洪　菊，趙　凱，李金濤，王勝利，石　波

(1.山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東　青島　266590；2.山東科技大學 海洋工程研究院，山東　青島　266590)

GPS網(wǎng)平差方程的自動列寫及實現(xiàn)

洪菊1，趙凱1，李金濤1，王勝利2，石波1

(1.山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東青島266590；2.山東科技大學 海洋工程研究院，山東青島266590)

摘要：針對GPS網(wǎng)平差中由于數(shù)據(jù)過多導致的方程列寫困難、運算效率低等問題，提出了GPS網(wǎng)平差方程自動列寫及快速實現(xiàn)的方法。根據(jù)GPS網(wǎng)平差數(shù)據(jù)特點，該方法在無約束平差與約束平差具體應用過程中采用壓縮存儲法存儲對稱矩陣以節(jié)省內存空間，采用Cholesky分解法解算法方程以加快運算效率，達到GPS網(wǎng)平差方程的快速解算的效果。結果表明：使用該方法能夠確定GPS網(wǎng)中點在指定參照系下的坐標，達到GB/T18314—2009對約束平差的要求；此方法與常規(guī)方法相比可較好節(jié)省內存空間，提高運算效率。

關鍵詞：GPS網(wǎng)平差；無約束平差；約束平差；自動列寫方程式；矩陣壓縮存儲；Cholesky分解法

0引言

與常規(guī)測量方法相比，全球導航系統(tǒng)(global positioning system，GPS)技術在精度、社會經(jīng)濟效益以及布網(wǎng)的靈活性上具有很大的優(yōu)越性，因此GPS技術在測繪領域已經(jīng)得到廣泛的應用[1-2];但就數(shù)據(jù)處理而言，GPS觀測值的數(shù)據(jù)處理與常規(guī)測量觀測值的數(shù)據(jù)處理相比更加復雜。在進行GPS網(wǎng)平差過程中主要應用無約束平差、約束平差、聯(lián)合平差3種方法，其處理流程主要是先通過無約束平差發(fā)現(xiàn)和剔除GPS觀測值中存在的粗差以及評定網(wǎng)平差的精度，再進行約束平差增加約束條件，求得站點在指定坐標系下的坐標以及評定GPS網(wǎng)精度。GPS平差處理是GPS定位的重要組成部分，也是GPS最活躍的研究領域之一，現(xiàn)國內外有很多平差處理軟件[3]，例如GAMZT、TopADJ、天寶Trimble Geomatics Offic等。這些軟件能夠處理各種網(wǎng)型，功能較強、操作簡單。在GPS網(wǎng)平差中會遇到不同的平差處理問題，特別是隨著站點數(shù)目的增加，實現(xiàn)平差方程的自動列寫、自動解算和提高大量數(shù)據(jù)的處理效率變得尤為困難與重要。因此，本文針對GPS網(wǎng)平差數(shù)據(jù)特點，采用矩陣壓縮法存儲矩陣和Cholesky分解法解算法方程，實現(xiàn)了GPS網(wǎng)平差的自動列寫、自動解算。

1GPS網(wǎng)平差的數(shù)學模型

GPS網(wǎng)平差模型[4-6]主要有無約束平差和約束平差兩種平差模型。

1.13維無約束平差

GPS網(wǎng)無約束平差在只引入1個位置基準時，平差所得到的GPS網(wǎng)的精度指標常被作為衡量GPS網(wǎng)內符合精度的指標；同時通過GPS網(wǎng)平差所反映的觀測值的質量，又被作為判斷粗差觀測值及其相應處理的依據(jù)。

(1)

式中：

如果GPS網(wǎng)共有n個點，通過觀測共得到m條獨立基線向量，可將總的誤差方程寫為

(2)

引入起算基準的方法一般有2種，本文采用的方法是以GPS網(wǎng)中1個點的地心坐標為起算基準，即可有1個起算方程為

(3)

式中

(4)

1.23維約束平差

GPS網(wǎng)約束平差引入了會使GPS網(wǎng)的尺度和方位發(fā)生變化的外部起算數(shù)據(jù)。GPS網(wǎng)的約束平差常被用于確定GPS網(wǎng)中點在指定參照系下的坐標，主要方法有2種：第1種方法是利用已知參心坐標，計算參心系到地心系的轉換關系，將已知的參心坐標系轉換到地心坐標系下，然后在地心系下進行約束平差，最后將平差結果轉換到參心坐標系；第2種方法是建立包含地心系到參心系下坐標參數(shù)在內的統(tǒng)一函數(shù)模型，平差后可直接得出待定點在參心系下的坐標。本文采用第2種方法。對于1個由n個點、m條基線向量構成的GPS網(wǎng)，其總的誤差方程同式(2)。

