符純明　姜　潮　陳光宋　吉　磊

1.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.南京理工大學(xué)，南京，210094

基于隔代映射算子的差分進化算法

符純明1姜潮1陳光宋2吉磊2

1.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.南京理工大學(xué)，南京，210094

摘要：提出一種基于隔代映射算子的差分進化算法以求解優(yōu)化問題，該方法在保證解的精度的同時具有較快的收斂速度。在經(jīng)典的差分進化算法基礎(chǔ)上，采用反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生初始種群，并采用兩種差分變異策略產(chǎn)生變異個體，以增加種群的多樣性；利用隔代映射算子產(chǎn)生三個新個體替換當(dāng)前進化種群中最差的三個個體，以實現(xiàn)精英策略提升算法的收斂性；為了保持種群的多樣性和避免獲得局部解，利用探測算子策略產(chǎn)生新個體加入進化種群。采用11個單峰、多峰測試函數(shù)和兩個工程實例驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：差分進化算法; 隔代映射算子; 反向?qū)W習(xí); 探測算子

0引言

在實際工程問題中，經(jīng)常遇到一類較為復(fù)雜的優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)不連續(xù)或不可導(dǎo)，導(dǎo)致傳統(tǒng)基于梯度的優(yōu)化方法難以有效求解。而基于種群的進化算法不需要目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，只需采用適應(yīng)度函數(shù)即可對復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化求解，為求解該類問題提供了一種有效的途徑。差分進化(differential evolution，DE)算法是進化算法(evolutionary algorithms，EAs)中一種簡單有效的隨機搜索算法，最早由Storn等[1]于1995年提出，并用于求解切比雪夫多項式擬合問題。因DE操作簡單，控制參數(shù)少，具有較強的全局優(yōu)化性和魯棒性，故被廣泛應(yīng)用于機械優(yōu)化設(shè)計、機器人控制、車間節(jié)能調(diào)度等領(lǐng)域[2-4]。

DE算法的性能主要取決于試驗向量產(chǎn)生策略(交叉和變異算子)和控制參數(shù)(種群大小、縮放因子、交叉概率)。在改進試驗向量產(chǎn)生策略和控制參數(shù)方面，國內(nèi)外學(xué)者進行了一系列研究和探索。如Fan等[5]提出了一種三角變異算子用于加速DE算法收斂性能，并同時引入一參數(shù)控制三角變異算子的使用頻率以保持種群的多樣性。Zhang等[6]利用當(dāng)前群體中最好解和較好解的信息產(chǎn)生變異個體加入進化種群，并將已淘汰的個體儲存于一外部種群中參與隨后的進化，其縮放因子和交叉概率分別通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和柯西分布產(chǎn)生。但該方法需要較大的儲存空間保存淘汰的個體。Das等[7]提出了一種新型的局部搜索模型，采用目標(biāo)向量鄰域中的最優(yōu)解產(chǎn)生變異個體，該方法動態(tài)地利用臨近個體產(chǎn)生更優(yōu)良個體。Wang等[8]針對當(dāng)前DE交叉算子普遍存在的缺陷，提出了一種正交交叉策略，有效地提升了DE算法搜索性能。Ronkkonen等[9]采用大量測試函數(shù)分析了初始種群大小和縮放因子對傳統(tǒng)的DE算法性能的影響。

通常，DE算法求解優(yōu)化問題時，對控制參數(shù)較為敏感，找到一組合理的控制參數(shù)通常需要反復(fù)調(diào)試，因此，國內(nèi)外學(xué)者發(fā)展了適應(yīng)性和自適應(yīng)性策略調(diào)節(jié)其控制參數(shù)[10-11]。適應(yīng)性策略是指搜索過程中不斷利用反饋信息來調(diào)節(jié)參數(shù)，而自適應(yīng)性策略是指將控制參數(shù)編碼于個體參與進化過程。Zhu等[10]提出了一種動態(tài)調(diào)整種群大小的策略，可有效地篩除進化種群中冗余個體從而減少計算量。Brest等[11]提出了一種新型自適應(yīng)算法，將縮放因子和交叉概率進行編碼并參與進化，有利于增加種群的多樣性。Wang等[12]建立了試驗向量產(chǎn)生策略知識庫和控制參數(shù)設(shè)置知識庫，并提出組合差分進化(composite DE,CoDE)算法來求解優(yōu)化問題，有效地利用多組策略和參數(shù)產(chǎn)生不同的變異個體，保證了該算法求解不同問題時具有優(yōu)良的性能。車林仙等[13]提出了一種自適應(yīng)逃逸差分進化算法，并用于求解并聯(lián)機器人主驅(qū)動機構(gòu)位置的優(yōu)化問題。楊曉明等[14]利用改進的差分進化算法優(yōu)化設(shè)計了盤式制動器。王前等[15]提出了一種自適應(yīng)差分進化方法，并將其應(yīng)用于輪胎模型的參數(shù)辨識中。

