李　波　何　君　鄭方焱　陳定方　吳俊峰　呂小波　吳又安

1.武漢理工大學(xué)，武漢，430063　　2.湖北行星傳動(dòng)設(shè)備有限公司，黃岡，438000

非圓內(nèi)齒輪三軸聯(lián)動(dòng)插齒加工技術(shù)研究

李波1何君1鄭方焱1陳定方1吳俊峰2呂小波2吳又安2

1.武漢理工大學(xué)，武漢，4300632.湖北行星傳動(dòng)設(shè)備有限公司，黃岡，438000

摘要：利用非圓齒輪節(jié)曲線的法向量得到了基于包絡(luò)模型的非圓內(nèi)齒輪插齒加工聯(lián)動(dòng)模型，并給出了非圓內(nèi)齒輪在設(shè)計(jì)時(shí)避免根切的條件。同時(shí)，針對(duì)非圓內(nèi)齒輪在插齒加工過(guò)程中可能出現(xiàn)的讓刀干涉問(wèn)題，給出了相應(yīng)的判定條件及讓刀方法。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真和實(shí)際加工驗(yàn)證了上述模型及讓刀方法的正確性。

關(guān)鍵詞：非圓內(nèi)齒輪；插齒模型；讓刀干涉；插齒加工

0引言

目前非圓齒輪的加工方法主要有線切割加工、插齒加工和滾齒加工[1-2]。但是，利用慢走絲電火花線切割加工非圓齒輪效率不高，不適合大批量加工，并且手工編程也比較麻煩[3]；滾齒加工非圓齒輪效率比較高，但是無(wú)法加工節(jié)曲線內(nèi)凹的非圓外齒輪以及非圓內(nèi)齒輪[4]。而插齒加工則能夠很好地解決上述問(wèn)題，能夠?qū)崿F(xiàn)非圓內(nèi)齒輪的插齒加工。

本文根據(jù)非圓齒輪節(jié)曲線法向量得到了非圓內(nèi)齒輪的插齒加工三軸聯(lián)動(dòng)模型[5]。利用該模型可以在通用的三軸數(shù)控插齒機(jī)床上進(jìn)行非圓內(nèi)齒輪的插齒加工， 相比于其他的在四軸甚至五軸數(shù)控插齒機(jī)上進(jìn)行的非圓齒輪加工，該加工方法大大節(jié)省了加工成本。在分析三軸插齒機(jī)床插削非圓內(nèi)齒輪產(chǎn)生讓刀干涉的原理的基礎(chǔ)上，本文還提出了需要讓刀的判定條件以及相應(yīng)的讓刀方法，規(guī)避了讓刀干涉問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了非圓齒輪的連續(xù)插齒加工。

此外，由于非圓齒輪的加工及制造成本比較高昂，所以需要在加工前對(duì)非圓齒輪進(jìn)行加工仿真，以檢驗(yàn)非圓齒輪的參數(shù)設(shè)計(jì)是否合理、加工參數(shù)的選取是否得當(dāng)以及是否會(huì)出現(xiàn)加工干涉等情況[6]，從而避免非圓齒輪設(shè)計(jì)與加工上的失誤，為非圓內(nèi)齒輪的實(shí)際插齒加工的正確性提供保障。

1非圓內(nèi)齒輪插齒加工的聯(lián)動(dòng)模型

三軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控插齒機(jī)床在進(jìn)行非圓齒輪的插齒加工時(shí)，其運(yùn)動(dòng)可分為非圓齒輪輪坯的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、插齒刀的回轉(zhuǎn)以及非圓齒輪輪坯和插刀兩者回轉(zhuǎn)中心之間距離的變化。每完成一個(gè)插齒加工動(dòng)作后，插齒刀沿插刀和輪坯的中心連線方向讓刀。

