陸鳳霞， 王浩飛， 朱如鵬， 鮑和云， 姜慧卉

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京　210016)

基于齒面摩擦的人字齒輪副動力學(xué)特性分析

陸鳳霞， 王浩飛， 朱如鵬， 鮑和云， 姜慧卉

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京210016)

摘要：建立了考慮齒面摩擦、時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和綜合傳遞誤差的16自由度人字齒輪副三維空間彎曲-扭轉(zhuǎn)-軸向耦合的非線性動力學(xué)模型，應(yīng)用牛頓第二運動定律，建立系統(tǒng)的振動微分方程。根據(jù)人字齒輪副的嚙合特性，通過數(shù)值積分方法分析了輪齒的嚙合力,時變摩擦力和摩擦力矩，并采用基于彈流潤滑理論(EHL)的摩擦因數(shù)計算模型計算了齒面摩擦因數(shù)。為了分析齒面摩擦對人字齒輪副周期振動及分岔特性的影響規(guī)律，比較了有無考慮齒面摩擦時系統(tǒng)的周期振動時域響應(yīng)、振動位移分岔圖及最大lyapunov指數(shù)變化圖。結(jié)果表明，齒面摩擦導(dǎo)致齒輪副垂直于嚙合平面方向的振動位移加劇，且減弱了齒輪副沿嚙合線方向的振動。同時，齒面摩擦的存在使得系統(tǒng)提前進入混沌，且抑制了系統(tǒng)的混沌運動。文章的研究成果有助于進一步認識齒面摩擦對人字齒輪傳動周期振動及非線性振動特性的影響，為人字齒輪傳動設(shè)計提供技術(shù)依據(jù)。

關(guān)鍵詞：齒面摩擦；人字齒輪；混沌；分岔

人字齒輪傳動具有傳動效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力大和軸承軸向負載低等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于艦船等大功率機械傳動系統(tǒng)中。近年來吸引了國內(nèi)外大量學(xué)者對其動力學(xué)特性開展研究。王成等[1]分析了人字齒輪副的振動特性。Yang等[2]分析了人字齒輪副均載特性以及非線性振動響應(yīng)。郭家舜等[3]建立了單級人字齒輪副的彎-扭-軸耦合動力學(xué)模型，對系統(tǒng)進行動力學(xué)分析。

齒輪副工作過程中，摩擦力的大小、方向均發(fā)生周期性的變化，形成一種非諧波型的內(nèi)激勵，這是齒輪傳動系統(tǒng)振動和噪聲的重要激勵之一。Velex等[4]建立了考慮齒面摩擦的直齒輪和斜齒輪傳動的動力學(xué)模型。He等[5]建立了含摩擦力的12自由度斜齒傳動系統(tǒng)的分析模型，研究分析了摩擦力對系統(tǒng)動力學(xué)的影響。Liu等[6]建立了含摩擦的人字齒輪副模型，分析了誤差、摩擦因數(shù)對人字齒輪副振動特性的影響，但未能研究齒面摩擦對齒輪副非線性振動特性的影響。朱恩涌等[7]建立了含摩擦力的2K-H型行星齒輪系非線性動力學(xué)模型，分析了摩擦力對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

在人字齒輪副動力學(xué)特性分析中，同時考慮齒面摩擦、誤差、時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙影響的文獻目前國內(nèi)外還未見報道。本文在上述研究基礎(chǔ)上，建立了人字齒輪副彎曲-扭轉(zhuǎn)-軸向耦合的非線性動力學(xué)模型?；谌俗铸X輪副的嚙合特性計算了人字齒輪副的嚙合力、摩擦力與摩擦力矩。采用基于彈流潤滑理論(EHL)的摩擦因數(shù)計算模型，研究分析了齒面摩擦對人字齒輪副振動及分岔特性的影響。研究成果有助于進一步認識摩擦激勵對人字齒輪副動力學(xué)特性的影響，為人字齒輪副的設(shè)計分析提供參考。

