吳愛娟,賈魯軍

(1.北京工商大學　嘉華學院,北京　101118；2.中國人民大學　信息學院,北京　100872)

對商務統(tǒng)計教學內容改革的幾點嘗試

吳愛娟1,賈魯軍2

(1.北京工商大學嘉華學院,北京101118；2.中國人民大學信息學院,北京100872)

[摘要]對于推斷統(tǒng)計部分的學習,數(shù)學基礎薄弱的商科學生往往感到困難,講授《商務統(tǒng)計》的主要精力放在知識和應用的結合上,目的是更有效地闡述統(tǒng)計學特有的方法論和解釋數(shù)據(jù)的能力。根據(jù)經管類學生的數(shù)理基礎較薄弱的特點,我們重于統(tǒng)計學的通識教育,側重講思想、原則和基本計算,不追求嚴謹,內容上刪繁求簡。文章通過兩個教學案例來闡述教學思想。

[關鍵詞]推斷統(tǒng)計；連續(xù)型隨機變量；密度函數(shù)；面積；區(qū)間估計；抽樣誤差

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.14.142

1背景

現(xiàn)代商務統(tǒng)計是搜集、整理、分析現(xiàn)代商務活動信息資料的理論和方法。這些理論和方法主要包含在描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計中。

希望通過本課程的學習,使學生對統(tǒng)計學的學科體系有一個全面的認識,為學習后續(xù)課程作好鋪墊；能明確理解統(tǒng)計這個認識工具的特點、作用；弄懂各種概念、范疇等基本知識；會分析社會經濟現(xiàn)象和現(xiàn)代商業(yè)事務的一些具體事例；在今后的工作中,能將統(tǒng)計學的知識貫穿其中。

對于推斷統(tǒng)計部分的學習,數(shù)學基礎薄弱的商科學生往往感到困難,其原因大致有這么幾點：概率統(tǒng)計知識基礎不扎實或者沒有先修概率統(tǒng)計課程；推斷統(tǒng)計中的一些結論、公式的推導抽象；推斷統(tǒng)計中的一些思想理解不透徹；推斷統(tǒng)計結果不會解讀。

講授《商務統(tǒng)計》的主要精力放在知識和應用的結合上,目的是更有效地闡述統(tǒng)計學特有的方法論和解釋數(shù)據(jù)的能力。根據(jù)經管類學生的數(shù)理基礎較薄弱的特點,應重于統(tǒng)計學的通識教育,側重講思想、原則和基本計算,不追求嚴謹,內容上刪繁求簡。

2兩點嘗試

(1)對于財經類學生,若概率統(tǒng)計基礎知識不扎實或者沒有先修概率統(tǒng)計課程的話,在學習商務統(tǒng)計時,還是要加上概率論基礎這一章節(jié)的。學生學習時感到困難的是連續(xù)型隨機變量,以往的講解內容是先介紹分布函數(shù),然后結合積分給出密度函數(shù)及連續(xù)變量的概念,單單是積分、求導就把數(shù)理基礎薄弱的學生嚇到了。這部分內容如何講解會淺顯易懂呢？

對于離散型隨機變量,文章介紹了利用概率函數(shù)(分布律)來求其取值的概率。區(qū)分離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量最根本的差異是如何計算其取值的概率,相應于離散型隨機變量的概率函數(shù),連續(xù)型隨機變量也有概率函數(shù),稱之為概率密度函數(shù),簡稱為密度函數(shù),記作f(x),不同的是密度函數(shù)不直接提供概率,而是,連續(xù)型隨機變量落在某個區(qū)間上的概率等于該區(qū)間上其密度曲線與x軸圍成的圖形面積。這句話用符號可作如下簡潔敘述：

設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),y=f(x)與x=a, x=b, x軸圍成的圖形面積為S,如下圖所示。

圖1　P{a≤X≤b}=S

因此,當我們計算連續(xù)型隨機變量取值的概率時,計算的是隨機變量的取值落在某個區(qū)間上的概率。

我們知道,在一點處f(x)與x軸圍成的圖形面積為0,所以,對連續(xù)型隨機變量取一值的概率為0。

下面將以均勻分布為例來闡述上述討論的正確性。

設隨機變量X表示飛機從北京到廣州的飛行時間,X在180分鐘與200分鐘之間隨機取值,因為X可能取值填滿區(qū)間[180, 200],故X是一連續(xù)型隨機變量。假設我們利用以往足夠多真實的飛行數(shù)據(jù)推斷出在180～200分鐘的時間區(qū)間中,飛行時間落在任何一個間隔為1分鐘的區(qū)間內的概率與落在其他任何一個間隔為1分鐘的區(qū)間內的概率是相等的。在X落在間隔為1分鐘的區(qū)間內是同等可能的條件下,X被稱為是一個均勻概率分布。

對飛行時間這個隨機變量X定義一個均勻分布的概率密度函數(shù)：

圖2是f(x)的圖像。

圖2　f(x)的圖像

前面討論過,對一個連續(xù)型隨機變量,只考慮其落在某個區(qū)間上的概率,故在本例中可問：飛行時間X落在180～190分鐘之間的概率是多少？即P{180≤X≤190}=?

