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        “數(shù)與形”教學(xué)實踐與反思

        2016-06-27 03:20:59
        湖南教育 2016年12期
        關(guān)鍵詞:數(shù)與形奇數(shù)數(shù)形

        曾 鵬

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        “數(shù)與形”教學(xué)實踐與反思

        曾鵬

        “數(shù)與形”是人教版六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容,本單元“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容承載了數(shù)形結(jié)合、極限思想的教學(xué),以兩道習(xí)題為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透和教學(xué)。例1側(cè)重在找規(guī)律的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生歸納,結(jié)合正方形,初步體會數(shù)形結(jié)合的好處;例2側(cè)重于通過畫圖來體會極限思想。依據(jù)教材的安排,教學(xué)都是從“以形助數(shù)”的角度展開的。那么,如何在教學(xué)中讓學(xué)生理解“以數(shù)解形”,即從數(shù)的角度去揭示形的規(guī)律以及數(shù)形結(jié)合的好處呢?在一個課時中要滲透數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想,會不會有“夾生飯”的現(xiàn)象出現(xiàn)?

        帶著這樣的思考,我在教學(xué)中選擇例1進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計,并從“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”三個方面進(jìn)行了教學(xué)實踐,收到了較好的效果。

        教學(xué)過程:

        一、談話導(dǎo)入,初步感受數(shù)與形

        師:看到“數(shù)與形”這一課題,你有什么想說的嗎?

        生1:數(shù)學(xué)和形狀有什么關(guān)系嗎?

        生2:是不是數(shù)學(xué)里面的形狀問題?

        生3:是不是討論數(shù)學(xué)和形狀的問題?

        ……

        師:下面讓我們帶著自己的思考和好奇一起走進(jìn)今天的數(shù)學(xué)課堂。

        二、以核心問題引領(lǐng),以形助數(shù)

        師:從1開始,連續(xù)n個奇數(shù)相加的和是多少?(學(xué)生發(fā)出哇的聲音)怎么會有這么大的反應(yīng)?

        生4:老師,有n個奇數(shù),怎么算得出來。

        師:你說的好像有道理。我們不妨換個角度思考,如果你來做,你希望n是幾?

        生5:我希望n是1,但算不出來。

        生6:我希望n是2,1+3=4。

        生7:我希望n是3,1+3+5=9。

        生8:我希望n是4,1+3+5+7=16。

        ……

        師:很好,我們先不急著往下算,看看這幾個式子,你能發(fā)現(xiàn)點什么嗎?

        生9:我發(fā)現(xiàn)它們的和分別是1的平方、2的平方、3的平方、4的平方……

        生10:我發(fā)現(xiàn)了每個式子的前面有幾個連續(xù)的奇數(shù),它們的和就是幾的平方。

        生11:我猜測:從1開始,連續(xù)n個奇數(shù)相加的和就是n的平方。

        生12:老師,我還有一點疑問,前面這幾個式子是有這樣的規(guī)律,有沒有更好的辦法讓我們弄清楚n為更大的數(shù)的時候,也是這樣的規(guī)律?

        師:你的問題太好了,你的意思是說有沒有更加直觀、清晰、明了的方法讓我們看得更清楚,理解得更透徹,從1開始,連續(xù)n個奇數(shù)相加的和到底是多少?請同學(xué)們在抽屜里拿出正方形的紙片擺一擺,看你有什么發(fā)現(xiàn)。(學(xué)生動手操作,然后展示操作的結(jié)果)

        生13:我們小組拼成了長方形,沒有什么發(fā)現(xiàn)。

        生14:我們小組拼成的是正方形,發(fā)現(xiàn)了:當(dāng)n為1時,就是1個正方形;當(dāng)n為2時,就是4個正方形;當(dāng)n為3時,就是9個正方形;當(dāng)n為4時,就是16個正方形;當(dāng)n為5時,就是25個正方形。

        生15:我們小組發(fā)現(xiàn)拼成圖形的正方形總個數(shù)就是邊長的個數(shù)乘邊長的個數(shù)。

        生16:我們發(fā)現(xiàn):有幾個奇數(shù),拼成的大正方形的一邊就有幾個正方形,所以就是奇數(shù)的個數(shù)與個數(shù)相乘。

        生17:我看明白了,n是1,1×1=1;n是2,1+3=2×2=4;n是3,1+3+5=3×3=9;n是4,1+3+5+7=4×4= 16;n是5,1+3+5+7+9=5×5=25。

        師:同學(xué)們通過動手操作,確實發(fā)現(xiàn)了其中的奧妙。如果圖中再加一個數(shù),和是多少?

        生18:下一個數(shù)就是11,和是6×6=36。

        師:如果再往下呢?一直加到第n個奇數(shù)呢?

