王亞男　 雷英杰　 雷　陽(yáng)　 范曉詩(shī)

(1空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 西安 710051)(2武警工程大學(xué)電子技術(shù)系, 西安 710086)

高階多元直覺(jué)模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型

王亞男1雷英杰1雷陽(yáng)2范曉詩(shī)1

(1空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 西安 710051)(2武警工程大學(xué)電子技術(shù)系, 西安 710086)

摘要:為了突破模糊集理論的限制,更客觀地描述不確定性數(shù)據(jù),提出一種高階多元直覺(jué)模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型．采用模糊聚類(lèi)算法劃分論域，并采用更具客觀性的方法建立直覺(jué)模糊集的隸屬度和非隸屬度函數(shù)．依據(jù)直覺(jué)模糊多維取式推理的原理建立基于相似度量的啟發(fā)式推理規(guī)則,作為高階多元模型的預(yù)測(cè)規(guī)則,并且建立相應(yīng)的解模糊方法．利用北京市日均氣溫?cái)?shù)據(jù)集進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明，該模型的預(yù)測(cè)均方誤差(0.86)和平均預(yù)測(cè)誤差(2.57%)較現(xiàn)有方法均明顯降低,預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型和普通直覺(jué)模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型．

關(guān)鍵詞:高階;多元;直覺(jué)模糊時(shí)間序列;直覺(jué)模糊多維取式推理

模糊時(shí)間序列(fuzzytimeseries,FTS)預(yù)測(cè)理論是Song等[1]于1993年首次提出的,此后該理論在預(yù)測(cè)領(lǐng)域(尤其是不精確數(shù)據(jù)、模糊數(shù)據(jù)或者數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢(shì)不明確的預(yù)測(cè)問(wèn)題)中得到了廣泛研究與發(fā)展,例如股指預(yù)測(cè)[2]和環(huán)境污染物濃度預(yù)測(cè)[3]等．FTS預(yù)測(cè)模型的研究主要集中在3個(gè)方面:① 論域劃分方法．從初期的等分劃分方法改進(jìn)到非等分劃分方法,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的分布特征,采用基于概率分布的算法[4]、基于信息粒的算法[5]和聚類(lèi)算法[6]等對(duì)論域進(jìn)行劃分,有效提高了預(yù)測(cè)精度．② 模糊關(guān)系和預(yù)測(cè)規(guī)則．從初期的“取大-取小”運(yùn)算進(jìn)化到基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[7]、粒子群算法[8]和矢量量化技術(shù)[9]的方法等,使模型的預(yù)測(cè)精度得到很大提升．③ 多元和高階模型．先后出現(xiàn)了基于禁忌搜索算法[10]、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]和基于關(guān)系組算法[12]等的多種高階和多元模型,顯著增強(qiáng)了FTS模型的適應(yīng)性．

FTS模型采用傳統(tǒng)的Zadeh模糊集對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行模糊化,即僅用隸屬度來(lái)度量語(yǔ)言值的隸屬性質(zhì),不夠全面、客觀,從根本上限制了預(yù)測(cè)精度的提升．而直覺(jué)模糊集引入直覺(jué)指數(shù)這一指標(biāo)使得對(duì)數(shù)據(jù)的描述更加客觀和細(xì)膩,因此Castillo等[13]首次將直覺(jué)模糊集理論融入時(shí)間序列分析,建立了一個(gè)直覺(jué)模糊推理系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)．但這個(gè)系統(tǒng)本質(zhì)上仍是2個(gè)隸屬度模糊推理系統(tǒng)和非隸屬度模糊推理系統(tǒng)的加權(quán)合成．Joshi等[14]以FTS模型為基礎(chǔ),建立了一個(gè)直覺(jué)模糊時(shí)間序列(intuitionisticfuzzytimeseries,IFTS)預(yù)測(cè)模型,但模型使用的直覺(jué)模糊集隸屬度和非隸屬度函數(shù)的確定方法存在固有缺陷．鄭寇全等[15-16]利用直覺(jué)模糊C均值聚類(lèi)算法實(shí)現(xiàn)論域的自適應(yīng)劃分,同時(shí)引入矢量量化技術(shù)有效提高了預(yù)測(cè)精度,但是如何有效地直覺(jué)模糊化歷史數(shù)據(jù),使其符合直覺(jué)模糊C均值聚類(lèi)算法的應(yīng)用條件,在模型中依然沒(méi)有給出很好的解釋?zhuān)?/p>