因為飛行時間必須落在180～200分鐘,且在這區(qū)間上概率是均勻分布的,則易得P{180≤X≤190}=0.5。

一般地,若一個隨機變量X有密度函數(shù)：

則稱隨機變量X服從[a, b]上的均勻分布。

注意到,在前面飛行時間例子中,P{180≤X≤200}=1,這就是說,密度曲線f(x)與x軸圍成的圖形面積為1,這一性質對所有連續(xù)概率分布都成立。顯然,這和離散型概率分布的所有概率和為1是類似的。同樣地,與離散型概率分布中每一取值的概率都非負相類似的有連續(xù)型概率分布的密度函數(shù)f(x)≥0, (x∈R)。

到此,對于連續(xù)型概率分布和離散型概率分布的兩個主要差異已顯現(xiàn)出來：

(1)對于連續(xù)型隨機變量,我們不再討論隨機變量取特定值的概率,而是討論其取值落在某區(qū)間上的概率。

(2)連續(xù)型隨機變量X的取值落在x1與x2之間的概率等于其密度曲線f(x)在x1與x2之間與x軸圍成的圖形面積。因為單個點是區(qū)間長度為0的區(qū)間,所以一個連續(xù)型隨機變量取一特定值的概率為0,這也意味著：

P{x1≤X≤x2}=P{x1≤X

接下來有關正態(tài)分布和指數(shù)分布,就可以繼續(xù)利用面積或者查表來討論其取值的統(tǒng)計規(guī)律性,從而避開了學生的難處：積分。

(3)對于總體分布中未知參數(shù)θ的區(qū)間估計的講解,傳統(tǒng)、嚴格的做法盡管嚴謹,但是對于概率統(tǒng)計知識薄弱的財經類學生來說有困難：一是一些抽象的抽樣分布他們掌握不好更不會拿來用；二是不會解讀其區(qū)間估計的結果。為此,我們課堂上做了如下嘗試。

以正態(tài)總體(方差未知)均值的區(qū)間估計為例來介紹。

如何理解上面的48～88分這個置信區(qū)間呢？這個區(qū)間包含未知的總體均值的真值嗎？對于一個特定的區(qū)間,這個問題是無法回答的,這是因為總體的參數(shù)值是固定的、未知的。我們能做的就是希望未知的總體參數(shù)均值落在此區(qū)間中。若再抽取另一個樣本,那么它將會產生出一個多少不同的樣本均值和不同的區(qū)間估計,即使有許多不同的置信區(qū)間,我們仍希望這些區(qū)間都包含參數(shù)真值。統(tǒng)計學家有某種程度的信心認為這個區(qū)間會包含真正的固定的參數(shù)值,所以取名為置信區(qū)間。比如這個信心程度(置信水平)為95%,即指這些區(qū)間中的95%個包含了總體均值的真值,而5%沒有包含。也可以用其他數(shù)值作為置信水平,比如98%、99%等。

例如：某地區(qū)成年人睡眠時間服從正態(tài)分布,一項隨機抽樣調查得到16個成年人的睡眠時間數(shù)據(jù)(單位：小時)如下表所示：

16個成年人的睡眠時間數(shù)據(jù)

問：該地區(qū)成年人平均睡眠時間的置信水平為95%的置信區(qū)間,你怎么理解該區(qū)間？

解:設X=“某地區(qū)成年人睡眠時間”,則X～N(μ, σ2),σ2未知,對μ做置信水平為95%的置信區(qū)間。

可得到該地區(qū)成年人平均睡眠時間的置信水平為95%的置信區(qū)間(7.10,7.62)。

上述區(qū)間是在具體的一次抽樣下得到的,若這樣的抽樣重復抽取100次,就得到100個具體的置信區(qū)間,則在這100個置信區(qū)間中有95個包含待估參數(shù)μ。

參考文獻：

[1]張俊妮.數(shù)據(jù)挖掘與應用[M].北京：北京大學出版社,2009.

[2]王漢生.應用商務統(tǒng)計分析[M].北京：北京大學出版社,2008.

[3]雷奧奇·卡塞拉,羅杰L.貝耶.統(tǒng)計推斷[M].2版.北京：機械工業(yè)出版社,2002.

[4]吳愛娟.商務統(tǒng)計學[M].北京：知識產權出版社,2015.

[作者簡介]吳愛娟(1979—),女,漢族,山東菏澤人,碩士,講師。研究方向：概率統(tǒng)計。賈魯軍(1978—),男,漢族,山東菏澤人,博士,講師。研究方向：基礎數(shù)學(通訊作者)。