苑慧芳， 林　鵬

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

基于AIC的組合預(yù)測(cè)方法在地區(qū)GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

苑慧芳， 林鵬

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

摘要：在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中，自回歸移動(dòng)平均模型有著廣泛的應(yīng)用，組合預(yù)測(cè)可以有效提高模型的預(yù)測(cè)效果，尤其在實(shí)證分析中，模型在各時(shí)期的特性并不保持完全一致，更表明了組合預(yù)測(cè)的必要性，因此如何設(shè)置權(quán)重，進(jìn)行有效的組合預(yù)測(cè)便成為了關(guān)注的問(wèn)題.提出了一種基于赤池信息量準(zhǔn)則(AIC)設(shè)置權(quán)重，進(jìn)行向前一步組合預(yù)測(cè)的方法，采用擬合誤差指標(biāo)作為預(yù)測(cè)方法優(yōu)劣的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，與傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法及常用組合預(yù)測(cè)方法做出對(duì)比，對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行全方位的綜合性評(píng)價(jià)，并運(yùn)用實(shí)例說(shuō)明基于AIC的組合預(yù)測(cè)方法的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞：自回歸移動(dòng)平均模型； 赤池信息準(zhǔn)則； 組合預(yù)測(cè)； 擬合誤差指標(biāo)

自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型是常用的時(shí)間序列模型，在經(jīng)濟(jì)管理、工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，特別是短期預(yù)測(cè)效果較好.在運(yùn)用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，首先應(yīng)該判斷一組隨機(jī)變量序列或者通過(guò)一系列變換后的隨機(jī)變量序列是否適合建立時(shí)間序列模型.如果不適合建立時(shí)間序列模型，可以選擇其他的建模方法進(jìn)行預(yù)測(cè).如果能夠建立時(shí)間序列模型，可以通過(guò)模型識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、診斷檢驗(yàn)等步驟確定幾個(gè)候選模型，再分別對(duì)候選模型進(jìn)行普通預(yù)測(cè)和不同方式的組合預(yù)測(cè)，通過(guò)擬合誤差的指標(biāo)來(lái)對(duì)比不同方法的組合預(yù)測(cè)的效果與普通預(yù)測(cè)的效果，從而綜合評(píng)價(jià)各方法的優(yōu)劣.

赤池信息準(zhǔn)則(AIC)是赤池弘次(H.Akaike)在研究信息論特別在解決時(shí)間序列定階問(wèn)題中提出來(lái)的，作為模型定階的一種準(zhǔn)則，此準(zhǔn)則在組合預(yù)測(cè)中，對(duì)于權(quán)重的設(shè)置起到至關(guān)重要的作用.對(duì)于實(shí)證研究，本文將利用山東省1975-2013年地區(qū)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)(保留2014年真實(shí)的地區(qū)生產(chǎn)總值)建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，?duì)2014年地區(qū)生產(chǎn)總值進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)一步說(shuō)明基于AIC的組合預(yù)測(cè)過(guò)程及其優(yōu)越性.

1預(yù)測(cè)方法

對(duì)于時(shí)間序列模型，普通的預(yù)測(cè)方法是根據(jù)最佳線性預(yù)測(cè)性質(zhì)，以條件期望代替預(yù)測(cè)值，而組合預(yù)測(cè)方法則是根據(jù)設(shè)置的權(quán)重對(duì)候選模型加權(quán)平均.

1.1一般預(yù)測(cè)方法

針對(duì)ARMA模型，以及求和的ARIMA模型均可根據(jù)最佳線性預(yù)測(cè)的性質(zhì)用條件期望代替預(yù)測(cè)值進(jìn)行模型預(yù)測(cè).

1.1.1ARMA(p,d,q)模型的預(yù)測(cè)

1.1.2ARIMA(p,d,q)模型的預(yù)測(cè)

A(β)(1-β)dxt=B(β)εt,εt～WN(0,σ2),t∈Ν,

則yt=(1-β)dxt,t=d+1,d+2,…,n,滿足ARMA(p,q)模型.

1.2組合預(yù)測(cè)方法

組合預(yù)測(cè)方法是根據(jù)各候選模型的預(yù)測(cè)值適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均，用以提高模型預(yù)測(cè)效果所做的預(yù)測(cè)方法，其核心是各候選模型權(quán)重的設(shè)置.