直覺(jué)模糊集理論的引入極大地?cái)U(kuò)展了時(shí)間序列對(duì)模糊信息的處理能力,為模糊時(shí)間序列研究開(kāi)辟了新的研究方向．然而,當(dāng)前IFTS理論的研究較少,國(guó)內(nèi)外僅有的研究理論深度不夠,預(yù)測(cè)精度有待進(jìn)一步提高．鑒于此,本文從論域劃分、直覺(jué)模糊集建立和預(yù)測(cè)規(guī)則3個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn),重點(diǎn)建立以直覺(jué)模糊多維取式推理為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)規(guī)則,提出了一個(gè)高階多元IFTS預(yù)測(cè)模型．通過(guò)對(duì)比試驗(yàn),證明所建模型有效克服了FTS預(yù)測(cè)理論的缺陷,取得了較好的預(yù)測(cè)結(jié)果．

1基本概念

定義1設(shè)X是一給定論域,則X上的一個(gè)直覺(jué)模糊集A為

(1)

式中,μA(x):X→[0,1]和γA(x):X→[0,1]分別為A的隸屬度和非隸屬度函數(shù),且?x∈X,有0≤μA(x)+γA(x)≤1,稱πA(x)=1-μA(x)-γA(x)為x的直覺(jué)指數(shù),它是x對(duì)A的猶豫程度的測(cè)度．

定義2設(shè)X和Y是普通有限非空集合或論域．定義在直積空間X×Y上的直覺(jué)模糊子集R為從X到Y(jié)之間的二元直覺(jué)模糊關(guān)系．記為

(2)

式中,μA(x,y):X×Y→[0,1],γA(x,y):X×Y→[0,1]滿足條件0≤μR(x,y)+γR(x,y)≤1,?(x,y)∈X×Y．

定義3設(shè)論域X(t) (t=1,2,…)為R的一個(gè)子集,fi(t)=〈μi(X(t)),γi(X(t))〉(i=1,2,…)為定義在X(t)上的直覺(jué)模糊集,若F(t)={f1(t),f2(t),…},則稱F(t)為定義在X(t)上的直覺(jué)模糊時(shí)間序列．

定義4令F(t)為定義在X(t)上的直覺(jué)模糊時(shí)間序列．設(shè)R(t,t-1)為從F(t-1)到F(t)的直覺(jué)模糊關(guān)系,且滿足F(t)=F(t-1)°R(t,t-1),即F(t)是由F(t-1)通過(guò)直覺(jué)模糊關(guān)系R(t,t-1)推導(dǎo)得到的,其中“°”表示直覺(jué)模糊合成運(yùn)算,則稱R(t,t-1)為F(t)上的一階直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系,可表示為

F(t-1)→F(t)

(3)

式中,F(t-1)和F(t)分別稱為關(guān)系的前件和后件．

定義5令F(t)為定義在X(t)上的直覺(jué)模糊時(shí)間序列．若F(t)由F(t-1),F(t-2),…,F(t-k)共同推導(dǎo)得到,它們之間的直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系可表示為

F(t-k),…,F(t-2),F(t-1)→F(t)

(4)

則稱F(t)為一元k階直覺(jué)模糊時(shí)間序列．

定義6令F1(t),F2(t),…,Fm(t)和F(t)為m+1個(gè)直覺(jué)模糊時(shí)間序列．如果F(t)由F1(t-1),F1(t-2),…,F1(t-k),F2(t-1),F2(t-2),…,F2(t-k),…,Fm(t-1),Fm(t-2),…,Fm(t-k)共同推導(dǎo)得到,則它們之間的直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系可表示為

