金　岳

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一次函數(shù)思想方法薈萃

金岳

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，是在數(shù)學(xué)教學(xué)中提出問題、解決問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等.掌握數(shù)學(xué)思想方法，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.在數(shù)學(xué)課本中，到處都可以找到提煉出數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的素材，本文以義務(wù)教育教科書八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）《一次函數(shù)》為例，談?wù)勊婕暗臄?shù)學(xué)思想.

一、函數(shù)思想

例1小李從西安通過某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃，他了解到這個(gè)公司除收取每次6元包裝費(fèi)外，櫻桃不超過1 kg收費(fèi)22元，超過1 kg，則超出部分每千克加收10元費(fèi)用，設(shè)該公司從西安到南昌寄櫻桃的費(fèi)用為y（元），所寄櫻桃為x（kg）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知小李給外婆寄了2.5 kg櫻桃，請(qǐng)你求出這次寄快遞的費(fèi)用是多少元.

【解析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建函數(shù)模型，很多同學(xué)解答第一問時(shí)，常常忽視0＜x≤1的情況，導(dǎo)致出錯(cuò).

解：（1）根據(jù)快遞的費(fèi)用=包裝費(fèi)+運(yùn)費(fèi)，分兩種情況：0＜x≤1和x＞1，直接列出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y=22+6=28；

當(dāng)x＞1時(shí)，y=28+10（x-1）=10x+18.

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為

（2）根據(jù)（1）求出的解析式，x=2.5＞1，因此代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式就可以得出答案.

當(dāng)x=2.5時(shí)，y=10×2.5+18=43，

∴小李這次寄快遞的費(fèi)用是43元.

二、方程思想

例2甲、乙兩輛汽車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一條公路相向而行，乙車出發(fā)2 h后休息，與甲車相遇后，繼續(xù)行駛.設(shè)甲，乙兩車與B地的路程分別為y甲（km），y乙（km），甲車行駛的時(shí)間為x（h），y甲，y乙與x之間的函數(shù)圖像如圖2所示，結(jié)合圖像解答下列問題：

（1）乙車休息了多少小時(shí)；

（2）求乙車與甲車相遇后y乙與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)兩車相距40 km時(shí)，直接寫出x的值.

圖1

【解析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確讀取圖像信息，第（3）問是一次函數(shù)中典型的方程思想解決問題的案例，對(duì)于行程類的圖像信息題，要注意利用相遇、追及等類型構(gòu)造方程求解.

（2）設(shè)y乙與x的函數(shù)解析式為y乙=kx+b，把（2.5，200）、（5，400）代入，得解得

∴y乙=80x（2.5≤x≤5）.

（3）相遇前：100x+80x+40=400，解得x=2；

相遇后：80x+200+80（x-2.5）=440，解得

三、分類討論思想

例3當(dāng)kb＜0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b的圖像一定經(jīng)過（）.

A.第一、三象限B.第一、四象限

C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

【解析】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行分類討論，全面獲解.

（1）確定k、b的符號(hào)；

（2）根據(jù)k、b的符號(hào)確定一次函數(shù)y= kx+b的圖像所經(jīng)過的象限.

解：已知kb＜0，則k與b異號(hào)，故存在兩種情形：k＞0且b＜0或k＜0且b＞0.當(dāng)k＞0，且b＜0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b的圖像必過第一、三、四象限；當(dāng)k＜0，且b＞0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b的圖像必過第一、二、四象限.

綜上可知，一次函數(shù)y=kx+b的圖像必過第一、四象限，故選擇B.

四、數(shù)形結(jié)合思想

例4如圖2，直線y=kx+b過A（-1，2）、B（-2，0）兩點(diǎn)，則0≤kx+b≤-2x的解集為___________.

【解析】本題考查了一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想找到答案.

解：根據(jù)題意可知，直線y=-2x過點(diǎn)（-1，2），結(jié)合函數(shù)的圖像可知，0≤kx+b≤-2x所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍是-2≤x≤-1，故答案為-2≤x≤-1.

