呂振環(huán)，惠淑榮，張闞，豐雪

（沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110866）

孫秀娟1，金民鎖2，王新霞1

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雙重向量積定理的一個(gè)新證法

呂振環(huán)，惠淑榮，張闞，豐雪

（沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110866）

摘要：在解析幾何中，雙重向量積是向量的一種運(yùn)算，但它的證明方法都比較復(fù)雜.給出雙重向量積定理的一種新的證明方法，相對(duì)其他證法，該證明方法更加簡(jiǎn)潔、易懂.

關(guān)鍵詞：雙重向量積；線性表示；數(shù)量積

參考文獻(xiàn)：

［1］呂林根，許子道.解析幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2006

［2］李養(yǎng)成.空間解析幾何［M］.北京：科學(xué)出版社，2007

［3］劉桂仙，胡貴新.雙重向量積公式的一種證明方法［J］.高師理科學(xué)刊，2013，33（5）：9-10

［4］魯春銘，豐雪.線性代數(shù)［M］.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2013

一堂高等數(shù)學(xué)微課設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐

孫秀娟1，金民鎖2，王新霞1

微課程并不是指為微型教學(xué)而開(kāi)發(fā)的微內(nèi)容，而是運(yùn)用建構(gòu)主義方法化成的、以在線學(xué)習(xí)或移動(dòng)學(xué)習(xí)為目的的實(shí)際教學(xué)內(nèi)容［1］.微課程現(xiàn)在作為一種新興的學(xué)習(xí)方式，它主要指適用于教育教學(xué)中的短而精的視頻課程.

1　高等數(shù)學(xué)微課教學(xué)選題

一次微課視頻時(shí)間較短，要達(dá)到短時(shí)高效，就要恰當(dāng)?shù)剡x擇知識(shí)點(diǎn)題目，選題要能夠激發(fā)學(xué)生求知欲，實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)，與多媒體課件有機(jī)結(jié)合.如對(duì)于高等數(shù)學(xué)上冊(cè)的教學(xué)，教師可以選取數(shù)列極限的描述性定義、重要極限及其在求極限中的應(yīng)用舉例（如切線問(wèn)題和速度問(wèn)題等）、可微的概念、羅爾定理的應(yīng)用、拉格朗日定理及其幾何意義、曲率的概念等應(yīng)用性較強(qiáng)的題目，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)再選取一些實(shí)際案例［2］，用PPT軟件進(jìn)行課件制作，然后通過(guò)多媒體技術(shù)等軟件制作視頻.

2　高等數(shù)學(xué)微課教學(xué)過(guò)程

一般整個(gè)教學(xué)過(guò)程控制在10～15 min左右，甚至更短，但要完整地講解出一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或應(yīng)用問(wèn)題，要保證過(guò)程完整性.由實(shí)際問(wèn)題引出微課課題，教師提出一些有針對(duì)性的未知問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生去思考，進(jìn)入新知識(shí)點(diǎn)講解，應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)解決所提出的問(wèn)題，緊扣主題，最后簡(jiǎn)潔明了地總結(jié)本節(jié)微課教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生明確本節(jié)課學(xué)習(xí)思路，鞏固知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用.微課制作過(guò)程中可以插入圖片、聲音、短視頻和音樂(lè)等，不局限于單一的PPT課件的應(yīng)用，這樣更能充分地吸引學(xué)生注意力.這種生動(dòng)形象的教育方式的教學(xué)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了傳統(tǒng)的單一語(yǔ)言教學(xué)的教學(xué)模式.

3　高等數(shù)學(xué)微課教學(xué)的實(shí)施

以高等數(shù)學(xué)上冊(cè)可分離變量微分方程知識(shí)點(diǎn)講解為例，給出本節(jié)微課設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程.