一般參心坐標系下使用坐標、邊長和方位作為約束條件。本文僅提供考慮坐標約束條件的基準方程，若有l(wèi)個已知點坐標作為約束條件，則有約束方程

(5)

式中：

(6)

(7)

上述2種平差模型基線向量的觀測值權陣，通常都是由基線解算時得出各基線向量的方差-協(xié)方差陣來確定。根據(jù)基線向量解算模式，確定最終參與計算的方差-協(xié)方差陣。針對單基線解算模式，其權陣為

P=D-1。

(8)

式中

(9)

其中dm為相應基線的方差-協(xié)方差陣。

根據(jù)式(2)、式(3)和式(5)，按照最小二乘原理進行平差計算，得到平差結果為

(10)

待定點坐標參數(shù)估值為

(11)

根據(jù)平差結果進行精度評定，3維無約束平差中觀測值的單位權中誤差為

(12)

3維約束平差中觀測值的單位權中誤差為

(13)

2平差實現(xiàn)及處理方法

平差解算的流程如圖1所示，首先根據(jù)基線解算結果得到站點坐標和基線向量的統(tǒng)計信息；然后選取作為網(wǎng)平差時的基線向量并利用其估值進行3維無約束網(wǎng)平差，根據(jù)平差結果剔除粗差，評定網(wǎng)精度確定最終參與無約束網(wǎng)平差的基線向量[7]；最后利用所確定的基線向量組成觀測方程，利用已知點形成的限制條件方程進行3維約束網(wǎng)平差，求得待定參數(shù)的估值和觀測值的平差值、觀測值的改正數(shù)以及相應的精度統(tǒng)計信息。

圖1　平差解算流程圖

本文在平差過程中使用壓縮存儲法與Cholesky分解法分別對矩陣和法方程進行處理，以達到節(jié)省內存空間，加快數(shù)據(jù)處理效率的結果。

2.1對稱矩陣壓縮存儲

對稱矩陣，一般只需存儲上三角就可以，在實際計算中可以復現(xiàn)為標準的矩陣?？紤]到GPS網(wǎng)平差中方差-協(xié)方差陣為對稱正定矩陣以及誤差方程系數(shù)陣分塊對稱的特點，使用如下存儲方法，以3階對稱矩陣為例

(14)

存儲時，可按照向量格式存儲為

(15)

此方法同規(guī)范Hadamard矩陣的壓縮存儲方式類似，在極限情況下，采用此種存儲方法對稱矩陣可節(jié)省50%的存儲空間[8]。

2.2Cholesky分解法求解法方程

Cholesky分解法又叫平方根法，是求解對稱正定線性方程組最常用的方法之一?；驹頌閷⒎ǚ匠痰膶ΨQ正定系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣以及它的共軛轉置矩陣的乘積，這樣僅通過行變換、列變換就可以解法方程。

由于法方程系數(shù)陣一般是對稱正定矩陣，所以使用Cholesky分解法不用求逆就可以解法方程。

3算例分析

3.1數(shù)據(jù)概述

本實驗所用數(shù)據(jù)為2011-03-31 18時至2011-03-31 18時美國CORS網(wǎng)7個站連續(xù)記錄的導航文件和觀測文件，使用HGO軟件[9-10]對這7個站的數(shù)據(jù)進行處理，得到了這個時間段7個測站的站坐標文件以及基線向量文件，測區(qū)如圖2所示，本測區(qū)位于美國舊金山附近，使用源坐標WGS84，使用源橢球WGS84，無橢球轉換參數(shù)。

圖2　實驗測試測區(qū)示意圖

3.2方法分析

1)在GPS網(wǎng)平差中，由于數(shù)據(jù)量較大，占用大量內存空間使得計算效率低，同時考慮到方差-協(xié)方差陣對稱和誤差方程系數(shù)陣分塊對稱的特點，本文采用的矩陣壓縮存儲法與常規(guī)矩陣存儲方法相比，節(jié)省了內存空間，提高了運算效率。

本實驗無約束網(wǎng)平差中系數(shù)陣是對角線元素全為-1的單位陣，只需要存儲對角線數(shù)值，約束網(wǎng)平差中將系數(shù)陣作為分塊對稱矩陣進行存儲，方差-協(xié)方差陣全部壓縮存儲，壓縮存儲前后數(shù)據(jù)占用內存單元見表1。