一系列改進的DE算法被應(yīng)用，獲得了較好的效果，但求解某些優(yōu)化問題時這些算法存在收斂速度慢且易于陷入局部最優(yōu)的缺陷。為此，本文將連續(xù)兩代中的最優(yōu)個體用于構(gòu)造搜索方向以便快速有效地獲得更優(yōu)個體，提出一種基于隔代映射算子的差分進化(intergeneration projection DE，IPDE)算法，相比現(xiàn)有方法，該方法在獲得全局最優(yōu)解的同時具有較快的收斂速度。

1差分進化算法

通常的優(yōu)化問題可定義為

(1)

式中，f(x)為目標(biāo)函數(shù)；xk、xkL和xkU分別為設(shè)計變量、設(shè)計變量的下界和上界；n為設(shè)計變量的個數(shù)。

DE算法[1]的基本思想是：對當(dāng)前種群中的個體進行變異和交叉操作產(chǎn)生新個體，然后采用貪婪準(zhǔn)則在兩個種群中選出較優(yōu)個體組成下一代進化種群，不斷迭代直至滿足收斂條件，其流程如圖1所示。

圖1　DE算法流程圖

首先，DE算法在可行域空間隨機產(chǎn)生N個個體組成初始種群[1]：

(2)

i=1,2,…,N；j=1,2,…,n

(3)

(4)

DE/rand/1策略收斂慢但具有較強的全局搜索能力，利于保持種群的多樣性。DE/best/1策略則具有較快的收斂速度，但容易陷入局部最優(yōu)。

再次，采用二項式交叉算子產(chǎn)生試驗向量ui，其中

(5)

式中，Cr為交叉概率；prj為第j維向量在[0,1]中隨機產(chǎn)生的一實數(shù)。

最后，在目標(biāo)向量和試驗向量中選擇較優(yōu)個體保留至第t+1代：

(6)

上述操作不斷迭代直至滿足收斂條件。

2IPDE算法及構(gòu)造

傳統(tǒng)DE算法求解某些較為復(fù)雜優(yōu)化問題時，其后期收斂效率低或易于陷入局部最優(yōu)。為克服以上缺點，本文提出的IPDE算法采用反向?qū)W習(xí)策略[16]產(chǎn)生初始種群，并利用進化種群中連續(xù)兩代的最優(yōu)個體來構(gòu)造搜索方向，以便快速有效地獲得更優(yōu)個體，即隔代映射策略。同時為了保持種群的多樣性，每隔T代由當(dāng)前種群中的最優(yōu)個體和最差個體產(chǎn)生兩個新個體，擇優(yōu)選擇一個個體進入下一代進化種群。為此，IPDE算法求解優(yōu)化問題時，在保證解的精度的同時并具有快速收斂的特點。

2.1隔代映射策略

基于種群的進化算法中，其核心之一是如何快速有效地產(chǎn)生優(yōu)良個體，從而加速算法收斂性能。本文引入一種隔代映射策略[17]，以快速收斂到局部最優(yōu)解，從而加速算法收斂性能。如圖2所示，隔代映射策略采用連續(xù)兩代種群中的最優(yōu)個體來構(gòu)造搜索方向，從而在兩代最優(yōu)個體的搜索方向上產(chǎn)生三個新個體。因新個體在連續(xù)兩代的最優(yōu)個體的方向上產(chǎn)生，有助于快速生成接近局部最優(yōu)解的個體。

圖2　隔代映射策略示意圖(2變量)

(7)

