李廣春　戴吾蛟,2　曾凡河,2　劉　斌

1　中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長(zhǎng)沙市麓山南路932號(hào)，410083 2　湖南省精密工程測(cè)量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙市麓山南路932號(hào)， 410083

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三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型在地面沉降分析中的應(yīng)用

李廣春1戴吾蛟1,2曾凡河1,2劉斌1

1中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長(zhǎng)沙市麓山南路932號(hào)，410083 2湖南省精密工程測(cè)量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙市麓山南路932號(hào)， 410083

摘要：在趨勢(shì)面擬合模型的基礎(chǔ)上考慮時(shí)間項(xiàng)，建立三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型，并通過模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的適用性，最后對(duì)南沙地區(qū)GPS沉降監(jiān)測(cè)網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。結(jié)果表明，三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型可以反映區(qū)域沉降的整體時(shí)空變化趨勢(shì)，并具有良好的時(shí)空插值效果。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面擬合；地面沉降分析；時(shí)空插值

趨勢(shì)面擬合作為一種空間擬合插值方法已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用[1-5]。移動(dòng)趨勢(shì)面和多面函數(shù)方法是對(duì)常規(guī)趨勢(shì)面方法的改進(jìn)，其中移動(dòng)趨勢(shì)面方法需要確定移動(dòng)區(qū)域半徑，并且無法得到統(tǒng)一的模型[6]；多面函數(shù)方法依賴于核函數(shù)的選取和光滑因子的選定[7]。地面沉降過程是時(shí)空上的動(dòng)態(tài)過程，其分析需要同時(shí)考慮時(shí)間和空間特性。三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型是在空間趨勢(shì)面擬合的基礎(chǔ)上考慮時(shí)間項(xiàng)的趨勢(shì)面擬合模型。本文利用此模型對(duì)GPS沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析。

1三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面

三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面擬合模型是空間位置和時(shí)間的多項(xiàng)式函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為多元線性回歸模型，并利用最小二乘法估計(jì)參數(shù)。趨勢(shì)面通常把實(shí)際地面沉降分解為趨勢(shì)項(xiàng)和剩余項(xiàng)兩個(gè)部分[8]。

1.1三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面原理

三維趨勢(shì)面擬合在空間趨勢(shì)面擬合的基礎(chǔ)上加入時(shí)間向量構(gòu)造三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面，以反映地面沉降的時(shí)間和空間變化情況。其多項(xiàng)式形式為：

(1)

式中，αijk(i、j=0,1,…,m;k=0,1,…,p)為多項(xiàng)式的系數(shù)，(x,y)為點(diǎn)的平面坐標(biāo)，t為相應(yīng)數(shù)據(jù)的觀測(cè)時(shí)刻，ε為剩余項(xiàng)。對(duì)于沉降面比較簡(jiǎn)單的情況，平面坐標(biāo)的階次可以選用低階；對(duì)于較復(fù)雜的沉降面，可以選擇較高階，但平面階次的選擇還應(yīng)考慮平面采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

一般將式(1)作為多元線性回歸模型，利用最小二乘原理求解其系數(shù)。但式(1)中，各項(xiàng)的階次不同可能導(dǎo)致各項(xiàng)數(shù)值的數(shù)量級(jí)不同，在參數(shù)估計(jì)的過程中可能出現(xiàn)病態(tài)的情況。對(duì)式(1)中的各項(xiàng)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得：

(2)

式中，Zs為因變量標(biāo)準(zhǔn)化后的向量，Xs(i )為式(1)中各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)化后的向量，bs為標(biāo)準(zhǔn)化后對(duì)應(yīng)的多元線性回歸系數(shù)。

利用最小二乘原理，求標(biāo)準(zhǔn)化后的式(2)的各項(xiàng)系數(shù)，使

(3)

求解式(3)，得到式(2)多元回歸的系數(shù)：

(4)

1.2模型的顯著性檢驗(yàn)

趨勢(shì)面擬合模型只是一種假設(shè)統(tǒng)計(jì)模型，因此在求得模型參數(shù)后，需要對(duì)模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图澳Ｐ蛥?shù)的顯著性。

在線性回歸分析中，模型的整體顯著性檢驗(yàn)一般是通過構(gòu)建F統(tǒng)計(jì)量：

(5)

對(duì)模型的整體性檢驗(yàn)只能檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠耧@著。在模型顯著的情況下，并不能保證模型中每個(gè)參數(shù)都是顯著的，因此，還需要對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。構(gòu)建T統(tǒng)計(jì)量：