        生19:接著加下去,它們的和是7的平方,8的平方,……,一直到n的平方。

        圖1

        師:的確,從1開始,連續(xù)奇數(shù)相加的和就等于加數(shù)個數(shù)的平方。剛剛這道看似很難的題目,通過“以形助數(shù)”的方式,我們更加直觀地發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘。

        三、運用結(jié)論,深化理解

        利用課件出示:1+3+5+7=()21+3+5+7+9+11+13=()2()+()+()+…=92

        生20:第一題是4的平方,從1開始,連續(xù)4個奇數(shù)的和是4的平方。

        生21:從1開始,連續(xù)7個奇數(shù)的和是7的平方。

        生22:根據(jù)從1開始,連續(xù)9個奇數(shù)的和是9的平方。那前面9個連續(xù)的奇數(shù)的和就是1+3+5+7+9+11+13+15+17的和。

        師:看來同學(xué)們都掌握得很好,下面我們加大難度了。(課件出示)

        1+3+5+7+5+3+1=()

        1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+ 1=()

        生23:第一題可以看作是4的平方與3的平方相加,和是16+9=25;第二題可以看作是7的平方與6的平方相加,和是49+36=85。

        四、以數(shù)解形,拓展思維

        師:請大家在小組內(nèi)討論一下,這道題應(yīng)該怎么做?(出示圖2)

        圖2

        生24:第一個圖有1個;第二個圖有1+2=3(個);第三個圖有1+2+3=6(個);第四個圖有1+2+3+4 =10(個);按照這樣的規(guī)律,第10個圖形就是:1+2+3 +4+5+6+7+8+9+10=55(個)。

        師:很好,大家通過思考,會用數(shù)來解形。我們再來算一算相鄰之和,你有什么發(fā)現(xiàn)?

        生25:1+3=4,就是2的平方;3+6=9,就是3的平方;6+10=16就是4的平方。我們可以把相鄰的兩個圖形擺在同一個圖中,就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

        圖3

        師:你們的思考很深入,確實是這樣。古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把像1,3,6,10,15,21…這樣可以排成三角形的數(shù)稱為三角形數(shù)(如圖2);把像1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為正方形數(shù)。我們發(fā)現(xiàn),把兩個相鄰的三角形數(shù)相加就是一個正方形數(shù)(如圖3)??磥?,當(dāng)“形”比較難發(fā)現(xiàn)其中的奧秘時,我們不妨從“數(shù)”的角度來考慮——以數(shù)解形。

        五、回顧與反思,體會數(shù)形結(jié)合的好處

        師:回顧一下,我們以前的學(xué)習(xí)中是否也用到過數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題?

        生:分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、圓的面積計算公式推導(dǎo)、畫線段圖分析題目的數(shù)量關(guān)系式……(師相機出示圖4)

        圖4

        師:那你覺得用數(shù)形結(jié)合的方法對你解決問題有什么幫助呢?

        生26:能幫助我們更加直觀、清晰地理解題意,找到算法。

        生27:能讓我們更清楚地看懂題中的奧秘,幫助我們解決問題。

        生28:能幫助我們更好地思考,更快、更準(zhǔn)地發(fā)現(xiàn)隱藏的問題。

        ……

        師:通過這堂課的學(xué)習(xí)以及剛剛的回顧,同學(xué)們進(jìn)一步體會了數(shù)形結(jié)合的好處。華羅庚先生寫過一首關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的詩:數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休。其實,不僅數(shù)學(xué)題中,植物中也隱藏著很多“數(shù)與形”的知識,我們來欣賞下面的這些圖片(如圖5)。

        圖5

        師:欣賞完這些美麗的圖片,我們會發(fā)現(xiàn)其中有這樣一個現(xiàn)象,這些花的花瓣都是按照螺旋形狀排列的,且花瓣數(shù)是按:0,1,1,2,3,5,8…依次排列的。第三個數(shù)是前面兩個數(shù)之和(如圖6)。這就是非常有趣的斐波那契數(shù)列……

        圖6

        教學(xué)反思:

        作為數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)內(nèi)容,“數(shù)與形”的知識著重向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)中,如果以找規(guī)律的形式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律,再觀察圖形中的規(guī)律進(jìn)行教學(xué)的話,學(xué)生勢必?zé)o法體會到數(shù)學(xué)結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的價值。此外,僅通過兩個例題的教學(xué),學(xué)生實際上很難深入體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的價值。因此,在教學(xué)中,筆者對教材進(jìn)行了取舍,選取了例1,以三個層次展開教學(xué)。第一個層次是以形助數(shù)。課始,拋給學(xué)生一個大問題,然后倒逼著學(xué)生去思考、去嘗試。發(fā)現(xiàn)幾個數(shù)的規(guī)律之后,學(xué)生產(chǎn)生了疑問,但又難以直觀地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。教師趁機引導(dǎo)學(xué)生用圖形去擺,去說理,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。學(xué)生在這一動手操作的過程中,發(fā)現(xiàn)借助圖形可以更加清晰、直觀地分析數(shù)字中蘊含的規(guī)律。第二個層次是以數(shù)解形。三角形數(shù)中圖形的個數(shù),如果僅從“形”的角度去觀察,學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,特別是圖形復(fù)雜時,要發(fā)現(xiàn)“形”的規(guī)律就更困難,于是教師引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度揭示“形”的規(guī)律,幫助學(xué)生辯證地思考數(shù)與形的問題,體會以數(shù)解形的好處。第三個層次是體會數(shù)形結(jié)合的價值。無論是以形助數(shù)還是以數(shù)解形,都是從單一的方面幫助學(xué)生體會。而回顧以往的學(xué)習(xí)中用到過數(shù)形結(jié)合,具體有什么好處,學(xué)生能夠深入體會和感悟數(shù)形結(jié)合的價值。對三角形數(shù)、正方形數(shù)、斐波那契數(shù)列的介紹,既可以拓展學(xué)生的視野,也能夠讓學(xué)生深入體會數(shù)形結(jié)合的思想。

        (作者單位:廣東省中山市大布小學(xué))

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