喻敏，王文波，馬建清，胡佳

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一類極點(diǎn)級(jí)數(shù)的判斷

喻敏1，2，王文波1，馬建清1，胡佳1

摘要：探討了一類比較特殊的極點(diǎn)級(jí)數(shù)的判斷，并從理論上給出證明.

關(guān)鍵詞：孤立奇點(diǎn)；極點(diǎn)；零點(diǎn)

YU Min1，2，WANG Wen-bo1，MA Jian-qing1，HU Jia1
（1. School of Science，2. School of Information Science and Engineering，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China）

1　極點(diǎn)和零點(diǎn)的定義

定義1［1］145若函數(shù)f（z）在z0的洛朗展開式中，負(fù)冪項(xiàng)只有有限項(xiàng)，且負(fù)冪項(xiàng)的最次冪為m，則稱z0為f（z）的m級(jí)極點(diǎn).

引理［1］152若z0為函數(shù)f（z）的m級(jí)零點(diǎn)，則f（z）=（z-z0）mφ（z），其中：φ（z）在z0解析，且φ（z0）≠ 0.

在函數(shù)f（z）不容易展成f（z）=（z-z）mφ（z）的式子時(shí)，用下述充要條件判斷很方便，即z為f（z）的m

0

0級(jí)零點(diǎn)的充要條件：fn（z0）=0（n=0，1，…，m-1），fm（z0）≠0.

2　極點(diǎn)的實(shí)例及其判定定理

分析 0是f（z）的極點(diǎn)，但是和定義2的形式有點(diǎn)出入.0是分母的零點(diǎn)，由m級(jí)零點(diǎn)的充要條件可知，0是sin z的一級(jí)零點(diǎn)，則是z2sin z的三級(jí)零點(diǎn).由定義2或者由“f（z）取倒數(shù)，零點(diǎn)和極點(diǎn)可以相互轉(zhuǎn)化”的結(jié)論可知，0是f（z）的三級(jí)極點(diǎn).

證明 由零點(diǎn)的定義，P（z）=（z-z）mφ（z），Q（z）=（z-z）nφ（z），其中：φ（z），φ（z）在z解析，且

注1 定理只討論了m＜n的情況，類似地，對(duì)于m≥ n的情況，容易得出z0為f（z）的可去奇點(diǎn).

例2 求的孤立奇點(diǎn)，若是極點(diǎn)判斷其級(jí)數(shù).

分析 很容易判斷出0是f（z）的極點(diǎn)，但是極點(diǎn)的級(jí)數(shù)容易判斷為六或者五級(jí)，實(shí)際上級(jí)數(shù)應(yīng)該是三級(jí).用洛朗展式或定理求解此題.

解法2 f（z）是分式，0既是分母的零點(diǎn)，也是分子的零點(diǎn)，很顯然0是分母的六級(jí)零點(diǎn)，由判斷零點(diǎn)的充要條件可知，0是分子的三級(jí)零點(diǎn)，故由定理可知，0是f（z）的三級(jí)極點(diǎn).

注2 例2既可以用展式求解，也可以用定理求解.洛朗展式和泰勒展式一般都是用間接法展開，即用一些熟知的基本泰勒展式展開.因?yàn)槁謇收故讲粌H在級(jí)數(shù)里很重要，在判斷極點(diǎn)和留數(shù)處也很重要，且由展式判斷極點(diǎn)和求留數(shù)時(shí)直觀不容易出錯(cuò)，故推薦使用解法1.

當(dāng)然，解法2在孤立奇點(diǎn)無法展開為洛朗級(jí)數(shù)且奇點(diǎn)是分子和分母的零點(diǎn)時(shí)起到了至關(guān)重要的作用.

分析 此題很容易判斷0是極點(diǎn)，但是其級(jí)數(shù)很容易誤判為3，而且也容易忽略掉奇點(diǎn)2kπi（k≠0）.

解 0和2k πi是分母的零點(diǎn)，且由零點(diǎn)判斷的充要條件可知，2kπi（k≠0）是函數(shù)分母的一級(jí)零點(diǎn)，而其中的2πi是分子的一級(jí)零點(diǎn)，其分子和分母的零點(diǎn)級(jí)數(shù)相等，由注1可知，2πi是函數(shù)的可去奇點(diǎn)；而其他的奇點(diǎn)0和2kπi（k≠0，1）只是分母的零點(diǎn)，不是分子的零點(diǎn)，故由引理可知，0是函數(shù)的四級(jí)極點(diǎn)；2kπi（k≠0，1）是函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

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Judgement about the order of a class of pole

（武漢科技大學(xué) 1. 理學(xué)院，2. 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430081）

Key words：isolated singularity；pole；zero point

Abstract：Gives residue judgement about the order of a special class of pole and proves it theoretically.

中圖分類號(hào)：O172.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.006

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0018-03

收稿日期：2016-01-10

基金項(xiàng)目：武漢科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（2014X68）；冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目（Y201506）

作者簡介：喻敏（1975-），女，湖北武漢人，講師，碩士，從事小波分形研究.E-mail：yufeng3378@163.com