一般情況下，按權(quán)重設(shè)置方法不同，組合預(yù)測(cè)方法會(huì)分為固定權(quán)重系數(shù)組合預(yù)測(cè)法和變權(quán)系數(shù)組合預(yù)測(cè)法兩大類.對(duì)于固定權(quán)重系數(shù)組合預(yù)測(cè)法，權(quán)重通常根據(jù)候選模型的個(gè)數(shù)確定；對(duì)于變權(quán)系數(shù)組合預(yù)測(cè)法，權(quán)重通常會(huì)根據(jù)模型預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差、模型誤差平方和、模型預(yù)測(cè)方差等指標(biāo)來(lái)確定.

1.2.1固定權(quán)重系數(shù)組合預(yù)測(cè)法

此方法主要根據(jù)候選模型的個(gè)數(shù)來(lái)確定權(quán)重，各候選模型的權(quán)重[3]為

1.2.2變權(quán)系數(shù)組合預(yù)測(cè)法

(1)標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)選組合預(yù)測(cè)法

權(quán)重通常根據(jù)模型預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)設(shè)置，各模型的權(quán)重[4]為

其中σi表示候選模型mi的預(yù)測(cè)誤差的的標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)殘差倒數(shù)法

權(quán)重通常根據(jù)模型誤差平方和來(lái)設(shè)置，各模型的權(quán)重[5]為

其中si表示候選模型mi的誤差平方和.

(3)方差倒數(shù)法

權(quán)重通常根據(jù)模型的預(yù)測(cè)方差來(lái)設(shè)置，各模型的權(quán)重[3]為

其中Di表示候選模型mi的預(yù)測(cè)方差.

(4)基于AIC的組合預(yù)測(cè)法

①權(quán)重通常根據(jù)模型的AIC值來(lái)設(shè)置，各模型的權(quán)重[6]為

②權(quán)重通常根據(jù)模型的AICi/2值來(lái)設(shè)置，各模型的權(quán)重[6]為

其中AICi表示候選模型mi的AIC值.

2模型預(yù)測(cè)優(yōu)劣的判定方法

當(dāng)存在多種侯選模型時(shí)，普通預(yù)測(cè)的結(jié)果往往與組合預(yù)測(cè)的結(jié)果有一定的差異，至于哪種預(yù)測(cè)方法有較好的預(yù)測(cè)效果，往往會(huì)通過(guò)擬合誤差指標(biāo)[7-8]來(lái)判斷預(yù)測(cè)效果的優(yōu)劣.

(4)平均絕對(duì)百分比誤差

(5)均方百分比誤差

以上五種指標(biāo)越小說(shuō)明候選模型預(yù)測(cè)效果越好.

(6)預(yù)測(cè)的有效度

預(yù)測(cè)有效度[9]作為模型優(yōu)劣的主要判別指標(biāo)，即對(duì)預(yù)測(cè)精度進(jìn)行加權(quán)平均的一種指標(biāo).

①預(yù)測(cè)相對(duì)誤差

②預(yù)測(cè)精度

③預(yù)測(cè)有效度

3實(shí)例分析

以山東省1975年-2014年地區(qū)生產(chǎn)總值[9]建立時(shí)間序列模型，基于AIC準(zhǔn)則，進(jìn)行組合預(yù)測(cè)，本文只采用了1975年-2013年的數(shù)據(jù)，保留2014年的地區(qū)生產(chǎn)總值(53426.9億元)，借助于Eviews軟件建立合適的模型，預(yù)測(cè)2014年的地區(qū)生產(chǎn)總值，并根據(jù)預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)對(duì)比不同組合預(yù)測(cè)方法與普通預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)效果.

3.1平穩(wěn)性檢驗(yàn)

平穩(wěn)性檢驗(yàn)是時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，有時(shí)序列并非平穩(wěn)，就需要對(duì)序列進(jìn)行一系列的變換，使之成為平穩(wěn)序列，再進(jìn)行建模.有關(guān)數(shù)據(jù)錄入及平穩(wěn)性檢驗(yàn)過(guò)程可分以下幾步完成.

