陳杰平，李　進，喬印虎(安徽科技學院　機械工程學院，安徽　鳳陽　233100)

?

圓環(huán)形薄板大撓度變形有限元分析比較研究

陳杰平，李進，喬印虎
(安徽科技學院機械工程學院，安徽鳳陽233100)

摘要:環(huán)形薄板是汽車減振器中的一個重要零件，屬于典型的大撓度非線性變形，傳統(tǒng)的計算方法要么產生誤差較大，或者計算繁瑣不利于工程應用。本文借助于現(xiàn)代分析軟件，利用有限元分析方法對汽車減振器中不同規(guī)格環(huán)形薄板的大撓度變形情況進行了研究。根據von Kármán提出的微分方程，結合錢氏攝動法給出了求解大撓曲變形的解析表達式，擬合出了解析式中的待定系數(shù)的數(shù)學表達式，并針對固定半徑比、內/外徑等不同情況進行了計算分析和誤差比較。數(shù)值計算證明，使用的方法合理可靠，求解精度高、簡單快捷實用，誤差在3%以下，完全可以滿足工程設計分析的需要。

關鍵詞:圓環(huán)薄板;大撓度變形;有限元;錢氏攝動法

汽車減振器是汽車懸架中的重要零部件之一，其工作原理是利用活塞和底閥上的閥片式節(jié)流閥產生的節(jié)流縫隙而產生阻尼減振作用，圓環(huán)形閥片的最大撓度變形量直接決定減振器工作性能，影響車輛平順性和操縱穩(wěn)定性。減振器閥系設計一直是困擾減振器設計的關鍵問題［1］。目前，國內、外還沒有準確、可靠的設計方法［2－3］，大都是利用經驗確定設計參數(shù)［4］、經過反復試驗和修改來完成設計參數(shù)的確定。因此，對環(huán)形節(jié)流閥片撓曲變形進行高精度計算具有重要意義［5－6］。

由于減振器環(huán)形閥片的厚度h遠小于半徑r，屬于環(huán)形薄板情況，需要使用彈性力學的薄板理論計算，其撓曲變形主要由基于小撓曲和大撓曲兩種理論，針對小撓曲變形的研究已經比較深入和成熟［7－10］。由于按照小撓度彈性變形的方法進行分析計算簡單和便捷［11－12］，在工程設計實際應用中得到了廣泛應用。但實踐證明，減振器環(huán)形閥片的工作狀況大多都屬于大撓度變形，是一個典型的非線性問題，按照小撓曲理論或經驗公式［13］計算的撓度值與實際撓度值差異較大，不能滿足產品開發(fā)和優(yōu)化設計要求。但環(huán)形薄板的大撓度變形的精確解求解較為困難，錢偉長先生提出了錢氏攝動法進行大撓度變形的求解，可以達到很高的精度［14］，但由于其方法的繁瑣限制了在工程上應用。

本實驗在對環(huán)形薄板的撓曲變形進行了認真分析和比較基礎上，采用攝動法與有限元數(shù)值解法相結合，擬合得到變形解析式來進行環(huán)形薄板大撓曲變形設計計算，并對擬合精度進行了驗證，探索一種便于工程應用的方法和途徑。

1　圓環(huán)薄板的撓曲數(shù)學模型建立

1.1力學模型

汽車減振器中的環(huán)形閥片工作為軸對稱結構，可簡化為內邊緣固定夾緊，在均布壓力q作用下外邊緣可以自由發(fā)生撓曲的力學結構。假設外圓半徑為a、內圓半徑為b，可建立如圖1所示坐標系下的力學模型。

圖1　環(huán)形閥片的力學模型Fig.1　 Mechanical model of Circular slice－plate

1.2圓環(huán)薄板的von Kármán數(shù)學模型

針對以上環(huán)形閥片軸對稱形式的力學模型，1910年von Kármán提出的非線性微分方程表達式如下:

其中: a——圓環(huán)薄板外徑(mm)

b——圓環(huán)薄板內徑(mm)

ν——材料的泊松比

E——彈性模量(Pa)

h——圓環(huán)薄板的厚度(mm)

w——薄板的撓度(mm)

q——薄板上作用的分布載荷(Pa)

Nr——薄板的徑向薄膜張力(N)

r——徑向坐標

邊界條件為:

1.3大撓曲變形的錢氏攝動解法

錢氏攝動法廣泛用于求解各種彈性薄板的大撓曲變形問題，一般取二階攝動即可獲得足夠高的精度。取r = a外邊緣處的撓度為攝動參數(shù)Wm，且有:

根據錢氏攝動法，將所有未知函數(shù)展開為Wm的冪級數(shù)，即有

將(3)代入(1)、(2)和邊界條件中，比較Wm的同次冪系數(shù)，從而求解各待定系數(shù)，即可得到環(huán)形閥片大撓曲剛度曲線方程為

2　Abaqus有限元分析與曲線擬合

由式(4)可知，待定系數(shù)λ1、λ2的確定是求解環(huán)形閥片撓曲變形關鍵，但其解析求解依然不便。Abaqus具有很強的非線性分析功能，工程應用中可以采用利用Abaqus進行有限元，然后數(shù)值實驗結果擬合得到λ1、λ2，進而得到大撓曲變形的解析方程。

2.1有限元分析模型與實驗

以某款汽車減振器環(huán)形閥片為例，主要參數(shù)為a =11 mm，b =5 mm，h =0.3 mm，E =210GPa，υ=0.3，q =1.0Mpa。實際建模中采取Abaqus默認的單位制，即m、N、kg及其導出單位?？山⒉煌W格密度的環(huán)形閥片有限元模型并得到分析結果，如圖2和圖3所示。

圖3　環(huán)形閥片有限元分析Fig．3　 Finite Element of Circular thin－plate

在不同網格密度情況下進行有限元分析，可得到圓環(huán)薄板邊緣處的大撓度變形結果如表1。

表1　不同網格密度圓環(huán)的最大撓曲變形值Table 1　 Maximum deflection value in various grid density rings

將表1按序號和撓度為坐標繪制曲線，如圖4所示?？梢钥闯觯谛蛱?(即當周向單元為40、徑向單元達到10以上)時，即可得到較高的求解精度。

圖4　不同網格劃分邊緣撓度Fig.4　 edge deflection in different mesh

2.2曲線擬合

為進行有限元數(shù)值實驗，定義β= b/a為環(huán)形閥片內外半徑之比。考慮到閥片實際幾何尺寸及材料特性，令h =0.3 mm，E =210 GPa，υ=0.3，q =1.0MPa。對于轎車減振器來說，環(huán)形閥片圓環(huán)內圓半徑一般為5 ～8mm，外圓半徑處于8.5～15之間，即β一般位于0.35～0.75之間。可根據不同的β取值來確定外徑，然后按照14×40 Quad－Doninated劃分網格，利用有限元分析確定環(huán)形閥片外邊緣處撓度，如表2。

表2　不同內外徑比最大撓曲值Table 2 Maximum deflection value in various I/O diameter ratio

將表2中得到的同一β值下的兩個撓度值代入式(4)，即可確定待定系數(shù)λ1、λ2，見表3。

表3　待定系數(shù)Table 3 Undetermined coefficient

根據以上得到的待定系數(shù)值，可以確定采用Rational待定系數(shù)擬合公式分別為:

其中: c1=3.258、c2=－1.054、c1=0.6139、d1=－1.692、d2=0.7206; e1=255.5、e2=－217.9、e3= 157.5、l1=－1176、l2=893.1。

λ1和λ2擬合曲線如下圖所示:

圖5 λ1和λ2擬合曲線a.λ1　 b.λ2Fig.5　 Fitting Curve of λ1and λ2

3　驗證比較

為驗證解析解的正確性，結合前述汽車減振器閥片參數(shù)，保持材料特性及薄板厚度h =0.3 mm，E = 210 GPa、υ=0.3、q =1.0 Mpa不變，分別在不同情況下下進行有限元分析并與數(shù)值解比較驗證。

(1)環(huán)形閥片的結構參數(shù)及為a =11 mm，b =5 mm，可知其β=0.455。同時改變a、b參數(shù)，而保持β不變，利用式(5)可以確定:λ1=5.162和λ2 =0.3105。利用解析式(4)，可以求得的不同a、b時的最大撓曲變形解析解與有限元分析結果，見表4:

