高 輝, 高勝哲, 尹 麗

(大連海洋大學(xué) 理學(xué)院 遼寧 大連 116023)

關(guān)于有限群子群的θ-完備

高 輝, 高勝哲, 尹 麗

(大連海洋大學(xué) 理學(xué)院 遼寧 大連 116023)

利用新的思路將子群的θ-完備的條件互相結(jié)合, 或者與c-正規(guī)的條件結(jié)合起來(lái),研究有限群的可解性.

子群;θ-完備;c-正規(guī); 可解群

0 引言

利用有限群子群,特別是利用一些特定子群的性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)有限群的結(jié)構(gòu)尤為突出. 有限群極大子群的完備或θ-子群偶的概念的提出, 為研究有限群的性質(zhì)提供了一個(gè)很好的工具. 另外, 以HG表示H在G中的核, 記CG為子群C在G中的正規(guī)閉包. 為了揭示極大子群的完備和θ-子群偶之間的關(guān)系, 文獻(xiàn)[1]給出了極大子群的θ-完備的定義.

定義1 給定有限群G的極大子群M, 稱G的子群C為關(guān)于M的θ-完備, 如果C滿足：

(1)CM;(2)MG?C;(3)C/MG不真含G/MG的異于1的正規(guī)子群.

進(jìn)一步地, 若不存在關(guān)于M的滿足C

從有限群的極大子群的θ-完備的定義可以看出, 其只適用于有限群的極大子群. 而有限群除了極大子群外, 還有許多其他子群對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)也有重要的影響, 也是人們研究的重點(diǎn). 為此將極大子群的θ-完備應(yīng)用到一般子群上, 文獻(xiàn)[8]引入了一般子群的θ-完備概念.

定義2 設(shè)H是G的一個(gè)真子群,G的一個(gè)子群C稱為H在G中的一個(gè)θ-完備, 如果C滿足:

(1)G=;(2)HG?C;(3) 若C1/HG是C/HG的一個(gè)真子群且C1/HGG/HG, 則G≠ .

用θI(H)表示H在G中的所有的θ-完備組成的集合,θI(H)按集合包含關(guān)系做成一個(gè)偏序集, 其極大元稱為H的一個(gè)極大θ-完備. 即不存在關(guān)于H的滿足C

另一方面, 正規(guī)子群是群論中的一個(gè)重要概念,隨著群論的發(fā)展,一些比正規(guī)性弱的子群的概念也被相繼提出,例如,s-擬正規(guī),半正規(guī),c-正規(guī)等.文獻(xiàn)[9]提出了c-正規(guī)的概念.

定義3 令H≤G,H叫做c-正規(guī)的, 如果存在KG,使得G=HK,且H∩K?HG.

探討一般子群的θ-完備對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響,主要是將2-極大子群的θ-完備的條件或者與c-正規(guī)條件結(jié)合起來(lái)討論群的可解性, 得到了有限群可解的一些充分條件.

定義4[10]如果有M<·G使H<·M，稱群G的子群H為G的一個(gè)2-極大子群.

1 引理

引理1[8]設(shè)H是G的真子群,N≤H且NG,C是H的一個(gè)極大θ-完備當(dāng)且僅當(dāng)C/N是H/N的極大θ-完備.

鄂州物業(yè)管理可以結(jié)合地方實(shí)際情況從以下幾個(gè)方面進(jìn)行規(guī)范：第一嚴(yán)把市場(chǎng)準(zhǔn)入關(guān)。對(duì)物業(yè)管理企業(yè)要嚴(yán)格準(zhǔn)入，強(qiáng)化新建企業(yè)開(kāi)業(yè)登記和資格審查、年檢、資質(zhì)復(fù)審等工作；第二建立物業(yè)管理主體信用檔案。對(duì)物業(yè)公司及其法人、業(yè)委會(huì)成員建立誠(chéng)信檔案；第三積極開(kāi)展物業(yè)管理考評(píng)。根據(jù)優(yōu)秀物業(yè)管理示范小區(qū)標(biāo)準(zhǔn)，積極開(kāi)展考評(píng)達(dá)標(biāo)活動(dòng)，讓更多的業(yè)主購(gòu)得安心和住得放心；最后加強(qiáng)制度建設(shè)。應(yīng)根據(jù)國(guó)家和省公布的法律法規(guī)來(lái)制定與地方配套的、具體的細(xì)則及辦法，進(jìn)而推動(dòng)鄂州市物業(yè)管理規(guī)范化發(fā)展。

引理4[8]設(shè)G非可解, 且G的每個(gè)真子群H都存在一個(gè)極大θ-完備C. 若N是G的唯一極小正規(guī)子群且N非可解, 而C是有Sylow塔, 則C是G的極大子群.