(F1(t-k),F2(t-k),…,Fm(t-k)),…,

(F1(t-2),F2(t-2),…,Fm(t-2)),

(F1(t-1),F2(t-1),…,Fm(t-1))→F(t)

(5)

因此稱F(t)為k階m元直覺(jué)模糊時(shí)間序列．

在k階m元直覺(jué)模糊時(shí)間序列中,通常存在一個(gè)主元數(shù)據(jù)和m-1個(gè)次元數(shù)據(jù)．

2高階多元直覺(jué)模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型

2.1基于模糊聚類(lèi)的非等分論域劃分

在k階m元IFTS模型中,每一元數(shù)據(jù)都有一個(gè)獨(dú)立論域,因此需要確定m個(gè)論域:U1,U2,…,Um．但每一元數(shù)據(jù)的論域確定方法及劃分方法都是相同的．令U=[xmin-ε1,xmax+ε2],其中xmin和xmax分別表示歷史數(shù)據(jù)的最小值和最大值;ε1和ε2是2個(gè)合適的正數(shù),使得xmin和xmax分別向下、向上取合適整數(shù)．

在論域劃分上,本文采取了較遺傳算法等優(yōu)化算法更簡(jiǎn)捷、更具實(shí)時(shí)性的基于最大生成樹(shù)的直接模糊聚類(lèi)算法[17]．利用該算法聚類(lèi)得到的r類(lèi)數(shù)據(jù)可記為

(6)

則論域U被劃分成的r個(gè)非等長(zhǎng)區(qū)間可表示為

u1=[d0,d1],u2=[d1,d2], …,ur=[dr-1,dr]

2.2歷史數(shù)據(jù)直覺(jué)模糊化

對(duì)應(yīng)于論域U的r個(gè)區(qū)間,定義r個(gè)代表語(yǔ)言

變量的直覺(jué)模糊集:

(7)

式中,i=1,2,…,r．確定Ai的隸屬度和非隸屬度函數(shù)是該步驟的關(guān)鍵．受直覺(jué)指數(shù)的影響,確定直覺(jué)模糊集的隸屬度和非隸屬度函數(shù)的方法具有極大的復(fù)雜性．已有方法如模糊統(tǒng)計(jì)法、三分法等多將直覺(jué)指數(shù)固定為一個(gè)常數(shù)[18],有失客觀性．針對(duì)IFTS模型中歷史數(shù)據(jù)的實(shí)際情況及劃分特性,作者在前期研究中提出一種更具客觀性的隸屬度和非隸屬度函數(shù)的確定方法[19],由于篇幅所限,本文只引用其計(jì)算結(jié)果,具體過(guò)程不再贅述．將歷史數(shù)據(jù)的直覺(jué)模糊化結(jié)果記為

(8)

2.3直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系和預(yù)測(cè)規(guī)則建立

2.3.1高階多元直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系

對(duì)歷史數(shù)據(jù)直覺(jué)模糊化后,定義6中的k階m元直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系可表示為

(9)

從n個(gè)歷史數(shù)據(jù)中能得到n-k個(gè)k階m元直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系,如表1第2列所示．

表1　歷史數(shù)據(jù)的k階m元直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系

2.3.2直覺(jué)模糊多維取式推理

規(guī)則:IFxisA1×A2×…×AnTHENyisB．

輸出:yisB*．

(10)

其中

μR(x,y)=μA(x)∧μB(y)

(11)

γR(x,y)=γA(x)∨γB(y)

(12)

μA(x)=μA1(x)∧μA2(x)∧…∧μAn(x)

(13)

γA(x)=γA1(x)∨γA2(x)∨…∨γAn(x)

(14)

推理輸出為

B*=A*°R

(15)

其中，直覺(jué)模糊合成運(yùn)算“°”采用取大“∨”、取小“∧”運(yùn)算，即

(16)