表1　壓縮存儲結果分析表

2)GPS網(wǎng)平差中一般使用求逆法與LU分解法求解法方程。求逆法不僅效率低，而且當數(shù)據(jù)量過大時會導致求逆結果不穩(wěn)定；LU分解法是將系數(shù)矩陣分解為一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積，直接通過行變換與列變換就可以直接解法方程，克服了求逆法的缺點。但考慮到GPS網(wǎng)平差中法方程系數(shù)陣對稱正定的特點，本文采用Cholesky分解法只需要將法方程系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣以及它的共軛轉置矩陣的乘積，這種方法較普通的LU分解差不多快一倍[11]。

本實驗在無約束網(wǎng)平差與約束網(wǎng)平差求解法方程中均采用了Cholesky分解法進行解算，提高了解算速度。

3.3結果分析

在3維無約束平差中以點DP1A坐標為起算數(shù)據(jù)，平差后得到21條基線向量的信息。由于數(shù)據(jù)過多，本文只選取其中7條基線向量的改正數(shù)及中誤差等信息，如表2所示。

表2　3維無約束平差后基線向量改正數(shù)及中誤差等信息分析表

根據(jù)GB/T18314—2009的要求，對21條基線進行殘差檢驗，結果如圖3所示。

圖3　無約束平差殘差分析圖

圖3中橫坐標代表參與無約束平差的基線向量個數(shù)。由圖3可知，無約束平差基線向量改正數(shù)的絕對值滿足要求

(16)

由式(16)可知21條基線向量可全部用于約束平差。

約束平差中引入點DP1A、DP2A、DP3A 3點的坐標為約束條件，約束平差后得到21條基線向量的信息；由于數(shù)據(jù)過多，同樣只選取其中7條基線向量的改正數(shù)及中誤差等信息，如表3所示。

表3　3維約束平差后基線向量改正數(shù)及中誤差等信息分析表

根據(jù)GB/T18314—2009要求，對21條基線進行殘差檢驗，結果如圖4所示。

圖4　約束平差殘差分析圖

圖4中橫坐標代表參與約束平差的基線向量個數(shù)。約束平差中，基線分量改正數(shù)經(jīng)過粗差剔除后的無約束平差的同一基線相應改正數(shù)較差的絕對值滿足要求

(17)

式(17)證明作為約束的已知點坐標不存在誤差較大的值。

4結束語

本文針對GPS網(wǎng)平差數(shù)據(jù)的特點進行了解算方式的改進，實現(xiàn)了同步環(huán)的自動構建并完成了網(wǎng)平差，評定了觀測值精度，達到了壓縮內存、快速解算的效果；但是在規(guī)模較大、系統(tǒng)誤差復雜的GPS網(wǎng)整體平差中仍然有許多問題需要研究，例如觀測量的選取，網(wǎng)形的構建等都值得進一步探究。

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Automatic establishment and realization of GPS net adjustment equation

HONG Ju1，ZHAO Kai1，LI Jintao1，WANG Shengli2，SHI Bo1

(1.College of Geomatics，Shandong University of Science and Technology，Shandong Qingdao 266590，China；2.Institute of Ocean Engineering，Shandong University of Science and Technology，Shandong Qingdao 266590，China)

Abstract：In view of the difficulty of writing and the low computation efficiency of the equation caused by large amounts of data in GPS network adjustment，a method of the automatic establishment and quick realization of GPS net adjustment equation was presented in this paper.In the light of the characteristics of GPS net adjustment data，in order to save memory space and improve computation efficiency，the compression storage method and the Cholesky decomposition method were taken to store positive definite matrices and resolve normal equations in the specific applications of free adjustment and constraint adjustment.The result showed that the method compared with the conventional one could save memory space and improve computation efficiency greatly on the basis of rightly determining the coordinate of the midpoints of GPS network in the specified reference coordinate system,with matching the accuracy requirements of GB/T18314—2009 for constraint adjustment.

Keywords：adjustment of GPS network；free adjustment；constraint adjustment；automatic established equation；matrix compression storage；Cholesky decomposition method

收稿日期：2016-01-20

基金項目：海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室資助項目(2014B02，2015A01)。

第一作者簡介：洪菊(1994—)，女，山東濟南人，本科學歷，研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理。

中圖分類號：P228

文獻標志碼：A

文章編號：2095-4999(2016)02-0108-05

引文格式：洪菊，趙凱，李金濤，等.GPS網(wǎng)平差方程的自動列寫及實現(xiàn)[J].導航定位學報，2016，4(2)：108-112.(HONG Ju，ZHAO Kai，LI Jintao，et al.Automatic establishment and realization of GPS net adjustment equation[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(2)：108-112.)DOI：10.16547/j.cnki.10-1096.20160223.