(1)將山東省1975年-2014年地區(qū)生產(chǎn)總值(單位：億元)記為序列{xt}，其中t為年份，且t=1975,1976…2013.并將數(shù)據(jù)錄入軟件，作時(shí)序圖，初步觀察序列的平穩(wěn)性，通過(guò)觀察{xt}的時(shí)序圖(圖1)，可知該序列呈現(xiàn)指數(shù)趨勢(shì)變動(dòng)，顯然序列是不平穩(wěn)的，

圖1　山東省1975年-2013年地區(qū)生產(chǎn)總值{xt}的時(shí)序圖

(2)為使序列趨于平穩(wěn)，首先將其對(duì)數(shù)化處理，記對(duì)數(shù)化后的序列為{log(x)t,t=1975,1976,…,2013}，由{log(x)t}的時(shí)序圖(圖2)，可知對(duì)數(shù)化的序列呈線性上升趨勢(shì)，故可對(duì)其進(jìn)行差分運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列.

圖2　對(duì)數(shù)化的地區(qū)生產(chǎn)總值{log(x)t}的時(shí)序圖

(3)對(duì)序列{log(x)t}進(jìn)行差分運(yùn)算，記一階差分后的序列為{yt,t=1975,1976,…,2013}，二階差分后的序列為{zt,t=1975,1976,…,2013}，一般若差分后的序列值在0±0.5之間變動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為序列平穩(wěn)，而一階差分與二階差分后的序列值均在此范圍內(nèi)，故可進(jìn)一步通過(guò)ADF檢驗(yàn)判斷序列的平穩(wěn)性，見(jiàn)表1.

表1 ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表

序列{yt}{zt}ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量-3.11345-6.16396p值0.03420.0001%水平t統(tǒng)計(jì)量-3.62102-3.626785%水平t統(tǒng)計(jì)量-2.94343-2.9458410%水平t統(tǒng)計(jì)量-2.61026-2.61153

由ADF檢驗(yàn)結(jié)果可知在顯著水平為0.01的條件下，二階差分后的序列拒絕存在單位根的原假設(shè)，即此序列是平穩(wěn)的.

3.2模型識(shí)別

由于序列{zt}的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖可知偏自相關(guān)系數(shù)在5階之后是明顯截尾的，而自相關(guān)系數(shù)在滯后2階、5階和10階時(shí)落在2倍的標(biāo)準(zhǔn)差的邊緣，有待于進(jìn)行模型選擇.由自相關(guān)-偏自相關(guān)系數(shù)，可對(duì){zt}嘗試建立幾種不同的模型擬合，如ARMA(5,2),ARMA(5,3) ,ARMA(5,4)等，通過(guò)模型系數(shù)顯著性(若統(tǒng)計(jì)量的P值小于顯著水平0.05，則認(rèn)為系數(shù)在此水平下是顯著的)檢驗(yàn)初步認(rèn)為以下幾種模型比較適合，模型的一些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)見(jiàn)表2.

3.3模型診斷檢驗(yàn)

模型診斷性檢驗(yàn)實(shí)際是檢驗(yàn)殘差序列是否為平穩(wěn)的白噪聲序列，若DW統(tǒng)計(jì)量在2附近，殘差不存在一階自相關(guān)，而ARMA(2,2)模型與ARMA(3,3)模型DW統(tǒng)計(jì)量明顯小于2，故不能作為候選模型，還需要對(duì)殘差做進(jìn)一步分析，即通過(guò)自相關(guān)與偏自相關(guān)圖檢驗(yàn)，通過(guò)觀察自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)圖可知ARMA(2,3)模型殘差存在自相關(guān)，也不能作為候選模型，因此候選模型共有5個(gè)，分別是ARMA(2,5)模型，ARMA(4,2)模型，ARMA(4,3)模型，ARMA(5,2)模型，ARMA(5,7)模型.其中ARMA(5,7)模型相關(guān)系數(shù)最大，相對(duì)而言，可初步認(rèn)為ARMA(5,7)模型擬合效果最好，具體判斷還要根據(jù)模型優(yōu)劣判別的幾項(xiàng)指標(biāo)，ARMA(5,7)模型擬合效果圖如圖3所示.