(17)

(18)

(19)

2.3.3基于直覺(jué)模糊推理的預(yù)測(cè)規(guī)則

模糊規(guī)則的建立分為以下3個(gè)步驟:

(20)

相應(yīng)地,直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系即式(9)也應(yīng)變成

(21)

所有直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系變形后如表1第3列所示．

步驟2尋找相似直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系．分別計(jì)算表1第3列中各關(guān)系式前件與式(21)前件的相似度,其中具有最大相似度的關(guān)系式就是與式(21)相似的直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系．記表1第3列中第α(1≤α≤t-k)個(gè)直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系為

(22)

則式(21)和式(22)的前件相似度S(α,t-k)為

(23)

(24)

(25)

計(jì)算得到的相似直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系可記為

(26)

步驟3進(jìn)行直覺(jué)模糊推理,得到直覺(jué)模糊化預(yù)測(cè)結(jié)果．將式(26)的前件作為2.3.2節(jié)中直覺(jué)模糊多維取式推理的推理規(guī)則,式(21)的前件作為推理輸入,可得到m個(gè)推理模型．

模型ω

按照式(10)～(19)計(jì)算模型ω(ω=1,2,…,m)的推理結(jié)果,在結(jié)果中,擁有最大隸屬度的元素即為由該模型得到的直覺(jué)模糊化預(yù)測(cè)結(jié)果．由模型ω得到的直覺(jué)模糊化預(yù)測(cè)結(jié)果可記為

(27)

式中,p=1,2,…,Pω;ω=1,2,…,m;Pω為第ω個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果個(gè)數(shù)．

以模型1為例,其推理結(jié)果為

(28)

2.4預(yù)測(cè)結(jié)果去直覺(jué)模糊化

去直覺(jué)模糊化過(guò)程的具體步驟如下:

步驟1模型1得到的直覺(jué)模糊化預(yù)測(cè)結(jié)果是IFTS序列的主元,對(duì)其直接去直覺(jué)模糊化．直覺(jué)模糊集的去直覺(jué)模糊化算法通常有重心法、加權(quán)平均法和最大真值法等．由于重心法具有比較平滑的輸出控制,及對(duì)應(yīng)于輸入信號(hào)的微小變化輸出也會(huì)發(fā)生一定的變化,且這種變化明顯比較平滑,因此本節(jié)采用重心法計(jì)算[18],即

(29)

模型1的去直覺(jué)模糊化預(yù)測(cè)結(jié)果為P1個(gè)元素的去直覺(jué)模糊化結(jié)果的均值,即

(30)

步驟2模型2～模型m得到的直覺(jué)模糊化預(yù)測(cè)結(jié)果是IFTS序列的次元,需要將其轉(zhuǎn)化為主元結(jié)果．將模型2～模型m得到的直覺(jué)模糊化預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行組合,可得到P2×…×Pm種組合:

(31)

步驟3主元和次元結(jié)果合成輸出．取f1和f2,…,m的均值作為模型的最終預(yù)測(cè)結(jié)果．

(32)

當(dāng)2.3.3節(jié)中得到的相似直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系不唯一,即式(26)包含多個(gè)直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系時(shí),需要對(duì)每個(gè)相似直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系按照2.3.3節(jié)和2.4節(jié)的步驟進(jìn)行計(jì)算,分別得到各自的預(yù)測(cè)結(jié)果后取平均值作為最終預(yù)測(cè)結(jié)果．

3模型應(yīng)用

北京市日均氣溫?cái)?shù)據(jù)集是以天為單位對(duì)北京市氣溫進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的,其中日均氣溫(mean temperature, MTP)為序列的主元,日照時(shí)數(shù)(sunshine duration, SSD)和氣溫日較差(diurnal temperature range, DTR)為影響日均氣溫的2個(gè)次元．本文選取2014-06-01—2014-06-30的30組數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù),以三階三元模型為例預(yù)測(cè)2014-07-01的日均氣溫．所有數(shù)據(jù)如表2所示．

