周志　胡重光

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“雞兔同籠”問題與數(shù)學(xué)模型

周志胡重光

“雞兔同籠”問題是中國古代著名趣題。這個問題最早見于成書約在1500年前的《孫子算經(jīng)》：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”［1］意思是：有若干只雞兔關(guān)在同一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？

由于它奇特有趣，我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材歷來都在“典型應(yīng)用題”中教學(xué)這個問題。現(xiàn)在的人教版新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)實驗教科書則把它作為“數(shù)學(xué)廣角”的一個內(nèi)容。但是，有人認(rèn)為，“雞兔同籠”問題純屬虛構(gòu)，沒有應(yīng)用性，解答該問題的假設(shè)法也沒有普遍意義，因此屬于過時的落后的數(shù)學(xué)問題，沒有什么價值。

這些觀點正確嗎？本文將做一點深入的探討。

一、“雞兔同籠”問題的解法

首先我們以下面的題目為例探討“雞兔同籠”問題的解法。

例1一些雞和一些兔子關(guān)在同一只籠子里。從上面數(shù)有20個頭，從下面數(shù)有52條腿。問雞兔各有幾只？

1.假設(shè)法

這是最常用的解法，眾所周知，毋庸贅述。

2.減腿法

這個方法被認(rèn)為是最簡單的，書上沒有給它命名，為了方便，本文給它取了這個名字。

解法：讓每只雞和兔都抬起兩條腿，這樣籠子里的腿就減少了40條，而剩下的12條腿全是兔子的，并且每只兔子只有2條腿。所以兔子是6只。

用第一種解法，教學(xué)實踐證明，小學(xué)高年級學(xué)生也有相當(dāng)一部分難以理解。而第二種方法的最大問題是：你是怎么想到它的？

如果“雞兔同籠”問題只有這兩種解法，它的價值確實要大打折扣。但事實并非如此。

3.畫圖法

畫圖分析：畫20個小圈代表20個頭。先在每個頭上都畫2條腿，共得40條腿。還差12條腿，再在一些頭上又添2條腿，添了6個頭后，恰好添夠12條腿，并且總共湊足52條腿（如圖）。

從圖中可以看出，4條腿的有6只，2條腿的有14只。因此，籠中共有6只兔子，14只雞。

這種解法具體形象，具有可操作性，符合兒童的認(rèn)知規(guī)律，小學(xué)低年級學(xué)生也能理解。并且解答的過程就是假設(shè)法的形象化，因此能為學(xué)習(xí)假設(shè)法打下基礎(chǔ)。

4.列表法

仍以例1為例，教師列出下表。

雞　0 1 2 兔20 19 18 腿80 78 76

這個表只填出頭3列，后面的讓學(xué)生接著填。下面的表是按照最慢的步調(diào)填的，實際上學(xué)生填幾個數(shù)后一般就會跳躍著填，通過多次嘗試就會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而改進方法，速度就會快很多。因此教學(xué)時要給充分的時間讓學(xué)生自主探索。

雞　0　 1　 2　 3　 4　 5　 6　 8　 9 10 11 12 13 14兔　20 19 18 17 16 15 14 12 11 10 9　 8　 7　 6腿　80 78 76 74 72 70 68 64 62 60 58 56 54 52

用列表的方法解，一是兒童容易理解，二是能看出雞兔腿數(shù)的變化過程。這種方法不但能為兒童理解假設(shè)法打下基礎(chǔ)，而且滲透了函數(shù)的思想，對發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)思維大有好處。

這兩種解法大大提高了“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)教育功能，使“雞兔同籠”問題成為小學(xué)數(shù)學(xué)的良好教學(xué)內(nèi)容。

二、“雞兔同籠”問題的變式

“雞兔同籠”問題還有大量的變式，例如：

1.雞兔同籠，共有15只頭，雞腿比兔腿多12條。求雞兔各幾只？

這些變式表明，“雞兔同籠”問題的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的。

例2蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)在有這三種小蟲共18只，它們共有118條腿和20對翅膀，問每種小蟲各有幾只？

分析和解答：這道題條件比較復(fù)雜，為了便于分析，先將條件列表整理如下：

蟲蜘蛛蜻蜓蟬腿（條）　翅（對）8 6 6 0 2 1

從表中可以看到，蟬和蜻蜓都是6條腿，因此可以把它們統(tǒng)一起來，都當(dāng)作“六足蟲”，而不考慮翅膀這個條件。這樣問題就簡化為：

八足蟲和六足蟲共18只，共有腿118條，兩種蟲各有幾只？

這是典型的“雞兔同籠”問題，用假設(shè)法容易求得，八足蟲（蜘蛛）有5只，六足蟲（蜻蜓和蟬）有13只。

下面再求蜻蜓和蟬各有幾只。這時問題又轉(zhuǎn)化為：

“二翅蟲”和“一翅蟲”共13只，共有翅膀20對，兩種蟲各有幾只？

這又是簡單的“雞兔同籠”問題，再次使用假設(shè)法得蜻蜓（二翅蟲）有7只，蟬（一翅蟲）有6只。

三、“雞兔同籠”問題的推廣

以上關(guān)于“雞兔同籠”問題的變式雖然揭示了許多新的數(shù)量關(guān)系，但這些問題仍然是虛構(gòu)的，不具有應(yīng)用性。然而“雞兔同籠”問題還可以推廣。下面舉幾個例子。

