定的區(qū)別，加入隨機(jī)耦合致使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌，而引起整個系統(tǒng)的平均振幅和周期發(fā)生了變化.

圖3 激發(fā)介質(zhì)中螺旋波的演化

圖4 不同概率下螺旋波的演化

圖5 概率p =0.2的情況下螺旋波的演化

圖6 相關(guān)參數(shù)的變化

圖7 瞬時平均振幅

4　結(jié)論

以一定的選擇概率p來設(shè)置動力學(xué)系統(tǒng)的耦合項，討論單個振蕩系統(tǒng)中螺旋波演化的特性，得出結(jié)論：（1）無論在振蕩介質(zhì)還是激發(fā)介質(zhì)中，都可以選擇利用確定性的耦合抑制系統(tǒng)中的螺旋波和時空混沌，唯一的區(qū)別就是在振蕩介質(zhì)中需要的控制時間比激發(fā)介質(zhì)中的要長；（2）隨機(jī)耦合會引起振蕩介質(zhì)中的螺旋波破碎，但最終隨著控制時間的推移同樣可以控制其進(jìn)入時空均勻的靜息態(tài)；（3）隨機(jī)耦合通過2個格點的耦合來影響整個系統(tǒng)的幅度，但相鄰格點的周期變小了.

參考文獻(xiàn)：

［1］ Zhang H，Hu B，Hu G.Suppression of spiral waves and spatioteporal chaos by generating target waves in excitable media［J］.Physical Review E，2003，68（2）：026134-1-026134-4

［2］ Ma J，Ying H P，Li Y L.Suppression of spiral waves using intermittent local electric shock［J］.Chinese Physics，2007，16（4）：0955-0961

［3］ Nekorkin V I，Kazantsev M G，Velarde M G，et al.Pattern interaction and spiral waves in a two-layer system of excitable

units［J］.Physical Review E，1998，58（2）：1764-1773

［4］ 鄺玉蘭，唐國寧.心臟中的螺旋波和時空混沌的抑制研究［J］.物理學(xué)報，2012，61（10）：100504-1-100504-8

［5］ Zhao R，Pan W，Xue Y.Exploring the control of spiral waves and spatiotemporal chaos by stochastic and cross-coupling

method［J］.Ineternational Jounal of Modern Physics B，2013，27（23）：1350129-1-1350129-9

［6］ Qian Y.The influence of long-range links on spiral waves and its application for control［J］.Chinese Physics B，2012，21（8）：088201-1-088201-7

［7］ Aranson I S，Kramer L.The word of the complex Ginzburg-Landau equation［J］.Reviews Modern of Physics，2002，74（1）：99-143

［8］ 高繼華，謝偉苗，高加振，等.耦合復(fù)金茲堡-朗道（Ginzburg-Landau）方程中的模螺旋波［J］.物理學(xué)報，2012，61 （13）：130506-1-130506-6

［9］ Gong Y F，Christini D J.Antispiral waves in reaction-diffusion systems［J］.Physical Review Letters，2003，90（8）：088302-1-088302-4

［10］ Brusch L，Nicola E M，B?r M.Comment on“Antispiral waves in reaction diffusion systems”［J］.Physical Review Letters，2004， 92（8）：089801-1

［11］ B?r M，Eiswirth M.Turbulence due to spiral breakup in a continuous excitable medium［J］.Physical Review E，1993，48（3）：1635-1637

［12］ Bragard J，Vidal G，Mancini H L，et al.Chaos suppression through asymmetric coupling［J］.Chaos，2007，17（4）：043107-1-043107-8

優(yōu)先數(shù)字出版聲明

為了提高學(xué)術(shù)成果傳播和利用價值，對具有創(chuàng)新性的科研成果爭取首發(fā)權(quán)，《高師理科學(xué)刊》已成為“中國知網(wǎng)”、“萬方數(shù)據(jù)”優(yōu)先數(shù)字出版期刊.

優(yōu)先數(shù)字出版平臺是快速實現(xiàn)各學(xué)術(shù)期刊論文按篇即時在線出版的平臺，其功能是切實提高學(xué)術(shù)期刊文獻(xiàn)出版的時效性和影響力.該平臺以印刷版期刊錄用的稿件為內(nèi)容，本刊編輯部在得到作者授權(quán)后，將對國家自然科學(xué)基金項目，省、部級自然基金項目及教學(xué)研究項目等符合優(yōu)先數(shù)字出版條件的優(yōu)質(zhì)稿件進(jìn)行優(yōu)先處理，快速實現(xiàn)單篇即時在線出版（等同紙質(zhì)出版）.自數(shù)字出版之日起，登錄中國知網(wǎng)（CNKI）全文數(shù)據(jù)庫和萬方數(shù)據(jù)庫可全文檢索和下載優(yōu)先出版的稿件.

《高師理科學(xué)刊》編輯部

The influence of different coupling methods for spiral waves in single oscillation system

ZHAO Rui1，2，LI Fan3
（1. Key Laboratory of Earthquake Geodesy，Institute of Seismology，CEA，Wuhan 430071，China；2. Earthquake Administration of Hubei Province，Wuhan 430071，China；3. Department of Emergency，The Central Hospital of Xiangyang City，Xiangyang 441021，China）

Abstract：Study the influence of different coupling methods on the spiral waves in oscillation system. By comparing the excitable media，the research results show that the wave，period and amplitude are major impacts for the different types of coupling，such as the spiral waves are come into the spatiotemporal chaos，the mean amplitude is increased and the adjacent peak period is shortened.

Key words：oscillation system；coupling；resting state

中圖分類號：O415.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.008

文章編號：1007-9831（2016）05-0023-04

收稿日期：2016-03-10

作者簡介：趙瑞（1985-），男，湖北襄陽人，工程師，碩士，主要從事計算物理與非線性物理方面的研究.E-mail：zhaorui0612@163.com