2.2算法構(gòu)造

本文提出的IPDE算法同時結(jié)合反向?qū)W習(xí)[16]和隔代映射策略的優(yōu)點求解優(yōu)化問題，在保證精度的同時具有快速收斂的特點，其迭代過程如下：

(1)在搜索空間隨機產(chǎn)生N個個體，并利用反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生N個個體便于均勻分布于搜索空間，最后在2N個個體中根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值選出較優(yōu)的N個個體構(gòu)成初始種群。

(2)隨機執(zhí)行DE/best/1或DE/rand/1差分變異策略產(chǎn)生變異個體。首先，隨機產(chǎn)生一個[0, 1]之間的數(shù)，當(dāng)該隨機數(shù)小于0.5時，執(zhí)行DE/rand/1策略，否則執(zhí)行DE/best/1策略；其次，采用二項式交叉策略生成N個試驗向量個體；最后，在試驗向量和目標(biāo)向量中選出N個個體進入下一代。

(3)當(dāng)代數(shù)t>1時執(zhí)行隔代映射算子策略[17]產(chǎn)生三個新個體，替換進化種群中最差的三個個體。

(4)判斷當(dāng)前進化代數(shù)t是否為參數(shù)T的整數(shù)倍，如果是則執(zhí)行探測算子策略產(chǎn)生兩個體，擇優(yōu)選擇一個個體加入下一代種群，以增加進化種群的多樣性，否則不執(zhí)行。

(5)判斷目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)是否大于最大目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)，是則輸出當(dāng)前最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到步驟(2)。

其算法流程如圖3所示。

圖3　IPDE算法流程

在步驟(1)中，反向?qū)W習(xí)策略使初始種群能更好地分布于搜索空間，便于提高算法的全局優(yōu)化性能。步驟(2)采用隨機策略較好地避免了單獨采用DE/rand/1策略收斂速度慢的缺點，同時也避免了單獨采用DE/best/1策略收斂速度較快可能導(dǎo)致局部收斂的缺陷。在步驟(3)中，采用隔代映射算子較好地利用了當(dāng)前代和上一代種群中的最優(yōu)個體信息，有利于快速有效地指導(dǎo)進化種群產(chǎn)生較優(yōu)個體。

3測試函數(shù)及工程應(yīng)用

3.1測試函數(shù)及參數(shù)設(shè)置

測試函數(shù)采用2005年IEEE進化計算大會公布的測試函數(shù)中的部分測試函數(shù)[19]：單峰函數(shù)F1～F5和多峰函數(shù)F6、F8～F12。在11個測試函數(shù)中，設(shè)計變量n為30。IPDE算法的參數(shù)設(shè)置為：N取70，F(xiàn)取0.8，Cr取0.9，執(zhí)行探測算子的代數(shù)T取20，隔代映射算子中參數(shù)γ=s=λ=0.6。為了便于對比各算法的魯棒性，IPDE算法對每個測試函數(shù)獨立運算25次，統(tǒng)計其函數(shù)誤差值(f(x′)-f(x*))的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，其中x*為測試函數(shù)已知的最優(yōu)解。當(dāng)算法最大函數(shù)評價次數(shù)達到300 000次后，算法迭代結(jié)束并輸出最優(yōu)解x′。

3.2算法性能比較

3.2.1與兩種改進的DE算法比較

基于差分進化模式的SaDE(DEwithstrategyadaptation)算法[20]和EPSDE(ensembleofmutationstrategiesandcontrolparameterswithDE)算法[21]求解優(yōu)化問題時，具有較優(yōu)異的綜合性能。SaDE算法[20]利用先前搜索過程中積累的經(jīng)驗，以自適應(yīng)的方式同時選擇試驗向量產(chǎn)生策略和控制參數(shù)。EPSDE算法[21]則采用三種試驗向量產(chǎn)生策略和一組參數(shù)的隨機組合產(chǎn)生變異個體。為此，將IPDE算法與SaDE算法和EPSDE算法進行比較，其中，SaDE算法和EPSDE算法求解測試函數(shù)的仿真實驗統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別通過參考文獻[20-21]獲得，具體統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。表1中，“-”，“+”和“≈”分別表示相應(yīng)算法統(tǒng)計性能差于、優(yōu)于和相似于IPDE。m和s分別表示25次獨立運行的函數(shù)誤差值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