表2各候選模型部分指標(biāo)值表

模型殘差標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)系數(shù)誤差平方和AIC值DW統(tǒng)計(jì)量ARMA(2,2)0.04360.38100.0570-3.29681.6583ARMA(2,3)0.04530.35440.0594-3.19761.8721ARMA(2,5)0.03900.55400.0411-3.45322.0332ARMA(3,3)0.45070.55060.0411-3.46861.5556ARMA(4,2)0.04270.47750.0469-3.29421.9180ARMA(4,3)0.04250.49640.0452-3.27031.9379ARMA(5,2)0.04450.46700.0475-3.17402.0044ARMA(5,7)0.03710.70630.0262-3.45732.0626

圖3　ARMA(5,7)模型擬合效果圖

3.4模型預(yù)測(cè)及預(yù)測(cè)效果的比較

所謂模型預(yù)測(cè)，即在確立了候選模型后，根據(jù)往期的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)某一期或是某幾期的數(shù)據(jù)，在普通的預(yù)測(cè)方法的基礎(chǔ)上，還會(huì)嘗試多種組合預(yù)測(cè)方法，然后運(yùn)用擬合誤差指標(biāo)比較普通預(yù)測(cè)方法與組合預(yù)測(cè)方法的優(yōu)劣.

3.4.1各單項(xiàng)候選模型普通預(yù)測(cè)方法效果比較

Eviews軟件中采用一般的模型預(yù)測(cè)方法，以條件期望來(lái)代替預(yù)測(cè)值，而序列{log(x)t}經(jīng)過(guò)二階差分后為自回歸移動(dòng)平均模型，故{log(x)t}為ARIMA(p,d,q)模型，其中d為2，由模型診斷性檢驗(yàn)，對(duì)于序列{log(x)t}可得候選模型：ARIMA(2,2,5)模型，ARIMA(4,2,2)模型，ARIMA(4,2,3)模型，ARIMA(5,2,2)模型和ARIMA(5,2,7)模型.由1.1.2節(jié)涉及的公式及運(yùn)行結(jié)果，可通過(guò)模型的誤差擬合指標(biāo)對(duì)比這五種候選模型的預(yù)測(cè)效果見(jiàn)表3.

表3候選模型的普通預(yù)測(cè)方法所得誤差擬合指標(biāo)

候選模型擬合指標(biāo)ARIMA(2,2,5)ARIMA(4,2,2)ARIMA(4,2,3)ARIMA(5,2,2)ARIMA(5,2,7)SSE8804926938380617724168805248160377679713174877248121301MAE46360.6145503.2045436.4845029.8045109.71MSE8242.538350.968346.157702.878422.29MAPE42.9032.1732.1927.8327.79MSPE12.799.669.698.448.41預(yù)測(cè)有效度0.1158639010.1227476620.1232294080.1268307380.126840115

其中ARIMA(5,2,7)模型與ARIMA(5,2,2)模型的各擬合誤差指標(biāo)相對(duì)于其他單項(xiàng)候選模型而言較小，而ARIMA(5,2,7)模型SSE、MAE、MSE比ARIMA(5,2,2)模型小，ARIMA(5,2,7)模型MAPE、MSPE比ARIMA(5,2,2)模型大，通過(guò)這幾個(gè)普通的模型優(yōu)劣判別指標(biāo)難以判斷這兩個(gè)模型哪個(gè)模型是最好的，故可通過(guò)預(yù)測(cè)有效度進(jìn)一步判斷模型的預(yù)測(cè)效果，ARIMA(5,2,7)模型預(yù)測(cè)有效度預(yù)測(cè)有效度最大，可認(rèn)為ARIMA(5,2,7)模型相對(duì)于其他幾個(gè)候選模型是最好的，這與前面模型診斷性檢驗(yàn)中的初步結(jié)論相吻合.

3.4.2基于AIC的組合預(yù)測(cè)方法與其他組合預(yù)測(cè)方法效果比較

近年來(lái)，組合預(yù)測(cè)方法廣泛應(yīng)用于短期經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，可以有效減少預(yù)測(cè)的系統(tǒng)誤差，改進(jìn)預(yù)測(cè)效果，基于AIC的組合預(yù)測(cè)方法效果，同樣也要通過(guò)一些擬合誤差指標(biāo)來(lái)衡量，見(jiàn)如表4.