例3學(xué)校買大小椅子共20把，共用960元。大椅子每把60元，小椅子每把40元。大小椅子各買了多少把？

這道題雖然沒有雞、兔，但數(shù)量關(guān)系與“雞兔同籠”問題完全相同，可以用假設(shè)法來解。

例4上山、下山共走19千米，共用5小時。上山的速度是每小時3千米，下山的速度是每小時5千米。上山、下山各走了幾小時？

這道題也是“雞兔同籠”問題，可以用假設(shè)法解：假設(shè)全是上山路或全是下山路。

例5一項工程，甲隊獨做需6小時完成，乙隊獨做需10小時完成?，F(xiàn)在甲隊做若干小時后，因另有任務(wù)由乙隊接著做，合起來共用了7小時做完。問甲隊做了幾小時？

這道題也可以轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”問題。把這項工程平分為30份，那么甲隊每小時做5份，乙隊每小時做3份，合起來共用了7小時做完，求甲隊做了幾小時?！胺g”成“雞兔同籠”問題就是：甲、乙兩種動物共有30條腿、7個頭。甲動物有5條腿，乙動物有3條腿。問甲動物有幾只？

以上3例都沒有雞、兔，但數(shù)量關(guān)系與“雞兔同籠”問題相同，并且都是生活、生產(chǎn)中廣泛存在的問題。由此看來，“雞兔同籠”問題雖然是虛構(gòu)的，但其數(shù)量關(guān)系卻是現(xiàn)實的，并非沒有應(yīng)用性。

不僅如此，有的問題盡管與“雞兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系不同，但也可以用假設(shè)法解。

比實際多賣出：240-188=52（千克）。

例7甲、乙、丙三種筆記本的定價分別為每本2元、3元和7元，三種筆記本共買了47本，共用了212元。其中乙種筆記本購買的本數(shù)是甲種筆記本的2倍。三種筆記本各買了多少本？

分析和解答：假設(shè)三種筆記本的定價都是7元，那么47本共需：7×47=329（元）。

比實際情況多用了：329-212=117（元）。

拿出3本7元的，換入2本3元的、1本2元的（因為乙種筆記本是甲種筆記本的2倍），可以減少：7×3-（3×2+2）=13（元）。

要減少117元需要換：117÷13=9（次）。

因此，丙種筆記本有：47-3×9=20（本），乙種筆記本有：9×2=18（本），甲種筆記本有：9×1=9（本）。

這兩個例子表明，假設(shè)法不僅是一種解題方法，更是一種思維策略，即首先將復(fù)雜的問題簡化，然后作調(diào)整。它不僅能用于“雞兔同籠”問題，還能用于許多其他實際問題。

四、“雞兔同籠”問題的意義

由以上的介紹和分析可以看到，“雞兔同籠”問題有以下意義。

1.數(shù)學(xué)教育意義

“雞兔同籠”問題的多種解法分別適用于小學(xué)各年級的兒童，具有趣味性、可操作性和思考性，能培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)興趣，發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)思維。

2.思維策略意義

解答“雞兔同籠”問題的假設(shè)法是一種思維策略，其基本思想是“以退為進”，符合華羅庚所說的：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅！因而具有重要的思維價值和廣泛的現(xiàn)實意義。

3.數(shù)學(xué)思想意義

中國古代數(shù)學(xué)最講究實用，出現(xiàn)“雞兔同籠”這種純屬虛構(gòu)的問題，初看起來似乎頗有些奇怪。然而從上面的例子可以看出，古人虛構(gòu)這個問題的目的是為了給出一個數(shù)量關(guān)系的模型，凡是能夠套上這個模型的問題，都可以用假設(shè)法來解。也就是說，“雞兔同籠”問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的思想。這一點在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中具有重要意義。

20世紀(jì)中葉，隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展和電子計算機的誕生，建立數(shù)學(xué)模型日漸成為數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)之一。1998年，時任世界數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席的D.Mudford在論述現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢時說：“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認(rèn)這一點，數(shù)學(xué)將會從中受益。”［2］

在發(fā)達(dá)國家，數(shù)學(xué)模型的思想方法已進入中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。美國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材編入了大量的關(guān)于數(shù)學(xué)模式和模型的教學(xué)內(nèi)容。從以上的介紹和分析可以看到，“雞兔同籠”問題作為一種數(shù)學(xué)模型，具有生動有趣、易于理解和接受的特點，可以說是我國數(shù)學(xué)教育得天獨厚的資源。類似的還有盈虧術(shù)、百雞術(shù)、求一術(shù)等。恰當(dāng)?shù)乩眠@類古代的問題，可以為數(shù)學(xué)模型的教學(xué)獨辟一條具有民族特色的蹊徑。

我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生指出，中國古代數(shù)學(xué)的特點是：從實際問題出發(fā)，經(jīng)過分析提高，再抽象出一般的原理、原則和方法，最終達(dá)到解決一大類問題的目的。①“雞兔同籠”問題鮮明地體現(xiàn)了這一特點。吳文俊先生并認(rèn)為，“將來的數(shù)學(xué)，應(yīng)該是走中國古代數(shù)學(xué)的道路，而不是國際道路，這是一條總的趨勢”。②

由此看來，研究中國古代數(shù)學(xué)的思想方法，特別是挖掘中國古代數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)教育方面的作用和意義，應(yīng)該是我國數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育工作者責(zé)無旁貸的重要任務(wù)。

（作者單位：長沙市實驗小學(xué)湖南第一師范學(xué)院）

參考文獻

［1］李儼，錢寶琮。李儼錢寶琮科學(xué)史全集（第一卷）［M］。沈陽：遼寧教育出版社，1998。

［2］劉兼，孫曉天。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀［M］。北京：北京師范大學(xué)出版社，2002。

注釋

①見《百度百科·吳文俊》。

②CCTV10大型人物訪談節(jié)目：《大師講科普》——吳文俊，2008-01-28。