表1　IPDE與SaDE、EPSDE、CLPSO和GL-25在11個測試函數(shù)上的統(tǒng)計結(jié)果

(a)F1收斂曲線

(b)F2收斂曲線

(c)F3收斂曲線

(d)F4收斂曲線圖4　F1、F2、F3和F4收斂曲線

從表1中得出，IPDE算法相比于SaDE算法和EPSDE算法在整體上具有較優(yōu)異的全局優(yōu)化性能。具體地，IPDE算法分別在5個和6個測試函數(shù)上性能優(yōu)于SaDE算法和EPSDE算法，在3個測試函數(shù)上性能相似于SaDE算法和EPSDE算法，分別在3個和2個函數(shù)上劣于SaDE算法和EPSDE算法。IPDE算法、SaDE算法和EPSDE算法求解11個測試函數(shù)收斂曲線如圖4～圖6所示。由圖4～圖6可以看出，IPDE算法在整體上一致收斂到全局最優(yōu)解，其收斂性能在函數(shù)F2～F8、F10和F11上顯著優(yōu)于SaDE算法，在F2～F4、F8、F11和F12上顯著優(yōu)于EPSDE算法。3.2.2與兩種非DE模式的進化算法比較

為進一步驗證該算法的有效性，采用非差分進化模式的CLPSO(comprehensive learning particle swarm optimizer)算法[22]和GL-25(global and local real-coded genetic algorithms)算法[23]進行對比分析。CLPSO算法[22]以粒子群算法為基礎(chǔ)，其核心為一個粒子采用其他所有粒子的最好信息更新其速度。GL-25算法[23]是一類基于混合實數(shù)編碼的遺傳算法。兩種算法求解測試函數(shù)的仿真結(jié)果統(tǒng)計于表1。從表1中得出，IPDE算法在整體上顯著優(yōu)于CLPSO算法和GL-25算法。就11個測試函數(shù)的統(tǒng)計特性而言，IPDE算法分別在8個和10個測試函數(shù)上優(yōu)于CLPSO算法和GL-25算法。與IPDE算法相比，CLPSO算法僅在2個測試函數(shù)(F1和F9)上占優(yōu)，而GL-25算法在11個測試函數(shù)上均不能占優(yōu)。

(a)F5收斂曲線

(b)F6收斂曲線

(c)F8收斂曲線

(d)F9收斂曲線圖5　F5、F6、F8和F9收斂曲線

由上述5種算法求解11個測試函數(shù)的仿真結(jié)果和收斂曲線得出：相比于對比算法，IPDE算法在獲得最優(yōu)解的同時具有較好的全局優(yōu)化和快速收斂性能。

按照13號線停站方案，運行圖鋪畫結(jié)果顯示(快車-慢車-慢車-慢車-快車的發(fā)車間隔為3 min-3 min-2 min-2 min)，遠期早高峰慢車需在白芒站、羅租站、同觀路站、東周路站和長春北站待避。

3.3工程實例

3.3.1火炮身管結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

火炮的射擊精度在很大程度上取決于射彈的初始條件，而火炮發(fā)射時身管的振動對射彈初始條件有較大的影響，因此，優(yōu)化設(shè)計身管的結(jié)構(gòu)來調(diào)節(jié)其固有頻率具有重要的意義。本文采用文獻[24]所簡化的身管模型，如圖7所示，其模型主要由6根Timoshenko梁組成，其中m1和m2為簡化的炮口制退器和炮尾的集中質(zhì)量，圖中兩支撐點為搖架的前后支撐點，L為身管的總長，xi(i=1,2,…,5)表示各個等截面Timoshenko梁的長度。

(a)F10收斂曲線

(b)F11收斂曲線

(c)F12收斂曲線圖6　F10、F11和F12收斂曲線

圖7　簡化的火炮身管模型

身管模型的一階固有頻率的高低可表征其剛度的大小，所以將最大化身管的一階固有頻率ω作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，其設(shè)計變量為身管的各軸向長度xk(k=1,2,…,5)，其數(shù)學(xué)模型表示為

(8)