圖1　非圓內(nèi)齒輪的插齒加工模型

圖1所示為非圓內(nèi)齒輪插齒加工時(shí)的聯(lián)動(dòng)數(shù)學(xué)模型。插齒加工的基本原理是插齒刀的節(jié)圓與非圓齒輪節(jié)曲線相切并做純滾動(dòng)，即保證刀具的節(jié)圓在齒坯節(jié)曲線上滾過(guò)的弧長(zhǎng)等于刀具節(jié)圓繞其自身回轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)插齒刀分度圓(此時(shí)等于節(jié)圓)在非圓齒輪節(jié)曲線上的法向純滾動(dòng)[7]。在非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心建立一個(gè)固定的直角坐標(biāo)系ox0y0，P點(diǎn)是當(dāng)極角為φ時(shí)非圓齒輪節(jié)曲線與插齒刀分度圓的切點(diǎn)，P′點(diǎn)為加工起始位置即φ=0時(shí)插刀與非圓齒輪節(jié)曲線的切點(diǎn)。向量t是P點(diǎn)處的單位切向量，向量n為P點(diǎn)處的單位法向量。另外，在插齒刀的回轉(zhuǎn)中心建立一個(gè)隨動(dòng)坐標(biāo)系o1x1y1，其x1軸方向與P點(diǎn)處的法向量n方向剛好相反，其y1軸方向與P點(diǎn)處的法向量t方向一致，并且插齒刀的半徑o1P=r0。設(shè)非圓齒輪的節(jié)曲線方程為r(φ)，則切點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(1)

P點(diǎn)處的切向量t0為

(2)

故其單位切向量t為

(3)

令切向量t=(tx,ty)T，使用右手坐標(biāo)系，規(guī)定加工內(nèi)齒輪時(shí)其法向量的正方向指向節(jié)曲線的內(nèi)側(cè)。由式n·t=0，可得如圖1所示單位法向量n為

(4)

(5)

現(xiàn)將坐標(biāo)系o1x1y1中插齒刀中心o1點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系ox0y0中，由曲線的法向量等距線可得

(6)

在△oPo1中，可知插齒刀中心與齒坯中心的距離

(7)

P點(diǎn)處的法向量與插刀和輪坯中心連線之間的夾角β為

(8)

故插刀的回轉(zhuǎn)角ψ為

ψ=θ+β-π

(9)

插齒刀初始位置到φ時(shí)對(duì)應(yīng)的中心極角γ為

(10)

所以非圓齒輪輪坯的轉(zhuǎn)角φ為

φ=φ-γ

(11)

由上述模型可知，非圓齒輪在進(jìn)行插齒加工時(shí)，三軸數(shù)控插齒機(jī)床各軸的運(yùn)動(dòng)方程為

(12)

根據(jù)上述插齒刀的轉(zhuǎn)角ψ、工件的轉(zhuǎn)角φ以及插齒刀和工件回轉(zhuǎn)中心之間的距離a這三個(gè)參數(shù)與極角φ之間的關(guān)系，再進(jìn)行相應(yīng)的坐標(biāo)變換即可得到非圓內(nèi)齒輪的插刀包絡(luò)模型[8]，最后就可以進(jìn)行非圓內(nèi)齒輪的插齒加工編程。

2非圓內(nèi)齒輪插齒加工前的根切校驗(yàn)

用插齒刀加工非圓齒輪時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生根切，這種現(xiàn)象和圓齒輪的根切現(xiàn)象類似。為了避免根切，在設(shè)計(jì)非圓齒輪節(jié)曲線時(shí)要對(duì)其進(jìn)行根切校驗(yàn)[9-10]。非圓齒輪的節(jié)曲線不是圓，其上各點(diǎn)處的曲率半徑是不同的，當(dāng)處于節(jié)曲線曲率半徑最小的位置時(shí)最容易發(fā)生根切。當(dāng)節(jié)曲線為r(φ)時(shí)，根據(jù)微分幾何知識(shí)，節(jié)曲線上各點(diǎn)的曲率半徑的計(jì)算式為