2014-07-01日均氣溫預(yù)測(cè)的具體步驟如下:

步驟1MTP, SSD和DTR的論域分別為U1=[20,30],U2=[1,14],U3=[6,17]．各區(qū)間劃分結(jié)果如表3所示．

表2　2014-06-01—2014-07-01北京市日均氣溫

表3　MTP, SSD和DTR的區(qū)間劃分

步驟2對(duì)應(yīng)于MTP,SSD和DTR的劃分區(qū)間,分別建立9個(gè)直覺(jué)模糊集,即Ai,Bi和Ci(i=1,2,…,9)．將30組歷史數(shù)據(jù)直覺(jué)模糊化．

步驟3將2014-07-01的MTP,SSD和DTR對(duì)應(yīng)的直覺(jué)模糊集分別記為At,Bt和Ct,則它們與其前3天數(shù)據(jù)之間的直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系為

(A9,B9,C8),(A7,B7,C3),(A9,B7,C3)→At

(33)

變形后為

(F28,G28,H28),(F29,G29,H29),(F30,G30,H30)→Ft

(34)

同時(shí),可以由歷史數(shù)據(jù)得到27個(gè)三階三元直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系,如表4第2列所示,變形后如表4第3列所示．

表4　MTP, SSD和DTR歷史數(shù)據(jù)的直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系

經(jīng)計(jì)算,與式(34)相似的直覺(jué)模糊邏輯關(guān)系為

(F27,G27,H27),(F28,G28,H28),(F29,G29,H29)→F30

(35)

將式(35)的前件作為推理規(guī)則,式(34)的前件作為推理輸入,則可以得到3個(gè)推理模型,分別為

模型1

規(guī)則:IFxisF27×F28×F29THENyisF30．

輸入:xisF28×F29×F30．

輸出:yisFt．

模型2

規(guī)則:IFxisG27×G28×G29THENyisG30．

輸入:xisG28×G29×G30．

輸出:yisGt．

模型3

規(guī)則:IFxisH27×H28×H29THENyisH30．

輸入:xisH28×H29×H30．

輸出:yisHt．

模型1的輸出Ft中隸屬度最大的元素為A8和A9;模型2的輸出Gt中隸屬度最大的元素為B7;模型3的輸出Ht中隸屬度最大的元素為C2,C3,C4和C5．

步驟4預(yù)測(cè)結(jié)果去直覺(jué)模糊化．

① 對(duì)模型1的推理結(jié)果去直覺(jué)模糊化,即

(36)

② 對(duì)模型2和模型3的推理結(jié)果合并去直覺(jué)模糊化．在表4第2列中尋找包含模型2和模型3預(yù)測(cè)結(jié)果組合的直覺(jué)模糊集組合,得到

(A6,B7,C5),(A4,B7,C5),(A5,B7,C2),

(A8,B7,C4),(A7,B7,C3),(A9,B7,C3)

(37)

取直覺(jué)模糊集A6,A4,A5,A8,A7,A9對(duì)應(yīng)區(qū)間中值的均值作為主元結(jié)果,即

f2,3=28.15

(38)

③ 主元和次元結(jié)果合成輸出．取f1和f2,3的均值作為模型的最終預(yù)測(cè)結(jié)果,即

(39)

則2014-07-01日均氣溫的預(yù)測(cè)結(jié)果為28.83 ℃．

應(yīng)用文獻(xiàn)[1,11,14]中的模型及本文模型對(duì)北京市日均氣溫?cái)?shù)據(jù)集的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),得到各模型的預(yù)測(cè)值及實(shí)際值如圖1所示．其中,文獻(xiàn)[1]為傳統(tǒng)FTS模型;文獻(xiàn)[11]為高階FTS預(yù)測(cè)模型,文中作者選擇的最優(yōu)預(yù)測(cè)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的“200-4-second order”模型將論域劃分為35個(gè)區(qū)間,這在實(shí)際操作中會(huì)帶來(lái)極大的工作量,是不現(xiàn)實(shí)的,因此本文在保證計(jì)算合理的基礎(chǔ)上，選則其性能最優(yōu)的“700-4-second order”模型進(jìn)行比較;文獻(xiàn)[14]為一階IFTS預(yù)測(cè)模型,因?yàn)楝F(xiàn)有IFTS預(yù)測(cè)模型中并沒(méi)有高階模型,因此只能與一階模型進(jìn)行比較．

