許　飛， 許世蒙， 杜建華， 曹貽鵬

(1. 裝甲兵工程學院基礎部, 北京 100072； 2. 裝甲兵工程學院科研部， 北京 100072)

軍用裝備定點精確投放的建模與仿真

許飛1， 許世蒙1， 杜建華2， 曹貽鵬1

(1. 裝甲兵工程學院基礎部, 北京 100072； 2. 裝甲兵工程學院科研部， 北京 100072)

摘要：以裝備空投下降高度和時間為參量，對裝備空投過程建立了三階偏微分方程組模型，綜合考慮了風速、風向、投放點及傘降過程中隨機因素對投放精確度的影響，確定出最低投放高度和投放可行域，并采用蒙特卡羅方法進行了多次仿真模擬，定量分析了投放點誤差對投放精度的影響，解決了實際投放中因憑經(jīng)驗而對投放精度不宜定量分析的問題。與采用常微分方程建立模型進行了仿真對比，結(jié)果表明：偏微分方程更有利于實現(xiàn)對投放過程的精確化控制，使得投放效果顯著提升。

關鍵詞：偏微分； 定點投放； 投放精度； 蒙特卡羅法

裝備精確空投是實現(xiàn)兵力、裝備、補給和救援物資快速、精確投送，提升我軍垂直保障能力的有效手段[1]，相對于水、陸輸送保障，空投保障速度快，時間準，傷亡小，并且受途間地形影響較小，逐漸成為遠距離快速保障首選。但在實際的裝備投放過程中，由于空投人員多憑經(jīng)驗進行投放，且空投過程受航速、航向、投放點、高度和風速等因素的影響，造成空投精準度不高、落點分散、收集困難、損耗偏高，無法對投放點偏差、投放概率和投放精度等進行定量分析。目前，多采用常微分方程組對該投放過程建立模型，由于該模型考慮參數(shù)少、參數(shù)間聯(lián)系弱，且沒有體現(xiàn)隨機因素的干擾，故其仿真結(jié)果與實際投放有一定偏差。

為此，筆者以空投下降高度和時間為參量建立三階偏微分方程組模型，綜合考慮風速、風向、投放點及投放中的隨機因素等對投放過程的影響[2-3]，利用MATLAB軟件對投放過程進行仿真，得到最低安全投放高度和投放可行域，并采用蒙特卡羅方法對投放過程進行多次模擬，實現(xiàn)了對實際投放過程中投放點偏差、投放概率和投放精度等的定量分析，較好地解決了現(xiàn)實中投放人員對投放效果無法預估的問題。與采用常微分方程建立模型相比，偏微分方程組由于增加了參量個數(shù)，使得投放效果得到了提升，也便于實現(xiàn)對投放過程的精確化控制，為后續(xù)的無人引導精確投放奠定了基礎。

1裝備定點投放的建模與動態(tài)分析

1.1裝備投放過程分析及建模

降落傘打開前，裝備近似作自由落體運動(風阻遠小于裝備重力)；降落傘打開后，裝備及降落傘由于受到風阻的影響，其運動狀態(tài)發(fā)生變化。為便于分析，以裝備指定落地點為原點建立空間直角坐標系，并假定降落傘的形狀為半圓形，半徑為R，風速為U，其方向角為α、β、γ，裝備實時速度為V=(vx,vy,vz)，裝備和降落傘的質(zhì)量記為m，對應風阻為Fz、Fs，降落傘外表面受到的風阻記為Fw，g為重力加速度。

空投過程分為3個階段[4]：1)降落傘未打開，裝備在垂直方向近似作自由落體運動；2)降落傘打開后，裝備作變減速運動；3)裝備在垂直方向上作勻速運動，直至到達目標點。根據(jù)裝備的受力情況，可推導出以裝備空投下降高度h和時間t為參量的三階偏微分方程組模型:

F=(Fs+Fz+Fw)sgn(ΛV+U)+Λmg+τ(t)，

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：F為裝備和降落傘所受合力；Λ為方向矩陣； τ(t)為影響投放精度的隨機因素；H為投放高度；v0為安全落地速度； S=(S1,S2,S3),為位移向量。當裝備處于階段1)時，令Fw=Fs=0即可。在整個空投過程中，由于垂直方向的速度先增大后減小，而水平方向速度呈逐漸減小的趨勢，為此，降落傘偏移垂直方向的角度先減小后增大，直至裝備安全降落至目標點。

1.2空投過程中變量的動態(tài)分析與仿真設計

1.2.1氣壓、溫度對空氣密度的影響

影響空氣密度的因素主要有壓強和溫度，其關系[5]為

(7)

p(h)=pone-1.26×10-4h，

(8)

k(h)=(1-6×10-4h)kon，

(9)

式中：pon=101 325 Pa，為標準狀態(tài)空氣的壓強；kon=293 K，為標準狀態(tài)空氣的溫度；ρon=1.29 kg/m3，為標準狀態(tài)空氣的密度。圖1為高度和空氣密度變化關系曲線。