引理 5[11]設(shè)G=AB, 子群A,B的Sylow 2-子群的階不超過(guò)2, 那么G是可解的.

引理6[10]設(shè)H為G的極大子群, 若H冪零,且H的Sylow 2-子群的冪零類≤2, 則G可解.

2 主要結(jié)果

定理1 令G是一個(gè)群, 假設(shè)對(duì)于G的2-極大子群H, 存在一個(gè)關(guān)于H的極大θ-完備C, 滿足下列條件之一:

則G可解.

推論2 令G是一個(gè)群, 假設(shè)對(duì)于G的2-極大子群H, 存在一個(gè)關(guān)于H的極大θ-完備C, 使得CG/HG可解, 則G可解.

定理2 對(duì)于G的每個(gè)2-極大子群H, 存在一個(gè)關(guān)于H的極大θ-完備C或者C/HG冪零, 且Sylow2-子群的冪零類不超過(guò)2, 或者H在G中c-正規(guī), 則G可解.

推論3 對(duì)于G的每個(gè)2-極大子群H, 存在一個(gè)關(guān)于H的極大θ-完備C使得C/HG冪零, 且Sylow 2-子群的冪零類不超過(guò)2, 則G可解.

推論4 對(duì)于G的每個(gè)2-極大子群H, 若H在G中c-正規(guī), 則G可解.

定理3 假設(shè)G是有限群,N是G的非平凡的正規(guī)子群, 如果對(duì)于G的每個(gè)不包含N的2-極大子群H, 存在一個(gè)關(guān)于H的極大θ-完備C使得C/HG冪零, 且Sylow 2-子群的冪零類不超過(guò)2, 則G可解.

證明 假設(shè)定理不成立, 令G為極小階反例. 假設(shè)R是G的極小正規(guī)子群,H/R是G/R的2-極大子群, 且NR/R≤H/R, 則H是G的2-極大子群且N≤H, 由題設(shè)知,存在一個(gè)關(guān)于H的極大θ-完備C使得C/HG冪零, 且Sylow 2-子群的冪零類不超過(guò)2. 由 引理1知,G/R滿足定理的條件. 由極小階反例知,G/R可解, 從而NR/R可解.若N∩R=1, 則N?NR/R可解. 若N∩R=R, 則R≤N, 且N/R可解. 進(jìn)一步假設(shè)R是G的唯一的極小正規(guī)子群且RΦ(G),R非可解.

因?yàn)镽Φ(G), 則存在G的極大子群L使得RL,NL且LG=1.假設(shè)T<·L<·G, 則NT且TG=1. 由題設(shè)知, 存在一個(gè)關(guān)于T的極大θ-完備D使得D冪零,且Sylow2-子群的冪零類不超過(guò)2. 顯然,D. 由引理3知,D<·DR. 由引理6知，DR是可解的, 從而R可解, 與R非可解矛盾.

定理4 如果G有一個(gè)可解的2-極大子群H,H有一個(gè)極大θ-完備C, 使得CG/HG可解, 則G可解.

證明 (1) 若HG≠1, 則G非單. 假設(shè)N是G的極小正規(guī)子群, 并且N≤H, 由題設(shè)可知,H有一個(gè)極大θ-完備C, 使得CG/HG可解. 由引理1可知,C/N是H/N的極大θ-完備,并且(C/N)G/N/(H/N)G/N?CG/N/HG/N?CG/HG可解. 由歸納法知,G/N可解.又N可解, 所以G可解.

(2) 若HG=1, 由題設(shè)知,H有一個(gè)極大θ-完備C,使得CG可解. 由定義2知,G≤H,C≥CGH. 于是G/CG?H/(H∩CG)可解, 又CG可解, 所以G可解.

[1] ZHAO Y Q. On the Deskins completions, theta completions and theta pairs for maximalsubgroups I[J]. Comm Algebra, 1998, 26(10): 3141-3153.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Onθ-Completions for Subgroups

GAO Hui, GAO Shengzhe, YIN Li

(ScienceInstitute,DalianOceanUniversity,Dalian, 116023,China)

The solvability of the finite group was studied by using new methds to combine the conditions ofθ-completions for subgroups with each other, or with that ofc-normal.

subgroups ;θ-completions;c-normal ; solvable groups

2015-11-08

高輝(1978—)，女，遼寧莊河人，講師，碩士，主要從事有限群研究,E-mail:gaohui@dlou.edu.cn;通訊作者：高勝哲(1974—)，男，黑龍江大興安嶺人，副教授，碩士，主要從事有限群及金融數(shù)學(xué)研究，E-mail:gsz@dlou.edu.cn.

高輝，高勝哲，尹麗.關(guān)于有限群子群的θ-完備[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(2):11-13.

O152.1

A

1671-6841(2016)02-0011-03

10.13705/j.issn.1671-6841.2015234