某汽車車架結(jié)構(gòu)[25]如圖8所示，由2根縱梁和8根橫梁組成，需優(yōu)化其橫梁的布置使車架在y方向上具有最大剛度。bi(i=1,2,…,8)表示8根橫梁，xi(i=1,2,3,4)表示各橫梁之間的跨距。車架為汽車的基座，大多數(shù)關(guān)鍵部件如發(fā)動機、懸架、油箱和駕駛室等都固定于車架，而這些部件通過連接件對車架產(chǎn)生載荷，通過簡化處理，獲得車架的靜力學(xué)模型如圖9所示。圖中Q1、Q2、Q3和Q4分別表示駕駛室、發(fā)動機、油箱和載重的等價質(zhì)量作用于車架的載荷，分別取值為19 600N，39 200N，4410N，343 000N；三角形表示不同方向的固定約束。車架材料的密度為ρ=7.86×103kg/m3，彈性模量E=2.0×108Pa，泊松比ν=0.3。

圖8　某車架簡化模型(mm)

圖9　車架有限元模型及加載

橫梁b1、b6、b7、b8固定，其他橫梁間的跨距需優(yōu)化。因為車架變形在y向上的最大位移可表征其剛度的大小，故將其作為目標(biāo)函數(shù)，建立如下的優(yōu)化問題：

(9)

式中，dmax為車架變形后在y向上的最大位移。

建立車架的有限元模型，采用SHELL63單元劃分網(wǎng)格。采用IPDE算法優(yōu)化，初始種群N為30，收斂準(zhǔn)則為連續(xù)兩代獲得最大位移誤差小于10-3mm，其他參數(shù)設(shè)置與求解測試函數(shù)的參數(shù)設(shè)置一致。該算法優(yōu)化求解獲得的最小最大位移為1.682mm，其對應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計向量為(410mm, 1580mm, 1030mm, 791mm)，降低了原模型的最大位移，使車架結(jié)構(gòu)設(shè)計更為合理。工程設(shè)計師可根據(jù)優(yōu)化結(jié)果結(jié)合工程經(jīng)驗指導(dǎo)實際的工程設(shè)計。

4結(jié)語

提出了一種基于隔代映射算子的差分進化算法來求解優(yōu)化問題，在保證解的精度的同時具有較快的收斂速度。11個單峰和多峰測試函數(shù)驗證了該算法具有優(yōu)秀的全局優(yōu)化與快速收斂性。其統(tǒng)計性能指標(biāo)表明，IPDE算法相比于SaDE算法和EPSDE算法分別在5個和6個測試函數(shù)中優(yōu)于SaDE算法和EPSDE算法，并分別在8個和11個測試函數(shù)上顯著優(yōu)于非差分模式的CLPSO算法和GL-25算法。最后，算法被應(yīng)用于兩個實際工程問題的求解，獲得了比優(yōu)化前更好的設(shè)計方案。

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(編輯王艷麗)

Differential Evolution Algorithm with Intergeneration Projection Operator

Fu Chunming1Jiang Chao1Chen Guangsong2Ji Lei2

1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082 2.Nanjing University of Science and Technology,Nanjing,210094

Abstract：A DE based on intergeneration projection operator with good optimum and fast convergence performance was proposed to solve optimization problems. The proposed method based on the classical differential evolution mainly included the following characteristics. Firstly, for improving the diversity of population, opposition learning was employed to generate initial population and two different strategies were randomly selected to generate new mutant individuals. Secondly, an intergeneration projection operator was designed to generate three offsprings to substitute for the three worst individuals into the next generation. Thirdly, the exploratory operator was introduced to generate the new individuals into the next generation for keeping the diversity of evolutionary population and avoiding to obtain local solution. Finally, the performances of IPDE algorithm were verified by the eleven single-and multi-modal benchmark tests and two practical engineering problems.

Key words：differential evolution(DE) algorithm; intergeneration projection(IP) operator; opposition learning; explorative operator

收稿日期：2015-07-27

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11172096)；教育部全國百篇優(yōu)秀博士論文資助項目(201235)；湖南省杰出青年基金資助項目(14JJ1016)

中圖分類號：TP18

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.11.019

作者簡介：符純明，男，1987年生。湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向為智能算法及多目標(biāo)優(yōu)化。姜潮(通信作者)，男，1978年生。湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。陳光宋，男，1987年生。南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院博士研究生。吉磊，男，1990年生。南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院博士研究生。