圖1　各模型對(duì)日均氣溫?cái)?shù)據(jù)集的預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)均方誤差(RMSE)和平均預(yù)測(cè)誤差(AFE)這2項(xiàng)指標(biāo)對(duì)各模型的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行檢驗(yàn).指標(biāo)的計(jì)算公式如下:

(40)

(41)

表5　各模型對(duì)日均氣溫?cái)?shù)據(jù)集的預(yù)測(cè)性能

由表5可知,該模型的預(yù)測(cè)均方誤差為0.86，平均預(yù)測(cè)誤差為2.57%.這表明本文所建高階IFTS模型能夠有效預(yù)測(cè)通用數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù),預(yù)測(cè)效果較現(xiàn)有模型有了較大提升,證明該模型具有很強(qiáng)的可行性和有效性．

4結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法的不足,利用直覺(jué)模糊集在處理不確定數(shù)據(jù)集上的優(yōu)勢(shì),建立了一個(gè)新的高階多元直覺(jué)模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型．采用基于最大支撐樹(shù)的模糊聚類(lèi)算法實(shí)現(xiàn)論域的非等分劃分,使得論域劃分這一基礎(chǔ)步驟更具實(shí)時(shí)性和簡(jiǎn)捷性;采用基于相似度量的啟發(fā)式直覺(jué)模糊多維取式推理建立序列數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)規(guī)則,更有效地預(yù)測(cè)不確定數(shù)據(jù)的模糊變化特征．在北京市日均氣溫?cái)?shù)據(jù)集上與經(jīng)典算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明，該模型具有較好的預(yù)測(cè)性能．如何優(yōu)化直覺(jué)模糊推理過(guò)程,進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)性能,將是下一步研究的重點(diǎn)．

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High-ordermulti-variableintuitionisticfuzzytimeseriesforecastingmodel

WangYanan1LeiYingjie1LeiYang2FanXiaoshi1

(1AirandMissileDefenseCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710051,China) (2DepartmentofElectronicsTechnology,EngineeringUniversityofArmedPoliceForce,Xi’an710086,China)

Abstract:In order to break the limitation of fuzzy set theory and objectively describe the uncertain data, a high-order multi-variable intuitionistic fuzzy time series forecasting model is proposed. A fuzzy clustering algorithm is adopted to partition the universe of discourse, and a more objective method is used to establish the membership and non-membership functions of intuitionistic fuzzy sets. According to the principle of multidimensional intuitionistic fuzzy modus ponens reasoning, a heuristic similarity-based reasoning technique is proposed as the forecasting rule of the high-order multi-variable forecasting model, and a corresponding defuzzification method is presented. Contrast experiments on the daily mean temperature of Beijing were carried out. Experimental results show that the root mean square error (0.86) and the average forecasting error (2.57%) of the proposed model both obviously decreased. Therefore, the forecasting performance of the model is better than that of the fuzzy time series forecasting models and the normal intuitionistic fuzzy time series forecasting models.

Key words:high-order; multi-variables; intuitionistic fuzzy time series; multidimensional intuitionistic fuzzy modus ponens reasoning

DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.03.009

收稿日期:2015-09-23.

作者簡(jiǎn)介:王亞男(1988—)，女，博士生；雷英杰(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，leiyjie@163.com.

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61309022).

中圖分類(lèi)號(hào):TP393.08

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-0505(2016)03-0505-08

引用本文: 王亞男,雷英杰,雷陽(yáng),等.高階多元直覺(jué)模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,46(3):505-512.DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.03.009.