3.1教學(xué)背景（1）可分離變量微分方程的地位與作用.微分方程發(fā)展的古典時(shí)期，研究的主題是：盡可能設(shè)法把當(dāng)時(shí)遇到的一些類(lèi)型的微分方程求解問(wèn)題化為積分（求原函數(shù)）問(wèn)題，這類(lèi)方法，習(xí)慣上稱(chēng)為初等積分法.初等積分法中，最基本而重要的就是分離變量法.可分離變量的微分方程是最簡(jiǎn)單、最基本的一類(lèi)一階微分方程，是求解齊次方程和可降階的二階微分方程等的基礎(chǔ).（2）教師的準(zhǔn)備.教師通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)上“百度百科”、期刊文獻(xiàn)等途徑，對(duì)微分方程積累了一定的多媒體課件素材；課余閱讀數(shù)學(xué)文化方面的書(shū)籍，積累一定量的將數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)之中的經(jīng)驗(yàn).在分析和整合關(guān)于可分離變量微分方程的教學(xué)主體內(nèi)容后，完成本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)以及PPT制作.（3）教學(xué)方法.案例教學(xué)法與問(wèn)題情境教學(xué)法相結(jié)合.（4）教學(xué)手段.通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)、視頻、圖片與板書(shū)演示相結(jié)合錄制成15 min左右視頻教學(xué).

3.2教學(xué)內(nèi)容安排（1）運(yùn)用核廢料處理問(wèn)題案例［3］，創(chuàng)設(shè)情境，引入課題；（2）分析探究，講解可分離變量微分方程及其求解；（3）解決核廢料處理問(wèn)題案例，達(dá)到學(xué)以致用；（4）歸納總結(jié)，通過(guò)思考練習(xí)使學(xué)生掌握可分離變量微分方程解法及應(yīng)用［4-5］.

3.3微課視頻的錄制與后期處理教師在錄制視頻前，準(zhǔn)備好本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)，如教學(xué)背景了解、教學(xué)板書(shū)設(shè)計(jì)、教學(xué)內(nèi)容PPT素材設(shè)計(jì)及教師的著裝.只有做好錄制前期工作才能保證錄制視頻的效果，要選擇明亮的專(zhuān)門(mén)錄播室錄制，保證播放質(zhì)量，后期可以用Camtasia Studio軟件對(duì)錄制的視頻進(jìn)行編輯視頻、添加聲音、PPT摳圖、添加背景音樂(lè)、添加解說(shuō)詞和轉(zhuǎn)場(chǎng)動(dòng)畫(huà)等技術(shù)制作，這就要求教師還要有一定的計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)基礎(chǔ).

［1］楊雯靖.基于微課的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式研究［J］.開(kāi)封教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，35（10）：118-119

［2］盛晟.微課的設(shè)計(jì)與制作［J］.計(jì)算機(jī)光盤(pán)軟件與應(yīng)用，2014（24）：263-264

［3］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2007：260-261

［4］李心燦.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例［M］.北京：高等教育出版社，1997：105-107

［5］孫秀娟，王新霞，王春.高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)法［J］.高師理科學(xué)刊，2012，32（3）：88-89

（作者單位：黑龍江科技大學(xué)，1.理學(xué)院，2.信息網(wǎng)絡(luò)中心，黑龍江哈爾濱150022）

A new proofing method for double cross product theorem

Lü ZHEN-huan，HUI Shu-rong，ZHANG Kan，F(xiàn)ENG Xue
（School of Science，Shenyang Agricultural University，Shenyang 110866，China）

Key words：double cross product；linear expression；dot product

Abstract：In analytic geometry，double cross product is a arithmetic，its proof method are more complex.Given a new proof method for the double cross product theorem.It looks very simple and convenient compared with many other methods.

中圖分類(lèi)號(hào)：O182.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.002

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0005-02

收稿日期：2015-12-30

作者簡(jiǎn)介：呂振環(huán)（1970-），女，遼寧沈陽(yáng)人，副教授，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)模型研究.E-mail：lvzhenhuan@163.com

基金項(xiàng)目：黑龍江省高等教育學(xué)會(huì)“十三五”期間教育科學(xué)研究規(guī)劃課題；黑龍江科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目