(6)

2模擬實(shí)驗(yàn)

為分析模型的適用性，生成4×4格網(wǎng)共16個(gè)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面，共500期數(shù)據(jù)。其中，4個(gè)頂點(diǎn)利用二次曲線得到，其余點(diǎn)的數(shù)據(jù)利用式(7)的反距離平方加權(quán)插值得到。對(duì)生成的趨勢(shì)面加入方差為1的隨機(jī)噪聲，得到最終的模擬數(shù)據(jù)：

(7)

取模擬數(shù)據(jù)中15個(gè)點(diǎn)的前400期數(shù)據(jù)參與動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面擬合，另外1個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目臻g預(yù)測(cè)效果。因模擬數(shù)據(jù)由二次曲線生成，模型的時(shí)間階數(shù)定為2。由于有15個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)參與擬合，因此擬合模型的空間階數(shù)最高為4階。通過對(duì)2階、3階和4階擬合模型的試算，確定空間階次為3時(shí)擬合模型最優(yōu)。

從圖1可以看出，動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面擬合模型對(duì)模擬數(shù)據(jù)擬合效果較好。圖2和圖3表明，模型對(duì)模擬數(shù)據(jù)時(shí)間和空間的預(yù)測(cè)曲線基本和模擬數(shù)據(jù)一致，但兩者還是存在一定的差別，可能是模擬數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲對(duì)建模過程的影響所致。圖4反映了模擬數(shù)據(jù)趨勢(shì)面的時(shí)空變化，圖中點(diǎn)表示模擬數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位。對(duì)加入方差為4的隨機(jī)噪聲的模擬數(shù)據(jù)建模結(jié)果與噪聲方差為1的模擬數(shù)據(jù)建模結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表1?？梢钥闯?，隨機(jī)噪聲的大小對(duì)模型建立有一定影響，隨機(jī)噪聲過大可能造成建模不準(zhǔn)確。

3實(shí)例分析

對(duì)南沙地區(qū)GPS地面沉降監(jiān)測(cè)網(wǎng)進(jìn)行分析。監(jiān)測(cè)網(wǎng)由4個(gè)雙頻監(jiān)測(cè)點(diǎn)和7個(gè)單頻監(jiān)測(cè)點(diǎn)組成，其中兩個(gè)雙頻監(jiān)測(cè)點(diǎn)布設(shè)在山頂?shù)膸r石及具有深基樁的房頂上，其余監(jiān)測(cè)點(diǎn)布設(shè)在地面或未有深基樁的房頂上。

選取監(jiān)測(cè)網(wǎng)中的GD01～GD11共11個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)2012-08-26～2013-08-26共366期的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其中觀測(cè)數(shù)據(jù)以GD05點(diǎn)為基準(zhǔn)解算得到。因GD11點(diǎn)的數(shù)據(jù)缺失較多，將其作為檢驗(yàn)點(diǎn)不參與擬合建模，選取其余10個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)前300期數(shù)據(jù)參與動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面擬合。首先利用3倍中誤差法剔除粗差，利用線性插值插補(bǔ)缺失值，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。建模過程中，以2012-08-01為時(shí)間起點(diǎn)，以a為單位，平面坐標(biāo)以GD05監(jiān)測(cè)點(diǎn)為基準(zhǔn)，以km為單位。

共有10個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)參與模型擬合，因此空間階次最高為3。通過對(duì)不同時(shí)間和空間階次模型的試算，對(duì)擬合的殘差中誤差進(jìn)行對(duì)比。由表2可知，空間階次為3、時(shí)間階次為1時(shí)，模型效果最優(yōu)。對(duì)此模型進(jìn)行擬合，通過F-檢驗(yàn)和T-檢驗(yàn)，得到最終的動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型為：

Z=9.165x-5.619y-16.9xt-5.14yt+

0.357xy+3.728x2t-0.2x3t+

0.755y2t-0.54y3t-1.979x2+

0.631x2yt+5.741xyt-0.009

(8)