圖2

五、特殊到一般思想

例5如圖3，已知A1、A2…An、An+1是x軸上的點(diǎn)，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1= 1，分別過點(diǎn)A1、A2…An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B1、B2…Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3…AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點(diǎn)P1、P2、P3…Pn，△A1B1P1、△A2B2P2…△AnBnPn的面積依次為S1、S2…Sn，則Sn為（）.

圖3

【解析】本題是探究規(guī)律試題，解決此類問題應(yīng)先觀察圖形的變化趨勢(shì)，然后從第一個(gè)圖形進(jìn)行分析，運(yùn)用從特殊到一般的探索方式，分析歸納三角形面積變化中不變的規(guī)律，并用含有n的代數(shù)式進(jìn)行表示，最后用代入法求出特殊情況下的數(shù)值.

解：A1坐標(biāo)為（1，0），B1坐標(biāo)為（1，2），A2坐標(biāo)為（2，0），B2坐標(biāo)為（2，4），通過A1、B2構(gòu)造的直線為y1=4x-4，通過A2、B1構(gòu)造的直線為y2=-2x+4，這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)P1的坐標(biāo)為，所以△A1B1P1的面積為△A2B1O-△A1B1O-△A1A2P1=；同理可求得第二個(gè)三角形的面積為；第三個(gè)三角形的面積為；……通過此規(guī)律可推出答案為.

六、建模思想

例6為了節(jié)省空間，家里的飯碗一般是摞起來存放的.如果6只飯碗摞起來的高度為15 cm，9只飯碗摞起來的高度為20 cm，那么11只飯碗摞起來的高度更接近（）.

A. 21 cmB. 22 cm

C. 23 cmD. 24 cm

【解析】本題考查了利用一次函數(shù)建模、應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是尋找恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.設(shè)碗的個(gè)數(shù)x與碗摞起來的高度y厘米，滿足一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b （k，b是常數(shù)，且k≠0），根據(jù)所給條件，求出一次函數(shù)關(guān)系式，再求x=11時(shí)，函數(shù)y的近似值，比對(duì)選項(xiàng)，找出答案.

解：因?yàn)樵O(shè)碗的個(gè)數(shù)x與碗摞起來的高度y厘米，滿足一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0），所以把x=6時(shí)，y=15，x=9時(shí)，y=20代入函數(shù)關(guān)系式，得

故選C.

例7如圖4，是一對(duì)變量滿足的函數(shù)關(guān)系的圖像.有下列3個(gè)不同的問題情境：

圖4

①小明騎車以400米/分鐘的速度勻速騎了5分鐘，在原地休息了4分鐘，然后以500米/分鐘的速度勻速騎回出發(fā)地，設(shè)時(shí)間為x分，離出發(fā)地的距離為y千米；

②有一個(gè)容積為6升的開口空桶，小亮以1.2升/分鐘的速度勻速向這個(gè)空桶注水，注5分鐘后停止，等4分鐘后，再以2升/分鐘的速度勻速倒空桶中的水，設(shè)時(shí)間為x分，桶內(nèi)的水量為y升；

③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，依次沿對(duì)角線AC、邊CD、邊DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，那么當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，y=S△ABP；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，y=0.

其中，符合圖中所示函數(shù)關(guān)系的問題情境的個(gè)數(shù)為（）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【解析】本題考查了函數(shù)圖像與問題情境的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換問題，即將情景問題建立恰當(dāng)模型，與已知函數(shù)模型相比較，抓住圖像的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，正確識(shí)圖是解決問題的關(guān)鍵.

解：①根據(jù)情境知，前5分鐘應(yīng)行駛了400×5=2 000（米），而圖像上反映的是6千米，所以不正確；

②根據(jù)情境知，前5分鐘注水1.2×5=6（升）；此時(shí)注滿，5～9分鐘時(shí)水的高度不變；9～12分鐘后，每分鐘倒出2升，3分鐘倒空，符合圖像；

圖5

圖6

圖7

以上介紹了6種一次函數(shù)中的常見數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法還有很多，限于篇幅，這里不全面展開，但需要注意的是，問題中方法并不一定是獨(dú)立存在，有時(shí)需要多種方法相結(jié)合才能解決問題.希望同學(xué)們平時(shí)多思多悟，總結(jié)方法，提煉思想，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（作者單位：江蘇省敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校）