(13)

(14)

(15)

圖2　非圓齒輪插齒加工時(shí)的根切校驗(yàn)

(16)

當(dāng)所設(shè)計(jì)的非圓內(nèi)齒輪節(jié)曲線的參數(shù)滿足上述條件時(shí)，就能夠避免根切現(xiàn)象的產(chǎn)生。

3非圓內(nèi)齒輪在插齒加工時(shí)的讓刀問(wèn)題

數(shù)控插齒機(jī)在進(jìn)行非圓齒輪插齒加工時(shí)，有兩種讓刀方式：沿中心連線讓刀和沿節(jié)曲線法線讓刀。從理論上來(lái)講，沿節(jié)曲線法線方向讓刀的方式更好，可以切制出精度很高的非圓齒輪，但是這種方法至少需要四軸聯(lián)動(dòng)的插齒機(jī)床來(lái)滿足加工中的所有運(yùn)動(dòng)，加工成本比較高。而通用的三軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控插齒機(jī)床，其讓刀運(yùn)動(dòng)是通過(guò)機(jī)床的讓刀機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的，其讓刀方向固定為插齒刀與待加工齒輪的中心連線方向，即沿中心連線方向讓刀。

圖3所示為插削非圓內(nèi)齒輪時(shí)的讓刀位置。P點(diǎn)為插齒刀和非圓齒輪節(jié)曲線的切點(diǎn)。N1-N1和N2-N2為插齒刀上的齒輪瞬時(shí)嚙合線，它們與P點(diǎn)處節(jié)曲線的法線N-N之間的夾角為70°。

圖3　非圓內(nèi)齒輪插齒加工時(shí)的讓刀判別原理

經(jīng)研究，當(dāng)插齒刀在o1N的左右兩邊20°的范圍內(nèi)讓刀時(shí)，就不會(huì)出現(xiàn)讓刀干涉[12]，也即插齒刀中心與非圓齒輪的中心連線與法線之間的夾角Δ1滿足以下條件時(shí)不會(huì)出現(xiàn)讓刀干涉問(wèn)題:

Δ1=π-β=

(17)

當(dāng)讓刀角Δ1≥20°時(shí)會(huì)存在讓刀干涉問(wèn)題。當(dāng)出現(xiàn)讓刀干涉時(shí)，插齒刀會(huì)將已經(jīng)加工好的齒廓切掉，圖4為插齒加工過(guò)程中發(fā)生讓刀干涉的非圓齒輪，可以看到有一部分齒廓被切掉導(dǎo)致齒頂變尖。為了避免讓刀干涉問(wèn)題，必須在主軸回程時(shí)，使插齒刀讓開(kāi)一小段距離。

圖4　插齒刀與輪坯的讓刀干涉

關(guān)于讓刀干涉的問(wèn)題，目前非圓內(nèi)齒輪可以通過(guò)減少插齒刀齒數(shù)的方法來(lái)避免；也可以使插齒刀的回轉(zhuǎn)中心與幾何中心不一致來(lái)避免讓刀問(wèn)題[13]；還有一種可行的方法是通過(guò)三軸數(shù)控插齒機(jī)床的各軸之間的聯(lián)動(dòng)，在插齒刀的主軸運(yùn)動(dòng)到機(jī)床的下止點(diǎn)時(shí)，通過(guò)讓刀機(jī)構(gòu)和機(jī)床的相互配合動(dòng)作，使插齒刀遠(yuǎn)離非圓齒輪一定的距離，運(yùn)動(dòng)到非圓齒輪節(jié)曲線的法線方向上，以此來(lái)避免讓刀干涉問(wèn)題的產(chǎn)生。

(18)

圖5　非圓內(nèi)齒輪插齒加工讓刀方法

(19)

P1點(diǎn)處的切向量為

(20)

(21)

(22)

