王月紅

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）16-0146-02

據(jù)說，唐朝詩人賈島喜歡騎驢做詩。一日，偶得“鳥宿池邊樹，僧敲（推）月下門”兩句，甚為自得。然而，后一句是用“僧敲月下門”，還是用“僧推月下門”卻頗費思量，苦吟良久，仍不能做出選擇。于是，此后便有了“推敲”一說。推敲是一種嚴謹?shù)膽B(tài)度，因為需要推敲的往往不是涇渭分明的對與錯，而是屬于兩可之間，所謂“增一分則白，減一分則黑”，追求的是一種更合理、更完美的境界；推敲也是一個智慧參與和生成的過程，其中固然有“心求通而未達，口欲言而不能”的焦灼，但更有字斟句酌后的認識升華和反復(fù)琢磨后的豁然開朗。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，這樣的過程能使我們更加全面地了解相關(guān)知識的背景，更加透徹地領(lǐng)會教材編寫的意圖，更加準確地把握數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，進而使我們的教學(xué)更加富有靈氣和深度。

一、為什么要在具體情境中比較大小

新課程標準數(shù)學(xué)實驗教材把分數(shù)的認識分三次安排。第一次安排在三年級（上冊），側(cè)重于幫助學(xué)生通過操作和觀察，認識到“把一個物體或一個圖形平均分成若干份，這樣的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來表示”；第二次安排在三年級（下冊），側(cè)重于幫助學(xué)生通過操作和觀察，認識到“把一些物體組成的整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份也可以用幾分之一或幾分之幾來表示”；第三次安排在五年級（下冊），引導(dǎo)學(xué)生把一個物體、一個圖形、一個計量單位或一些物體組成的整體抽象為自然數(shù)1（也就是單位“1”），從而建立更具數(shù)學(xué)意義的分數(shù)概念。其中，三年級（上冊）還安排比較兩個分子是1或分母相同的分數(shù)的大小。然而，問題是：這里的分數(shù)大小的比較能否脫離具體的情境？答案當然是否定的。不妨推敲一下：如果都以自然數(shù)1作標準，也就是從抽象的數(shù)的層面來看，1/2當然大于1/4，這是毫無疑問的。但如果每個分數(shù)都是把某個具體對象平均分后得到的，則其大小就難說了。比如一個1平方厘米正方形的1/2就小于一個1平方分米正方形的1/4。而學(xué)生初步認識分數(shù)時，只是結(jié)合具體的物體或圖形進行的，還沒有建立單位“1”的概念，因此，比較相應(yīng)分數(shù)的大小時是不能脫離具體情境的。事實上，三年級（上冊）教材在讓學(xué)生比較分數(shù)大小時，也都提供了相應(yīng)的圖形或現(xiàn)實情境。數(shù)學(xué)知識具有嚴密的邏輯性，但小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容卻往往具有接受的階段性。這種嚴密性和階段性之間合適的結(jié)合點，需要我們在推敲中細心尋找。

二、用商不變的規(guī)律推導(dǎo)整數(shù)除以分數(shù)的算法是否合理

新課程標準數(shù)學(xué)實驗教材六年級（上冊）教學(xué)整數(shù)除以分數(shù)的計算時，一共安排了兩道例題。第一道例題讓學(xué)生借助直觀操作分別探索4 ÷1/2、4 ÷ 1/3和4 ÷ 1/4的計算結(jié)果，并在探索中初步感知：一個整數(shù)除以幾分之一，就等于這個數(shù)乘幾分之一的倒數(shù)。第二道例題讓學(xué)生繼續(xù)借助直觀操作探索4 ÷ 2/3的計算結(jié)果，進一步豐富對整數(shù)除以分數(shù)計算方法的感知。由此，引導(dǎo)學(xué)生比較得到的幾組等式，歸納出整數(shù)除以分數(shù)的計算方法。實際教學(xué)時，有的教師卻拋開上述思路，而改用商不變的規(guī)律推導(dǎo)算法，如4 ÷ 2/3 = （4 × 3/2） ÷ （2/3 × 3/2） = 4 × 3/2 ÷ 1= 4 × 3/2。那么，后一種思路是否合理呢？如果單從“便于學(xué)生理解”這個角度來看，似乎無可挑剔。但仔細推敲便可發(fā)現(xiàn)破綻：上述推理的大前提是“分數(shù)除法運算中是存在商不變規(guī)律的”，然而，分數(shù)除法運算中是否存在商不變的規(guī)律，卻需要在分數(shù)除法的運算中歸納。再則，用運算的規(guī)律去推導(dǎo)相應(yīng)的運算方法，這是邏輯上的一種因果倒置，是不合理的。學(xué)生探索計算方法的思路往往是多樣的，但教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合已有的知識經(jīng)驗合乎邏輯地展開思考，而這種“邏輯線索”則需要我們在推敲中梳理、領(lǐng)悟。

