李 昊（南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，南京 210031）

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互等定理在細(xì)長軸車削超靜定問題中的應(yīng)用

李 昊
（南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，南京 210031）

摘 要：描述了互等定理解決問題的一般步驟，分析了互等定理的應(yīng)用原理，并結(jié)合實際工程中細(xì)長軸車削時的超靜定問題，對該方法加以應(yīng)用。結(jié)果表明，互等定理在解決工程中的非常規(guī)力學(xué)問題時，可以簡化解題過程，并得到可行的解。

關(guān)鍵詞：互等定理；細(xì)長軸；超靜定問題

0　引言

隨著工業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，對機(jī)器和工件的要求越來越高，很多工程問題僅憑經(jīng)驗獲得結(jié)果已不能滿足設(shè)計要求。工程中解決力學(xué)問題常見的方法是將復(fù)雜的工程問題轉(zhuǎn)化為簡單的力學(xué)問題，運用力學(xué)知識建立系統(tǒng)的力學(xué)模型并對其進(jìn)行求解［1～3］。細(xì)長軸類零件在工程機(jī)械中應(yīng)用較為廣泛，在解決細(xì)長軸類零件受力問題時單純地把它等效為剛體是不可行的，細(xì)長軸在加工或工作過程中會發(fā)生彈性變形，不僅會導(dǎo)致機(jī)器工作精度降低，還會引起較大的振動。文中描述了互等定理解決超靜定問題的求解過程，并以細(xì)長軸車削加工為例，建立細(xì)長軸車削時的超靜定力學(xué)模型，并運用互等定理對其進(jìn)行求解。

1　互等定理求解問題的一般過程

假設(shè)圖1所示的懸臂梁為線彈性結(jié)構(gòu)，其上分別作用力F1和F2。懸臂梁在力的作用下發(fā)生彈性變形，沿兩力方向的位移分別為δ1和δ2。

則懸臂梁的變性能應(yīng)為F1和F2所做的功，即：

將F1和F2看做第一組力，在梁上再加一組力F3和F4，則梁在F3和F4作用下分別產(chǎn)生位移δ3和δ4，同時F1和F2在結(jié)構(gòu)上會多產(chǎn)生一段位移，分別為δ1′和δ2′，如圖2所示。

此時懸臂梁的變形能不僅增加了F3和F4所做的功，還有F1和F2多做的功，即

其中，δ1′和δ2′是F1和F2在F3和F4作用下沿F1，F(xiàn)2方向的位移。同理，如果先加第二組載荷F3和F4，則二力產(chǎn)生位移分別為δ3和δ4。再添加第一組載荷F1和F2，此時不僅F1和F2會產(chǎn)生位移δ1和δ2，F(xiàn)3和F4也會多產(chǎn)生一段新位移δ3′和δ4′，則懸臂梁的總變形能為

其中，δ3′和δ4′是F3和F4在F1和F2作用下沿F3，F(xiàn)4方向的位移。

由于材料的變性能只與所加載荷的大小與載荷的位移有關(guān)，與加力的順序沒有關(guān)系［4］，所以Vε1= Vε2。則令（2）式等于（3）式，可得

即第一組力在第二組力引起的位移上所做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功，此即互等定理［4］。

2　細(xì)長軸車削問題的求解

細(xì)長軸零件車削時容易產(chǎn)生振動，因此加工時通常會使用尾頂針來夾持。則細(xì)長軸的一端由三爪卡盤夾緊，另一端由尾頂針固定，如

將三爪卡盤等效為為固定端，尾頂針等效為鉸支座，在切削力F的作用下，建立細(xì)長軸的受力模型，如圖4所示。

方程數(shù)量小于位置約束力數(shù)量，因此該力學(xué)模型為超靜定模型?？紤]運用互等定理求解。

由此可得第一組力在第二組力引起的位移下的功為

由于B處為鉸支座，所以單位力F′的位移為零，則根據(jù)互等定理有

綜上可得，運用互等定理解決工程中的超靜定問題具有切實可行的意義。該方法簡化了非常規(guī)力學(xué)問題的解答過程。

參考文獻(xiàn)：

［1］武文革，龐思勤，常興.可逆向車削細(xì)長軸加工誤差的力學(xué)分析［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報，2004，24（02）：109-112.

［2］張于賢，王紅.關(guān)于逆向車削加工細(xì)長軸誤差的力學(xué)分析［J］.機(jī)械設(shè)計與制造，2005（01）：59-60.

［3］姜廣美.車削加工細(xì)長軸的方法研究［J］.硅谷，2010（11）：49.

［4］劉鴻文.高等材料力學(xué)［M］.高等教育，1985.

項目來源：南京農(nóng)業(yè)大學(xué)SRT計劃項目資助（1530A23）

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.13.225

作者簡介：李昊（1995-），男，本科，現(xiàn)就讀于南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系。