楊雅琴

（齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

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關(guān)于不定方程x3-1 = Dy2

楊雅琴

（齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

摘要：利用參數(shù)法將不定方程x3-1 = Dy2（D＞0）分解成一元一次方程和一元二次方程組成的方程組，對(duì)這個(gè)方程組的解用參數(shù)表示，通過(guò)設(shè)定此參數(shù)的值得到該不定方程的非平凡解.分別討論D不可約和D可約時(shí)，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的求解方法.

關(guān)鍵詞：參數(shù)法；不定方程；非平凡解

1 引言及預(yù)備知識(shí)

關(guān)于不定方程x3-1 = Dy2（D＞0）已經(jīng)有不少的研究成果.當(dāng)D無(wú)6k + 1的素因數(shù)時(shí)，其全部整數(shù)解已由曹珍富［1］等得到.但當(dāng)D有6k + 1的素因數(shù)時(shí)，方程的求解較為困難，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究［2-8］.本文將不定方程x3-1 = Dy2分解成一元一次方程和一元二次方程組成的方程組，對(duì)這個(gè)方程組的解用參數(shù)表示，通過(guò)設(shè)定此參數(shù)的值得到該不定方程的非平凡解.分別討論D不可約和D可約時(shí)，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的求解方法，給出不同D值對(duì)應(yīng)的不定方程x3-1 = Dy2的非平凡解.

對(duì)于任意的D＞0，不定方程x3-1 = Dy2都有平凡解（1，0）.討論當(dāng)D＞1時(shí)，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的存在情況.

引理［3］20設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，則不定方程u2-4 Dv2=± p 至多有一個(gè)解.

定理1 當(dāng)D為偶數(shù)時(shí)，不定方程u2-4 Dv2= - 3無(wú)整數(shù)解.

為非零整數(shù)，則（u2+3）≡0（mod4），那么，u必為奇數(shù).

如果v為偶數(shù)，則存在整數(shù)s，使得v=2 s，那么，不定方程u2-4 Dv2= - 3可寫(xiě)成u2-16 Ds2= - 3 .由定理1可知，不定方程u2-16 Ds2= - 3中（u，s）無(wú)整數(shù)解，與已知矛盾.所以，v必為奇數(shù).再由引理可知，如果不定方程u2-4 Dv2= - 3有整數(shù)解（u，v），則此不定方程只存在唯一一組整數(shù)解. 證畢.

2 D不可約時(shí)，不定方程x3-1 = Dy2的非平凡解

（1）21x- = Du，221 x+x+v=，y= uv；

（2）21x- = u，221 x+xD+v=，y= uv；

（3）213x- = u，2213 xxDv + + =，y=3 uv；

（4）213x Du - =，2213 xxv++=，y=3 uv .

綜上可知，不定方程x3-1 = Dy2（D是不可約的正整數(shù)）的非平凡解（x，y）滿(mǎn)足方程組

（t為奇數(shù)參數(shù)）或

（t為奇數(shù)參數(shù)）證畢.

例1 求不定方程x3+1 = 307y2的非平凡解.

例2 求不定方程x3+1 = 271y2的非平凡解.

解 因方程組有解，則不定方程x3+1 = 1801y2的非平凡解為（28，±9）.

3　構(gòu)建x3-1= Dy2并求解

4　D可約時(shí)，不定方程x3-1= Dy2的非平凡解

設(shè)存在非零整數(shù)m，n，使D= mn .此時(shí)不定方程x3-1 = Dy2有2種可能的分解：

（1）x-1 =mu2，x2+ x +1 = nv2，y = uv 或x-1 = nu2，x2+ x +1 = mv2，y = uv ；

（2）x-1 =3mu2，x2+ x +1 = 3 nv2，y=3 uv 或x-1 = 3 nu2，x2+ x +1 =3 mv2，y=3 uv .

當(dāng)D可約時(shí)，由給定不定方程的非平凡解可以推出其他不定方程的非平凡解.如不定方程x3-1 = 124y2的非平凡解為（5，±1），由于124= 31×+4，則x3-1 = 31y2的非平凡解為（5，±2）.

參考文獻(xiàn)：

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On the Diophantine equationx3-1 = Dy2

YANG Ya-qin
（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

Abstract：Use parameter method，gave decomposition of the diophantine equationx3-1 = Dy2（ D ＞0）to one simple equation and one consisting of a quadratic equation equations.The parameters is used in the solution of equations，set the parameter to obtain the non-trivial solution of indeterminate equation.Discusses the method for solving non-trivial solution ofx3-1 = Dy2when D is irreducible or reducible.

Key words：parametric method；Diophantine equation；non-trivial solution

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.001

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0001-04

收稿日期：2016-01-10

作者簡(jiǎn)介：楊雅琴（1971-），女，吉林洮安人，副教授，碩士，從事組合數(shù)學(xué)研究.E-mail：yyqcpy2008@126.com.