楊 飛， 胡萬(wàn)強(qiáng)， 李耀輝

(許昌學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院 河南 許昌 461000)

基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法研究

楊 飛， 胡萬(wàn)強(qiáng)， 李耀輝

(許昌學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院 河南 許昌 461000)

首先提出元模型集的概念，根據(jù)RBF函數(shù)的特點(diǎn)，將其系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣，使得多個(gè)變量可在同一元模型中進(jìn)行仿真.其次針對(duì)通過(guò)采樣點(diǎn)計(jì)算Pareto適存度矩陣?yán)щy的問(wèn)題，提出了增量迭代式Pareto適存度計(jì)算方法，利用上一次迭代產(chǎn)生的適存度值直接更新，減少了計(jì)算工作量.最后將元模型集和增量Pareto適存度算法應(yīng)用到多變量全局優(yōu)化算法中，并將其應(yīng)用于數(shù)值計(jì)算以及五桿平面桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中.結(jié)果表明該方法科學(xué)合理，效果明顯.

元模型集； 多變量全局優(yōu)化； 增量Pareto適存度算法； 優(yōu)化算法

0 引言

現(xiàn)代機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計(jì)中經(jīng)常涉及多輸入多輸出(多變量)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，處理這類問(wèn)題的方法大致可以分為兩種:一種方法是根據(jù)各變量的重要程度將被優(yōu)化的目標(biāo)加上不同權(quán)值而轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)輸出，稱為多目標(biāo)加權(quán)法,但是在實(shí)際過(guò)程中由于缺少合理的權(quán)值選擇方法，所以很難確定每個(gè)目標(biāo)的權(quán)重；另一種方法是先找出所有Pareto解集，從中選擇有效解作為優(yōu)化目標(biāo)的最佳解，該方法也稱為Pareto多目標(biāo)優(yōu)化方法，目前這種方法中應(yīng)用比較廣泛的有粒子群優(yōu)化算法[1-2]和進(jìn)化算法.文獻(xiàn)[3]提出了一種改進(jìn)的多輸出粒子群算法，將遺傳算法成功引入到粒子群優(yōu)化中.文獻(xiàn)[4]提出了一種改進(jìn)的多目標(biāo)進(jìn)化算法，并將其應(yīng)用到機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計(jì)中.上述方法需要對(duì)非Pareto解集點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)估值，占用了大量計(jì)算機(jī)資源，代價(jià)較昂貴.

多輸入多輸出優(yōu)化問(wèn)題常常涉及源模型的近似化問(wèn)題，即仿真模型，如計(jì)算模型、元模型等. 這些模型促進(jìn)了優(yōu)化和概念搜索的發(fā)展，降低了函數(shù)優(yōu)化迭代次數(shù)，從而減少了計(jì)算機(jī)資源的消耗.文獻(xiàn)[5]將kriging元模型引入到多輸出優(yōu)化問(wèn)題中，以kriging元模型代替源模型.文獻(xiàn)[6]利用hyper-ellipse元模型求解雙標(biāo)準(zhǔn)凸優(yōu)化問(wèn)題.使用這些仿真模型的關(guān)鍵在于近似模型的精度問(wèn)題，精度不夠準(zhǔn)確會(huì)使求得的Pareto解集不能有效逼近Pareto邊界.本文提出元模型集的概念，利用RBF函數(shù)線性化的特點(diǎn)，將其系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣，從而使得多輸入多輸出優(yōu)化過(guò)程在同一元模型中完成，并提出一種與元模型集方法相匹配的增量Pareto適存度算法，從而降低了優(yōu)化算法的難度，節(jié)省了寶貴的計(jì)算機(jī)資源，為復(fù)雜機(jī)電產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種新的思路與方法.

1 元模型集基本概念

元模型集(meta-model set，MS)是指多個(gè)元模型的集合體，即為采樣點(diǎn)集X(x1,x2,…,xn)到響應(yīng)值Y(y1(y11,y12,…,y1m),y2(y21,y22,…,y2m),…,yn(yn1,yn2,…,ynm))的一個(gè)多值映射.對(duì)于任一個(gè)采樣點(diǎn)xi，即有一個(gè)矢量響應(yīng)集yi(yi1,yi2,…,yim)與之對(duì)應(yīng)，其表達(dá)式為

Y=Φ·Λ,

(1)

式中:Φ為基函數(shù)矩陣，Λ為采樣點(diǎn)矩陣.由式(1)可知，如果一個(gè)元模型應(yīng)用于元模型集，則必須是線性的.文獻(xiàn)[7]研究表明,RBF元模型構(gòu)造方便，能較好地近似高階非線性問(wèn)題，可以作為元模型集的多值元模型，其表達(dá)式為

(2)

將式(2)中的向量λ換為矩陣Λ，那么RBF元模型的響應(yīng)值f*(x)即變?yōu)榫仃嘫，RBF元模型就被轉(zhuǎn)變?yōu)橥辉Ｐ拖碌亩嘀的Ｐ停丛Ｐ图?，RBF元模型的構(gòu)造原理見(jiàn)文獻(xiàn)[8].

2 增量Pareto適存度算法

相對(duì)于單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題一般具有多個(gè)Pareto最優(yōu)解.Pareto最優(yōu)解集中的任何一個(gè)解都可能成為最優(yōu)解，其在目標(biāo)函數(shù)上對(duì)應(yīng)的集合即為Pareto邊界.Pareto邊界因?qū)嶋H多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的解而出現(xiàn)連續(xù)或不連續(xù)性，求解完全的Pareto解集是很困難的，但可以用一個(gè)離散的解集去逼近連續(xù)解集以作為其近似解集.為了得到近似的Pareto解集，引入適存度函數(shù)作為求解得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)是否為Pareto最優(yōu)解的標(biāo)準(zhǔn)[9].