通過模型(8)得到對(duì)沉降數(shù)據(jù)的擬合中誤差為5.24 mm。從圖5中GD09點(diǎn)的擬合效果可以看出，模型的擬合曲線處于觀測(cè)數(shù)據(jù)的中間位置，說明擬合效果較好，但由于觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在較大的噪聲，使得擬合中誤差較大。在模型的時(shí)間預(yù)測(cè)(外推)中，各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的平均預(yù)測(cè)中誤差為6.35 mm，對(duì)GD11點(diǎn)的空間預(yù)測(cè)中誤差為9.82 mm。從圖6和圖7中預(yù)測(cè)曲線與實(shí)際觀測(cè)值的比較可以發(fā)現(xiàn)，模型的預(yù)測(cè)值基本位于觀測(cè)數(shù)據(jù)序列的中間，說明得到的模型基本符合沉降變化的趨勢(shì)和規(guī)律。預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)精度較差，可能與觀測(cè)數(shù)據(jù)質(zhì)量較差有關(guān)。

圖8給出了模型2013-02-25擬合趨勢(shì)面的等值線圖?？梢钥闯?，各個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)與擬合趨勢(shì)面非常接近，但在監(jiān)測(cè)點(diǎn)控制區(qū)域外,趨勢(shì)面的變化較大。說明在監(jiān)測(cè)點(diǎn)的內(nèi)部，動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型可以很好地?cái)M合地表形變趨勢(shì)，但其空間外推能力較差。觀測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)噪聲較大，對(duì)所建模型也存在一定的影響。GD01和GD11點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)與趨勢(shì)面差別較大，可能是受觀測(cè)數(shù)據(jù)噪聲的影響，也有可能是區(qū)域中存在局部的趨勢(shì)特征，通過整體的趨勢(shì)擬合無法體現(xiàn),需要對(duì)其局部特征進(jìn)一步分析。

本文依次給出2012-12-03、2013-03-13、2013-06-21和2013-08-21時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空間擬合效果圖，見圖9?？梢钥闯觯诒O(jiān)測(cè)點(diǎn)的控制區(qū)域內(nèi)可以反映時(shí)空上的沉降變化趨勢(shì)。由于三維動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面是連續(xù)光滑曲面，在監(jiān)測(cè)點(diǎn)的控制區(qū)域之外，趨勢(shì)面并不能準(zhǔn)確反映其沉降趨勢(shì)。

4結(jié)語

動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型通過尋找地面沉降量與測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)和時(shí)間的關(guān)系，對(duì)區(qū)域地表形變的整體趨勢(shì)進(jìn)行擬合，得到地面沉降的時(shí)空變化趨勢(shì)。相對(duì)于單點(diǎn)的時(shí)間序列分析和趨勢(shì)面模型，其同時(shí)考慮區(qū)域的時(shí)空趨勢(shì)，建立了統(tǒng)一的模型。但動(dòng)態(tài)趨勢(shì)面模型是對(duì)區(qū)域的整體趨勢(shì)進(jìn)行擬合分析，不能體現(xiàn)區(qū)域的局部趨勢(shì)特征，而且模型只是得到了區(qū)域的整體趨勢(shì)部分，對(duì)剩余部分是否還存在一定的規(guī)律特征需要進(jìn)一步研究。

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Foundation support:National Key Basic Research Program of China, No. 2013CB733303；Fundamental Research Fund for Central South University,No.2015zzts252.

About the first author:LI Guangchun，postgraduate, majors in deformation monitoring and analysis,E-mail: 284853319@qq.com.

Application of Three-Dimensional Dynamic Trend Surface Fitting Model on Land Subsidence

LIGuangchun1DAIWujiao1,2ZENGFanhe1,2LIUBin1

1School of Geosciences and Info-Physics, Central South University,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China 2Key Laboratory of Precise Engineering Surveying & Deformation Disaster Monitoring of Hunan Province ,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China

Abstract:This article takes time of observation into account on trend surface fitting, as a dynamic trend surface fitting model. The land subsidence data from the GPS monitoring system of Nansha is analyzed using the dynamic trend surface model. Our results indicate that the model could reflect the overall tendency of the settlement and have good spatial interpolation effects.

Key words:dynamic trend surface fitting; land subsidence analysis; spatio-temporal interpolation

收稿日期：2015-06-30

第一作者簡(jiǎn)介：李廣春，碩士生，主要從事變形監(jiān)測(cè)與分析研究，E-mail：284853319@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.009

文章編號(hào)：1671-5942(2016)06-0508-05

中圖分類號(hào)：P258

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

項(xiàng)目來源：國(guó)家973計(jì)劃(2013CB733303)；中南大學(xué)研究生自主探索創(chuàng)新項(xiàng)目(2015zzts252)。