根據(jù)式(22)即可解出相應(yīng)的極角ε的值，再代入式(12)，計(jì)算出此時(shí)插齒刀、非圓齒輪及兩者之間中心距這三個(gè)參數(shù)的變化，即可完成非圓齒輪插齒加工時(shí)的讓刀動(dòng)作。

4工程實(shí)例

4.1自動(dòng)編程系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)加工仿真

根據(jù)非圓齒輪插齒加工的原理及上述模型，本文利用MATLAB與Visual C++語(yǔ)言混合編程的方法開(kāi)發(fā)了一個(gè)集仿真、加工于一體的插齒加工自動(dòng)編程系統(tǒng)。該系統(tǒng)充分利用了MATLAB強(qiáng)大的數(shù)值分析、圖形顯示等功能以及C++語(yǔ)言較高的執(zhí)行效率的特點(diǎn)，使得非圓齒輪插齒加工自動(dòng)編程系統(tǒng)操作簡(jiǎn)便，效率更高。該加工仿真及自動(dòng)編程系統(tǒng)的流程如圖6所示。

圖6　加工仿真及插齒編程系統(tǒng)流程圖

非圓齒輪插齒加工自動(dòng)編程系統(tǒng)采用模塊化設(shè)計(jì)，由參數(shù)輸入部分、動(dòng)態(tài)仿真部分、代碼生成以及錯(cuò)誤顯示部分組成。該系統(tǒng)首先對(duì)輸入的非圓齒輪的參數(shù)進(jìn)行校驗(yàn)，然后結(jié)合加工參數(shù)經(jīng)過(guò)處理分析后進(jìn)行插齒加工的動(dòng)態(tài)仿真，最后輸出插齒加工G代碼，再上傳至三軸數(shù)控插齒機(jī)床即可進(jìn)行非圓齒輪的插齒加工。圖7為插齒加工自動(dòng)編程的系統(tǒng)界面。

圖7　插齒編程系統(tǒng)界面

以一對(duì)三階正弦傳動(dòng)比非圓內(nèi)齒輪的插齒加工為例，按上述方法在通用三軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控插齒機(jī)上進(jìn)行插齒加工。該主動(dòng)輪齒數(shù)為z1=34，壓力角為20°，模數(shù)為m=2 mm，節(jié)曲線極坐標(biāo)方程為

(23)

式中，i12為非圓齒輪副的傳動(dòng)比函數(shù)。

與其相嚙合的從動(dòng)輪是三階正弦非圓內(nèi)齒輪，其節(jié)曲線方程為

(24)

當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)φ1角時(shí)，相應(yīng)的從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為

(25)

故可求得該加工的三階非圓內(nèi)齒輪的齒數(shù)為

(26)

圖8　主動(dòng)輪包絡(luò)模型及局部放大圖

圖9　非圓內(nèi)齒輪包絡(luò)模型及其局部放大圖

4.2非圓內(nèi)齒輪的數(shù)控插齒加工

通過(guò)上述插齒加工自動(dòng)編程系統(tǒng)得到非圓內(nèi)齒輪的加工代碼并上傳至通用三軸數(shù)控插齒機(jī)床，設(shè)定合理的加工參數(shù)，如主軸的插齒速度、進(jìn)給量、機(jī)床讓刀量以及加工完成后的插齒刀讓刀量等。非圓齒輪插齒加工過(guò)程和圓柱齒輪類似，也分為3～4個(gè)循環(huán)依次加工。圖10為加工非圓內(nèi)齒輪的部分加工代碼和實(shí)際插齒加工情況。

(a)加工代碼

(b)實(shí)際加工狀況圖10　非圓內(nèi)齒輪的部分加工代碼與加工情況

圖11顯示了該非圓內(nèi)齒輪的最終加工齒形情況，可以看到其齒形和圖9的包絡(luò)齒形形狀一致，同時(shí)沒(méi)有出現(xiàn)加工讓刀干涉問(wèn)題，證明了上述讓刀方法的正確性。利用該讓刀方法，可以直接在通用三軸數(shù)控插齒機(jī)上加工非圓齒輪，也避免了使用回轉(zhuǎn)中心偏離幾何中心的插齒刀，降低了生產(chǎn)成本，同時(shí)也使加工效率有所提高。