設(shè)A={xi,i=1,2,…,m}為設(shè)計(jì)點(diǎn)集合，定義第i個(gè)給定點(diǎn)xi在A中的適存度表達(dá)式為

(3)

(4)

式中：j=1,2，…,n，且i≠j；k為子目標(biāo)函數(shù)，k=1,2,…,m.則式(4)的行向量矩陣為

(5)

(6)

經(jīng)分析可知，Pareto適存度函數(shù)可采用迭代方式進(jìn)行求解，而且可以利用上一次迭代計(jì)算的Pareto適存度值計(jì)算下一次迭代的Pareto適存度值，其算法步驟如下：

1) 設(shè)init_def為上一次迭代Pareto適存度值，fit為當(dāng)前給定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值矩陣，并且將fit按比例縮放至[1，0].

2) 構(gòu)造def為當(dāng)前Pareto適存度值域，如果init_def非空，將其加入def前面部分.

3) 設(shè)i為迭代過(guò)程中當(dāng)前給定點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值cur_fit，將對(duì)所有給定點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)，設(shè)j迭代過(guò)程中與i不同的給定點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值oth_fit，對(duì)前i-1個(gè)給定點(diǎn)進(jìn)行循環(huán).

5) 令i++,j++，再次循環(huán).

3 基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法

基于元模型集的多變量全局優(yōu)化算法的基本思路是以元模型集替代源模型進(jìn)行仿真優(yōu)化.使用改進(jìn)增量拉丁超立方采樣方法在元模型集上逐次采樣，搜尋符合Pareto適存度函數(shù)的設(shè)計(jì)點(diǎn)，直至滿足設(shè)計(jì)要求.元模型集使用RBF元模型更新方式逐步構(gòu)造精確的近似模型，算法流程如圖1所示.

其具體步驟如下：

2) 構(gòu)造初始元模型集.調(diào)用目標(biāo)函數(shù)仿真，獲得樣本點(diǎn)集X(i)響應(yīng)值Y(i)，利用X(i)、Y(i)來(lái)構(gòu)建初始元模型集，適存度集合F(i)通過(guò)Pareto適存度函數(shù)公式計(jì)算.

5) 以RBF方法更新元模型集，令i=i+1，再次循環(huán).

4 工程實(shí)例分析

設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)值ε1=1.023，ε2=1.008，經(jīng)12次迭代后得到98個(gè)Pareto邊界點(diǎn)，占精確分析點(diǎn)總量的48%，且精確分析次數(shù)為204次.Pareto邊界分布、精確分析點(diǎn)分布、解集分布及收斂曲線如圖3所示，計(jì)算結(jié)果分析如表1所示.可以得出，基于元模型集的多變量全局優(yōu)化算法相對(duì)于多目標(biāo)遺傳算法來(lái)講，獲取Pareto邊界迭代次數(shù)少，進(jìn)行精確分析的次數(shù)也大大降低，這對(duì)于節(jié)約計(jì)算機(jī)資源及提高仿真優(yōu)化效率具有重要意義.

圖1 基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法流程

圖2 五桿平面桁架結(jié)構(gòu)

圖3 Pareto邊界分布、精確分析點(diǎn)分布、解集分布及收斂曲線

表1 計(jì)算結(jié)果分析

Tab.1 The results analysis

求解次數(shù)迭代次數(shù)精確分析次數(shù)近似分析ε1值精確分析ε2值Pareto邊界點(diǎn)數(shù)量占精確分析點(diǎn)比例/%1#122041.0231.00898482#182231.0151.007105473#203071.0301.00812340

5 小結(jié)

根據(jù)元模型集的相關(guān)理論，利用RBF函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，再加上增量Pareto適存度計(jì)算方法，從而完善了基于元模型集的多變量全局優(yōu)化算法.通過(guò)上述函數(shù)及工程實(shí)例的分析測(cè)試，表明了該算法科學(xué)合理，效果良好.可以說(shuō)，這是一種值得考慮并有較大研究前景的方法.隨著元模型不確定性問(wèn)題和多目標(biāo)優(yōu)化評(píng)價(jià)方法的深入研究，基于增量RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法就可以得到更大的完善和發(fā)展.

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(責(zé)任編輯：孔 薇)

Research of Multivariable Global Optimization Algorithm Based on RBF Meta-model Set

YANG Fei, HU Wanqiang, LI Yaohui

(SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Firstly,the concept of meta-model set was proposed, which utilized the feature of RBF function and converted the coefficient vector into coefficient matrix, and made multiple variables simulating in the same meta-model. Then, to tackle the difficult problems such as calculating Pareto fitness matrix through the sample points, a new incremental iterative Pareto fitness calculation method was proposed to significantly reduce the calculation by using the fitness value of the previous iteration directly. Finally, a new multivariable optimization algorithm based on meta-model set and incremental Pareto fitness algorithm was applied to numerical computation and design optimization of five-bar plane truss structure. The result showed that the method was scientific and reasonable, and the improvement was obvious.

meta-model set; multivariable global optimization; incremental Pareto fitness calculation method; optimization algorithm

2015-11-04

楊飛(1980—)，男，河南長(zhǎng)葛人，講師，碩士，主要從事電力電子技術(shù)研究，E-mail：35955368@qq.com.

楊飛，胡萬(wàn)強(qiáng)，李耀輝.基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法研究[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(2)：116-120.

TP301.6

A

1671-6841(2016)02-0116-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2015228