圖1　高度和空氣密度變化關系曲線

由圖1可知：在2 000 m高空空氣密度最小，為1.007 4 kg/m3；在地面處空氣密度最大，為1.289 8 kg/m3。由于不同高度下空氣密度相差不大，為了便于運算，這里取平均值ρ=1.142 8 kg/m3。

1.2.2裝備所受空氣阻力的分析

裝備和降落傘在空氣中所受風阻取決于物體的形狀、迎風面積、空氣密度、風阻系數(shù)以及相對運動速度，其關系式[6-7]為

(10)

式中：f為空氣阻力；c為風阻系數(shù)；s為迎風面積；v為裝備相對風的速度；n的取值與裝備運動速度有關，通常認為10 m/s時n=1，10～311 m/s時n=2。

1.2.3降落傘外表面受力面分析

在裝備實際投放中，通常采用圓形降落傘[8]，且由于降落傘的外表面與風的接觸面很大，故忽略降落傘外表面的風阻將會對仿真結(jié)果產(chǎn)生較大影響。為此，筆者將降落傘外表面受力面積分解到3個坐標平面，記為Sxoy、Sxoz、Syoz，其中降落傘偏移方向角為(θ,φ,φ)，則有

(11)

(12)

(13)

通過對降落傘外表面受力面積在各坐標平面進行投影，可近似計算出降落傘外表面的風阻。

1.2.4降落傘面積的選取

降落傘面積越大，減速效果越好，但其外表面受到的風阻也就越大，裝備往往會落入以目標點為中心的較大半徑范圍內(nèi)，給裝備的搜尋和運輸帶來不便;同時,降落傘面積越大，其質(zhì)量也就越大，則在階段3)裝備速度會超過安全落地速度。為此，降落傘的選取以裝備剛好減速至安全落地速度為準，此時，裝備落地瞬間在垂直方向上受力均衡[9]，則

(14)

式中：fzz、 fsz、 fwz分別為Fz、Fs、Fw在垂直方向上的分量；c1、c2分別為降落傘和裝備的風阻系數(shù)，根據(jù)文獻[5]取c1=0.873，c2=1.28；s1為降落傘面積；s2=22m2,為裝備底部迎風面積。

假設裝備質(zhì)量為m=14 000kg，通過式(14)可得降落傘面積為

s1=12 667m2。

(15)

在此面積下，裝備可減速至安全落地速度以下，并保持該速度直至降落至目標點,聯(lián)合式(1)-(15),便可得到裝備運動微分方程組。

2模型仿真及可靠性

筆者利用MATLAB軟件并采用離散化的方法，從無隨機因素和有隨機因素2個方面對投放過程進行仿真，以期更好地模擬現(xiàn)實中的復雜環(huán)境，并與文獻[5]中的結(jié)果進行對比。

2.1參數(shù)設置

假定裝備質(zhì)量為m=14 000 kg，裝備空投下降高度為h=2 000 m，在此高度上，風速和風向由機載風速、風向測量儀測得或由地面引導人員測量后將數(shù)據(jù)傳送至投放飛機，用以確定飛機最佳的投放地點，在這里假設風的方向角為α=π/4, β=π/4, γ=0,風速與投放高度滿足如下關系式：

U(h)=32.3-31.2e-1.256×10-4×h， h<10 000m。

假定裝備底部、前方、側(cè)面面積分別為s2=22 m2，s3=7 m2，s4=15 m2，忽略降落傘與中心軸偏移的角度以及風對降落傘外表面的作用，并設開傘時間t=8 s。

2.2無隨機因素的MATLAB仿真

由2.1節(jié)中的參數(shù)，采用離散化的方法進行MATLAB仿真，可得到高度和速度的實時變化曲線，如圖2、3所示。

圖2　裝備投放過程的各方向位移變化曲線

圖3　裝備投放過程的各方向速度變化曲線

圖2刻畫的是在微風狀態(tài)下裝備投放的軌跡，可以看出：在降落傘打開前后，裝備滑行的狀態(tài)和軌跡有一個較大的變化，尤其在降落傘打開后裝備在水平方向上發(fā)生了較大的偏移，且最終落地點相對于投放點的坐標為(5 483,504.96,0)，表明水平x軸方向偏移達到5 483 m，這也是導致無人制導高空投放精準度較差的一個原因。

圖3刻畫的是整個投放過程中裝備速度的實時變化，可以看出：在降落傘打開前后，裝備各方向的速度均發(fā)生了較大的變化，其中垂直方向上的速度變化最明顯，僅用7.1 m便降至安全落地速度5 m/s以下，此時水平x軸方向上的速度約為63 m/s，水平y(tǒng)軸方向直至降落到目標點，其速度一直在安全落地速度之下；之后，裝備主要是在水平風阻的作用下進一步作變減速運動。由此可知：在距離地面約314.3 m處，各方向速度均已降至5 m/s以下，故最低投放高度為1 685.7 m。