圖11　非圓內(nèi)齒輪最終齒形

圖12　局部放大齒形

圖13　非圓齒輪某齒的理論齒廓與測(cè)量值對(duì)比圖

圖12所示為非圓內(nèi)齒輪的局部齒形，可以看到加工出來(lái)的非圓齒輪的齒形完整且齒面光整程度較高，經(jīng)齒面粗糙度檢測(cè)儀檢測(cè)，齒面粗糙度Ra在0.7～0.9μm范圍內(nèi)，滿足設(shè)計(jì)加工的要求。將三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的齒廓點(diǎn)擬合后并與MATLAB仿真擬合生成的齒廓[14]進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖13所示，可以看到測(cè)量值與對(duì)應(yīng)的齒形齒廓基本一致，上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果滿足加工的要求，從而證明了該插齒加工模型以及讓刀方法的正確性。

5結(jié)論

(1)基于齒廓法向量的方法提出了非圓內(nèi)齒輪的插齒加工數(shù)學(xué)模型。該模型與幾何模型相比，更加簡(jiǎn)單，更加易于插齒加工自動(dòng)編程系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)。

(2)提出了非圓內(nèi)齒輪在插齒加工時(shí)的讓刀判定條件以及相應(yīng)的讓刀方法，避免了加工過(guò)程中的讓刀干涉問(wèn)題。同時(shí)對(duì)非圓內(nèi)齒輪的插齒加工進(jìn)行了圖形學(xué)仿真，可以為實(shí)際的插齒加工提供參考。

(3)利用通用的三軸數(shù)控插齒機(jī)床即可進(jìn)行非圓內(nèi)齒輪的加工，無(wú)需開(kāi)發(fā)非圓齒輪插齒加工專用機(jī)床，節(jié)省了加工成本。同時(shí)通過(guò)在其上加掛非圓齒輪插齒加工自動(dòng)編程系統(tǒng)，拓展了通用三軸數(shù)控插齒機(jī)的工藝功能，滿足了小批量低成本生產(chǎn)非圓齒輪的目的及需求。

參考文獻(xiàn)：

[1]史勇. 非圓齒輪加工方法研究及斜齒非圓齒輪滾齒加工過(guò)程仿真[D].上海：東華大學(xué)，2013.

[2]LitvinFL,Gonzalez-PerezI,YukishimaK,etal.GenerationofPlanarandHelicalEllipticalGearsbyApplicationofRack-cutter,Hob,andShaper[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 2007,196：4321-4336.

[3]胡赤兵，孔德永，張敏，等. 非圓齒輪的實(shí)體建模方法與線切割加工仿真[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，37(4)：38-42.

HuChibing，KongDeyong，ZhangMin，etal.SolidModelingMethodofNon-circularGearsandWire-cuttingProcessSimulation[J].JournalofLanzhouUniversityofTechnology，2011，37(4)：38-42.

[4]王亞洲. 非圓齒輪數(shù)控滾切加工誤差分析研究[D]. 蘭州：蘭州理工大學(xué)，2013.

[5]鄭方焱，陳定方，劉有源. 一種非圓錐齒輪齒廓的通用算法[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2013(5)：57-59.

ZhengFangyan，ChenDingfang，LiuYouyuan.AGeneralAlgorithmforNonBevelGearToothProfile[J].MechanicalTransmission，2013(5)：57-59.

[6]譚偉明，胡赤兵. 非圓齒輪滾切最簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型及圖形仿真[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2001,37(5)：26-29.