三、由三條線段圍成的圖形一定是三角形嗎

如果讓學(xué)生從一組平面圖形中找出三角形，哪怕是小學(xué)低年級的學(xué)生，這也是一件很容易完成的事情；如果讓學(xué)生用小棒擺一個三角形、用紙折一個三角形，或用筆畫一個三角形，相信也并非難事；進而，讓學(xué)生稍加觀察，歸納出“三角形有3條邊、3個角”之類的基本特征，估計也不會有什么困難。但是，如果我們試圖要求學(xué)生自主地說出“由三條線段圍成的圖形叫三角形”這樣的數(shù)學(xué)語言來，恐怕就不那么簡單了。很長一段時間里，教師們都在想辦法努力破解這一難點，然而大都無功而返。上學(xué)期，我們使用新課程標準數(shù)學(xué)實驗教材四年級（下冊）教學(xué)三角形的認識時，卻發(fā)現(xiàn)教材居然沒有這個結(jié)論，而是在學(xué)生動手操作的基礎(chǔ)上，給出了如下描述：“像這樣的圖形叫做三角形?！边@不僅引發(fā)了教材是否需要呈現(xiàn)這一結(jié)論的爭議，也引發(fā)了大家對上述結(jié)論自身準確性的推敲。這不，一經(jīng)推敲，便有人舉出了反例：如下的圖形是否也是由三條線段圍成的？但它卻不是三角形。那么，三角形的定義究竟是怎樣的呢？查閱相關(guān)資料，終于找到了答案：在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的幾條線段順次首尾相接，所得到的圖形叫折線；如果一條折線的首尾兩個端點正好重合，這樣的折線叫封閉折線；封閉折線所圍成的圖形叫多邊形；只有三條邊的多邊形叫三角形。顯然，上述這一串定義不便于向小學(xué)生傳授，更不便于讓小學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)。由此看來，當某個數(shù)學(xué)結(jié)論過于抽象，不便于下定義，也不便于描述時，采用“像……叫（是）……”的方式引導(dǎo)學(xué)生體會，倒不失為一種智慧的選擇。

四、依據(jù)什么判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)

教學(xué)3的倍數(shù)的特征時，教材提供了一張1～100的數(shù)表，先讓學(xué)生在表中圈出3的倍數(shù)，初步感知3的倍數(shù)的特征；再讓學(xué)生任意寫出一個3的倍數(shù)，并在計數(shù)器上撥出來，通過觀察每個數(shù)所用算珠的個數(shù)，歸納出：如果一個數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)相加的和一定是3的倍數(shù)。但這個結(jié)論卻不能作為判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)的依據(jù)，因為判斷時，需要先看一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)相加的和是不是3的倍數(shù)，如果是，則可判定這個數(shù)是3的倍數(shù)。很顯然，這里依據(jù)的是上述結(jié)論的逆命題。然而，原命題真，逆命題未必真，這是一個邏輯常識。換句話說，我們需要引導(dǎo)學(xué)生在上述結(jié)論的基礎(chǔ)上，進一步延伸思考，以確認原命題的逆命題也是正確的。如此一來，教材中隨例題安排的“試一試”，其意圖就清楚了：引導(dǎo)學(xué)生通過對原命題的否命題的討論，由對否命題的確認，體會原命題的逆命題也是正確的。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容是互相聯(lián)系的有機整體，對整體中各部分之間所存在的聯(lián)系進行仔細推敲和深入思考，既有助于充分發(fā)揮整體所應(yīng)有的各種功能，也有助于我們正確把握相關(guān)數(shù)學(xué)問題的拓展方向，從而收到事半功倍的教學(xué)效果。