季海波

（宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

?

伽瑪分布的Pearson-2X距離

季海波

（宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

摘要：對(duì)伽瑪分布Ga（α， λ）進(jìn)行了研究，由定義給出了2個(gè)具有不同參數(shù)的伽瑪分布之間的Pearson-X2距離的表達(dá)式，并推出了其中1個(gè)參數(shù)相同時(shí)2個(gè)伽瑪分布之間的Pearson-X2距離，得到了伽瑪分布Ga（α，λ1），Ga（α，λ2）（λ1≠ λ2）之間的Pearson-X2最大距離.

關(guān)鍵詞：Gamma分布；Pearson-X2距離；密度函數(shù)

1　引言及預(yù)備知識(shí)

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，為了比較2個(gè)密度函數(shù)的差異性，通常利用Pearson-X2距離來(lái)刻畫［1］.盡管Pearson-X2距離已經(jīng)不再滿足距離公理中的某些條款，但是它確實(shí)能夠在某種程度上刻畫2個(gè)密度函數(shù)的差異程度.近年來(lái)，在討論極值分布的大樣本問(wèn)題及分布函數(shù)的計(jì)算機(jī)模擬樣本的收斂性時(shí)，文獻(xiàn)［2-4］都使用了Pearson-X2距離，作為衡量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷一個(gè)密度函數(shù)列是否收斂到某個(gè)確定的密度函數(shù).因此，可以看出該距離是非常重要的，而且在文獻(xiàn)［5-8］中已經(jīng)研究了很多分布的Pearson-X2距離.

伽瑪分布是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要分布，其一個(gè)重要應(yīng)用是作為共軛分布出現(xiàn)在很多機(jī)器學(xué)習(xí)算法中，它與泊松分布有密切聯(lián)系.

稱T服從參數(shù)為α，λ的伽瑪分布，記做T～Ga（α，λ），其中：α＞0為形狀參數(shù)；λ＞0為尺度參數(shù).

定義2［5］403設(shè)隨機(jī)變量X，Y分別具有密度函數(shù)f（x），g（x），且f（x）＞0，g（x）＞0，若d2（f，g），d2（g，f）都存在，記dm2（f，g）=max｛d2（f，g），d2（g，f ）｝，稱dm2（f，g）為密度函數(shù)f（x），g（x）之間的Pearson-X2最大距離.

文獻(xiàn)［5］給出了2個(gè)分布之間的Pearson-X2最大距離的相關(guān)性質(zhì).本文著重討論2個(gè)伽瑪分布之間的Pearson-X2距離和Pearson-X2最大距離.

2　主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)f（x），g（x）分別是Ga（α1，λ1），Ga（α2，λ2）的密度函數(shù)，0＜λ1＜ 2 λ2，0＜α1＜ 2α2，則有

在式（5）中取λ1= λ2= λ，得到推論2.

對(duì)于2個(gè)一般的伽瑪分布之間的Pearson-2X最大距離，由于伽瑪函數(shù)大小與其參數(shù)的大小關(guān)系比較復(fù)雜，本文不予研究.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 茆詩(shī)松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2000：91-92

［2］ Robert G O，Shau S K.Updating schemes，correlation structure，blocking and parameterization for the Gibbssampler［J］.J R Statist Soc B，1997，59：291-317

［3］ Liu S J，Wong W H，Kong A.Correlation structure and convergence rate of the Gibbs sampler with various scans［J］.J R Statist Soc B，1995，57：157-169

［4］ Reiss R D.Approximate Distributions of Order Statistics［M］.Newyork：Springer，1980

［5］ 陳光曙.Pearson-2X的最大距離的性質(zhì)［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，28（4）：402-404

［6］ 季海波.k階Erlang分布的Pearson-2X距離［J］.淮陰工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，21（3）：6-9

［7］ 易秀龍.艾拉姆咖分布的Pearson-2X距離及其漸進(jìn)性［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，36（1）：51-53

［8］ 金秀巖.逆高斯分布的Pearson-2X距離及其漸進(jìn)性［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，25（3）：236-239

Pearson-2X distance on Gamma distribution

JI Hai-bo
（School of Liberal and Science，Suqian College，Suqian 223800，China）

Abstract：The Gamma distributionGa（α，λ） is studied，gives Pearson-X2distance between two Gamma distribution by the definition，obtains the Pearson-X2distance between two Gamma distribution with one same parameter，and gives the Pearson-X2maximum distance betweenGa（α，λ1） andGa（α，λ2） whenλ1≠ λ2.

Key words：Gamma distribution；Pearson-X2distance；density function

中圖分類號(hào)：O211.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.003

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0007-03

收稿日期：2016-02-29

作者簡(jiǎn)介：季海波（1981-），男，江蘇南通人，講師，碩士，從事極限理論研究.E-mail：jhb_2010@163.com