表4各組合預(yù)測(cè)方法所得模型擬合誤差指標(biāo)

組合預(yù)測(cè)方式擬合指標(biāo)等權(quán)權(quán)重誤差標(biāo)準(zhǔn)差權(quán)重方差權(quán)重殘差倒數(shù)權(quán)重AIC①權(quán)重AIC②權(quán)重SSE7.69E+102.92E+137.6950E+107.6951E+107.6952E+107.6946E+10MAE45941.899.4095E+545041.9645042.2645042.8145040.38MSE8405.9751.6385E+58406.00148406.07378406.09878405.7770MAPE27.8217460.148927.822327.823227.820627.8236MSPE8.4225136.27948.422888.42358.42178.4239預(yù)測(cè)有效度0.1268900.126940.126950.126970.12694

通過(guò)各組合模型預(yù)測(cè)方法的指標(biāo)與ARIMA(5,2,7)模型的指標(biāo)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)誤差標(biāo)準(zhǔn)差權(quán)重組合預(yù)測(cè)方法效果最差，甚至還不如普通的候選模型預(yù)測(cè)方法；其他的組合預(yù)測(cè)方法比普通的預(yù)測(cè)方法有所改進(jìn)，預(yù)測(cè)有效度由高到低分別為基于AIC所做的組合預(yù)測(cè)法、殘差倒數(shù)權(quán)重組合預(yù)測(cè)法、方差權(quán)重組合預(yù)測(cè)法、等權(quán)權(quán)重組合預(yù)測(cè)法，其中兩種基于AIC所做的組合預(yù)測(cè)法中，第①種方法預(yù)測(cè)有效度較大，而且要比殘差倒數(shù)權(quán)重組合預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)有效度大，相對(duì)而言，基于AIC所做的組合預(yù)測(cè)法是比較好的.

4結(jié)束語(yǔ)

模型的組合預(yù)測(cè)方法是對(duì)傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法的一種推廣，在一定程度上雖然可以提高預(yù)測(cè)的效果，極大限度利用預(yù)測(cè)樣本的信息，但是自身存在一定的局限性，比較適用于短期的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型.并非所有的平穩(wěn)序列都可以做組合預(yù)測(cè)，要根據(jù)實(shí)際情況而確定，如果候選模型的預(yù)測(cè)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于組合預(yù)測(cè)的效果，那么組合預(yù)測(cè)也就失去了優(yōu)越性，就需要尋找其他的方法來(lái)提高預(yù)測(cè)有效度.而無(wú)論采用何種新的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，都要根據(jù)模型優(yōu)劣判別指標(biāo)如SSE、MSE、MSPE、預(yù)測(cè)有效度等來(lái)驗(yàn)證預(yù)測(cè)效果是否得到改進(jìn)，進(jìn)而確定是否要采用新的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)?；贏IC的組合預(yù)測(cè)方法，雖然在一定程度上提高了預(yù)測(cè)效果，但是相對(duì)于某些預(yù)測(cè)方法來(lái)說(shuō)并非最優(yōu)，實(shí)際中也要不斷的嘗試新的方法來(lái)改進(jìn)預(yù)測(cè)效果，最終找到合適的方法進(jìn)行預(yù)測(cè).

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(編輯：劉寶江)

The application of forecast combination based on AIC in the regional GDP

YUAN Hui-fang, Lin Peng

(School of Science, Shangdong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:In the sphere of economic and management, ARMA model(the auto-regressive and moving average model) has been widely used. Forecast combination can effectively improve the results of prediction, so how to use them has became our concern. In this paper, we can use the methods of combined forecast to set weight based on the Akaike Criterion (AIC). Using fitting error indicators as criteria to make a comparison of the predicted effects, so we can make a full range of comprehensive evaluation, and use examples to illustrate the superiority of forecast combination.

Key words:ARMA model； AIC; forecast combination； fitting error indicators

收稿日期：2015-08-04

作者簡(jiǎn)介：苑慧芳,女,tongjiyuanhuifang@126.com; 通信作者： 林鵬,男,mathlinpeng@163.com

文章編號(hào)：1672-6197(2016)05-0064-05

中圖分類號(hào)：O211.61

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A