綜上所述，裝備投放精度及安全性主要取決于x軸方向上的偏移及速度，忽視該方向速度的變化將會對投放結(jié)果產(chǎn)生很大的影響，會引起實際空投的裝備在落地瞬間產(chǎn)生傾覆的可能；同時，為減小裝備投放在x軸方向上的偏移，采用額外的減速裝置可達到更高的精度[10-11]。

2.3有隨機因素的MATLAB仿真

2.3.1裝備空投的可行性區(qū)域

在現(xiàn)實的裝備定點投放中，由于受風速、風向的影響，飛機投放點也將不同，應根據(jù)現(xiàn)實環(huán)境實時調(diào)整投放地點，現(xiàn)考慮風向變動范圍在±π/18、風速變動范圍在±1 m/s的情況，采用蒙特卡羅法進行仿真，可得到飛機在h=2 000 m高空投放時的水平范圍，如圖4所示。

圖4　2 000 m高空飛機投放的水平范圍

2.3.2裝備空投的精度分析及改進

從圖4可知：飛機投放的區(qū)域范圍是[-450,450]×[-300,250]，在這個區(qū)域進行投放都有可能精確降落至目標點。但在實際的投放過程中，由于受機載風速、風向測量儀以及投放點誤差的影響，裝備會降落至距精確點一定半徑的范圍內(nèi)，此范圍將大于定點投放時的誤差范圍[12]。現(xiàn)仍對風向誤差在±π/18、風速誤差在±1 m/s的情況進行考慮，采用蒙特卡羅法進行多次仿真模擬，裝備會有超過50%的概率落入以目標點為中心、半徑為250 m的圓形區(qū)域內(nèi)，如圖5所示。

圖5　裝備著落點的范圍

為提高落入該目標區(qū)域的概率，應縮小投放的區(qū)域。圖6為縮小投放區(qū)域后裝備著落點的范圍，可以看出：隨著投放區(qū)域的變小，著落點的范圍也逐步變小。當在半徑為50 m或更小的圓形區(qū)域進行投放時，采用蒙特卡羅法進行多次仿真模擬，得到裝備以85%的穩(wěn)定概率降落至半徑為200 m的圓形區(qū)域內(nèi)。

圖6　縮小投放區(qū)域后裝備著落點的范圍

2.4與常微分方程建立模型的對比

李薇等[5]主要采用常微分方程組對裝備投放過程建立模型，考慮了投放高度為1 000 m的裝備投放問題，經(jīng)10次蒙特卡羅法仿真模擬，裝備著落點分布于半徑為150 m的圓內(nèi)，但該模型仿真并未考慮投放點誤差。而在實際投放過程中，若投放點誤差達到50 m，則著落點分布圓的半徑將接近200 m，如圖7所示。

圖7　存在投放點誤差的裝備著落點分布

若將此投放高度提高至2 000 m，可預見著落點范圍將遠遠大于200 m的投放半徑，這將會給后續(xù)裝備的尋找、組裝及靈活作戰(zhàn)帶來不便。而筆者建立的偏微分方程組模型引入了更多的裝備投放控制參量，使得投放的描述更加精細，并且充分考慮了隨機干擾因素影響和投放點誤差。2種建模方式仿真結(jié)果對比如表1所示。

表1　2種建模方式仿真結(jié)果對比

由此可見：引入偏微分方程組模型可大幅提高投放精度，并且能夠?qū)χ潼c的準確度和可靠度進行定量分析，使之更加符合戰(zhàn)場的實際需求。

3結(jié)論

筆者采用三階偏微分方程組對裝備空投過程建立模型，與采用常微分方程組建立模型相比，該模型更貼合裝備實際投放環(huán)境，便于實現(xiàn)對裝備投放過程的精確控制和對投放效果的定量分析，是對裝備

精確定點投放研究的有益探索，也為進一步實現(xiàn)無人引導精確投放提供了新思路。

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(責任編輯: 尚彩娟)

Modeling and Simulation of Accurate Fixed-point Drop of Military Equipment

XU Fei1, XU Shi-meng1, DU Jian-hua2, CAO Yi-peng1

(1. Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China;2. Department of Science Research, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

Abstract：A three order partial differential equations model is built by using equipment descending height and time as parameters, and considering the wind speed, wind direction, drop point and random elements which influence drop precision, the lowest safe altitude and drop range are obtained. The drop process is simulated using the Monte Carlo method and the delivery point error which influences the drop precision is quantitatively analyzed, solving the problem that the drop precision can’t be quantitatively analyzed for experience drop. Contrast to constant differential equations model, the partial differential equations model is more conductive to achieve accurate control for the drop process, enhancing the drop effect significantly.

Key words:partial differential; fixed-point drop; drop precision; Monte Carlo method

文章編號：1672-1497(2016)01-0099-05

收稿日期：2015-11-29

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51001117)； 北京市自然科學基金資助項目(3132024)

作者簡介：許飛(1981-)，男，講師，碩士。

中圖分類號：O175; TP391.9

文獻標志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2016.01.020