表4　β=0.455不變情況下?lián)隙茸冃蜹able 4 The deflection in β=0.455

(2)內徑b不變，改變外徑a，即β在0.35～0.75之間變化情況下的最大撓曲變形解析解與有限元分析結果，見表5。

表5　固定內徑情況下的撓曲變形Table 5 Flexural deformation of determined inner diameter case

(3)外徑a不變，改變內徑b，使β在0.35～0.75之間變化情況下的最大撓曲變形解析解與有限元分析結果，見表6。

表6　固定外徑情況下的撓曲變形Table 6　 Flexural deformation of determined outer diameter case

通過以上各類情況下的有限元仿真結果與數(shù)值計算結果比較可知，兩種方法產生的誤差在0.02mm以內，具有較高的模擬計算精度。

4　結論與討論

本實驗根據von Kármán微分方程，結合錢氏攝動法推導了減振器環(huán)形閥片大撓曲變形的計算方程，利用現(xiàn)代工程軟件進行了大量的仿真分析，在進行數(shù)值實驗的基礎上擬合出了環(huán)形閥片大撓曲變形的解析計算公式。驗證結果表明，該解析式在不同情況下都具有較高的計算精度，產生的誤差在3%以下，完全可以滿足工程設計的需要。該方法將有限元方法與傳統(tǒng)解析計算方法進行了有機結合，使復雜的環(huán)形閥片大變形問題求解得到簡化?？梢宰C明，所推導的解析式完全不但可以適用于環(huán)形閥片大撓度薄板計算，同樣也可以適用于環(huán)形閥片小撓曲變形的計算，使計算精度得到顯著提高。該方法可以為解決汽車減振器節(jié)流閥片的設計計算、分析研究、優(yōu)化設計等工程實際問題提供了新的途徑，同時也可用于解決其他領域同類問題。

參考文獻:

［1］李世民，呂振華.汽車筒式液阻減振器技術的發(fā)展［J］.汽車技術，2001(8) : 10－16.

［2］周長城，顧亮，王麗.節(jié)流閥片彎曲變形與變形系數(shù)［J］.北京理工大學學報，2006，26(7) : 581－584.

［3］姚嘉伶，蔡偉義，陳寧.汽車半主動懸架系統(tǒng)發(fā)展狀況［J］.汽車工程，2006，28(3) : 276－280.

［4］陳勇，何輝，白金福.夏利轎車液力減振器簧片的變形分析［J］.汽車技術，2000(1) : 19－20.

［5］Duym S.Simulation tools，modelling and identification，for an automotive shock absorber in the context of vehicle dynamics ［J］.Vehicle System Dynamics，2000，33: 261－285

［6］賀李平，顧亮，辛國國，等.減振器環(huán)形閥片大撓曲變形的高精度解析式［J］.北京理工大學學報，2009，29(6) : 510－514.

［7］呂振華，李世民.筒式液阻減振器動態(tài)特性模擬分析技術的發(fā)展［J］.清華大學學報:自然科學版，2002，42(11) : 1532－1536.

［8］周長城，任傳波.最佳阻尼匹配減振器閥片厚度優(yōu)化設計與特性試驗［J］.振動工程學報，2009，22(1) : 54－59.

［9］ZHOU Chang－cheng，ZHENG Zhi－yun，GU Liang，et al.Study on the availability opening size of throttle and affect－tion to the velocity characteristic of shock absorber［J］.Beijing Institute of Technology，2007，16(1) : 23－27.

［10］周長城，顧亮.減振器疊加節(jié)流閥片與節(jié)流閥開度研究［J］.流體機械，2006，34(7) : 19－23.

［11］周長城.汽車減振器設計與特性仿真［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2012.

［12］陳軼杰，顧亮，管繼富.減振裝置節(jié)流閥片均布載荷變形解析計算［J］.重慶大學學報:自然科學版，2008，31(9) : 988－991.

［13］成大先.機械設計手冊［M］.第3版.北京:化學工業(yè)出版社，1994.

［14］WEIZANG C.Large deflection of a circular clamped plate under uniform pressure［J］.Chinese Journal of Physics，1947(2) : 102－113.

(責任編輯:李孟良)

Comparative Study of Finite Element of Large Deflection of Circular Thin Plates

CHEN Jie－ping，LI Jin，QIAO Yin－h(huán)u
(College of Mechanical Engineering，Anhui Science and Technology University，F(xiàn)engyang 233100，China)

Abstract:Annular thin plate is an important part of automobile shock absorber，which belongs to the typical nonlinear deformation of large deflection.Traditional calculation method will cause large errors，or complicated calculation which can not be used in engineering conveniently.With the aid of and modern engineering analysis software，the large deflection of circular thin plate of different shock absorbers specifications were studied using the method of finite element analysis.According to von Kármán differential equation，combining with Chien perturbation method，the analytical expression of the large deflection were presented.Undetermined coefficients of the analytical expression were been fitting out.For different situations，such as fixed radial ratio，or inner/outside diameter，the calculation analysis and error comparison were carried out.Numerical calculation showed that the method is reasonable and reliable，simple and quick，with an error below 3%，and precision is higher，which can meet with the needs of engineering design and analysis.

Key words:Circle thin plate; Large deflection; Finite element; Chien perturbation method

中圖分類號:U461.4; U467

文獻標識碼:A

文章編號:1673－8772(2016) 02－0032－07

收稿日期:2015－12－10

基金項目:安徽省優(yōu)秀青年基金重點項目(2013SQRL062ZD) ;安徽科技學院青年基金(ZRC2013337)，安徽科技學院重點建設學科(AKZDXK2015C03)。

作者簡介:陳杰平(1963－)，男，河南省鞏義市人，博士，教授，主要從事機械CAD和控制研究。