TanWeiming，HuChibing.ConciseMathematicalModelforhobbingNon-circularGearandIt’sGraphicSimulation[J].JournalofMechanicalEngineering，2001,37(5)：26-29.

[7]吳序堂. 齒輪嚙合原理[M]. 2版.西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.

[8]鄭方焱，陳定方，劉有源. 一種非圓齒輪齒廓的通用算法[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2013(4)：64-66.

ZhengFangyan，ChenDingfang，LiuYouyuan.AGeneralAlgorithmforNon-circularGearToothProfile[J].Mechanicaltransmission，2013(4)：64-66.

[9]何貴平，胡赤兵，靳嵐，等. 外嚙合非圓齒輪加工模型及根切特性研究[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，30(6)：40-43.

HeGuiping，HuChibing，JinLan，etal.InvestigationofMathematicalModelforMachiningofExternallyMeshedNon-circularGearsandCharacteristicsofTheirUndercut[J].JournalofLanzhouUniversityofTechnology，2006，30(6)：40-43.

[10]BairBW.ComputerizedToothProfileGenerationofEllipticalGearsManufacturedbyCutters[J].JournalofMaterialsProcessingTechnology, 2002,122：139-147.

[11]吳序堂，王貴海.非圓齒輪及非勻速比傳動(dòng)[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

[12]姚文席. 非圓齒輪設(shè)計(jì)[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[13]熊鎮(zhèn)芹，吳序堂，毛世民，等. 非圓齒輪插齒加工中的讓刀干涉機(jī)理及規(guī)避方法研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38(3)：152-155.

Xiong Zhenqin，Wu Xutang，Mao Shimin，et al. Research on the Mechanism and the Avoidance Method of Cutting Interference in Non-circular Gear Shaping[J]. Journal of Mechanical Engineering，2002，38(3)：152-155.

[14]李建剛，吳序堂，毛世民，等. 非圓齒輪齒廓數(shù)值計(jì)算的研究[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，39(1)：75-78.

Li Jiangang, Wu Xutang, Mao Shimin，et al. Numerical Calculation of Tooth Profile of Non-circular Gear[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University，2005，39(1)：75-78.

(編輯王艷麗)

Research on Three-axis Linkage Shaping Technology for Non-circular Internal Gears

Li Bo1He Jun1Zheng Fangyan1Chen Dingfang1Wu Junfeng2Lü Xiaobo2Wu Youan2

1.Wuhan University of Technology,Wuhan,430063 2.Hubei Planetary Gear Boxes Co., Ltd.,Huanggang,Hubei,438000

Abstract：According to the normal vector of gear pitch curve, a linkage model of non-circular internal gear shaping was obtained based on the model of the envelope. And the conditions were given to avoid undercutting at the design of non-circular internal gear.At the same time, in the view of non-circular internal gear shaping process, the cutter retracting conditions and the methods of cutter retracting were given. Finally, the correctness of the model was verified by computer simulation and gear shaping processes.

Key words：non-circular internal gear；shaping model；cutter retracting interference；gear shaping

收稿日期：2015-10-16

基金項(xiàng)目：湖北省科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014BAA024)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(165218001，165218003)

中圖分類號(hào)：TH132.424；TG659

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.11.007

作者簡(jiǎn)介：李波，男，1963年生。武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院副教授、博士。主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代設(shè)計(jì)理論研究、智能設(shè)計(jì)與制造等。獲省部級(jí)科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)2項(xiàng)。發(fā)表論文30余篇。何君，男，1992年生。武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院碩士研究生。鄭方焱，男，1988年生。武漢理工大學(xué)汽車工程學(xué)院博士研究生。陳定方，男，1946年生。武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。吳俊峰，男，1968年生。湖北行星傳動(dòng)設(shè)備有限公司高級(jí)工程師。呂小波，男，1985年生。湖北行星傳動(dòng)設(shè)備有限公司助理工程師。吳又安，男，1964年生。湖北行星傳動(dòng)設(shè)備有限公司工程師。