1人字齒輪副動力學(xué)模型

圖1為人字齒輪副動力學(xué)模型。以垂直于嚙合平面方向為x方向，齒輪的軸向為z方向建立坐標系。人字齒輪傳動一般采用小輪浮動的方式，每個齒輪均具有x，y和z方向的平移以及繞z軸扭轉(zhuǎn)的四個自由度。

圖1　人字齒輪副動力學(xué)模型Fig.1 The dynamics model of double helical gears

圖1中，T1和T2分別為輸入和輸出扭矩；km1，km2，cm1和cm2分別為齒輪副1，2的嚙合剛度和嚙合阻尼；kix，kiy，kiz，cix，ciy和ciz分別為齒輪i沿x，y和z方向的支撐剛度以及支撐阻尼(i=1，2，3，4)；k13x，k13y，k13z，J1，k24x，k24y，k24z和J2分別為兩個齒輪軸的x和y方向彎曲剛度和軸向拉伸剛度以及扭轉(zhuǎn)剛度；c13x，c13y，c13z，ct1，c24x，c24y，c24z和ct2分別為兩個齒輪軸x，y，z方向以及扭轉(zhuǎn)方向的阻尼。

1.1人字齒輪副嚙合特性分析

圖2為人字齒輪副嚙合過程的示意圖。其中，圖2(b)中兩條虛線之間的區(qū)域為接觸區(qū)域。

圖2　人字齒輪副的嚙合過程Fig.2 Illustration of meshing process of double helical gears

圖2(a)中，N1和N2分別為理論嚙合線的起點和終點；A和B分別為實際嚙合線的起點和終點；P為節(jié)點；C為嚙合點；其余參數(shù)的物理意義文中均有詳述。

定義第i對接觸輪齒從進入嚙合區(qū)域開始經(jīng)過時間t后移動的距離為：

si=ω1rb1[mod(t,Tm)+(i-1)Tm]

(1)

式中，ω1和rb1分別為齒輪1的轉(zhuǎn)速以及基圓半徑；Tm為嚙合周期；mod()為取余函數(shù)。

假設(shè)兩齒輪的接觸線在前端面B點處的曲率半徑分別為Rt1和Rt2，則在接觸線上距B點l處的一點K，兩齒輪在該點的曲率半徑RtK1和RtK2分別為：

(2)

式中，Rt1和Rt2可以通過下式計算得到：

(3)

根據(jù)人字齒輪的幾何特性可知，在K點處齒輪1和齒輪2上的法向曲率半徑分別為：

(4)

齒輪1和齒輪2在K點處接觸齒面的綜合曲率半徑、沿齒面方向的滑動速度分別為：

(5)

式中，ωi，rbi和αtKi分別為齒輪i的角速度和基圓半徑以及K點的端面壓力角(i=1，2)。其中，αtKi可通過式(6)計算得到：

(6)

K點處的齒面相對滑動速度、相對滾動速度、滑滾比以及卷吸速度分別為：

(7)

1.2齒輪副動態(tài)嚙合力

人字齒輪副可看作由兩對旋向相反的斜齒輪副組成，其嚙合過程與斜齒輪相似，即均是逐漸進入嚙合再逐漸退出嚙合。本文分別計算人字齒輪副左、右兩端斜齒輪副的嚙合力、摩擦力及摩擦力矩。

一對斜齒輪副中，第i對接觸輪齒間沿嚙合線方向的相對變形為：

δi=(y2-y1+rb1θ1-rb2θ2)cosβb+

(z1-z2)sinβb-ei

(8)

式中，ei為第i個接觸齒對間的齒形誤差。本文中認為誤差沿接觸線均勻分布[16]。

第i對接觸輪齒間的彈性嚙合力可通過下式計算得到：

Fi=∫lkif(δi)dl

(9)

式中，l為第i對接觸輪齒之間的接觸線長度；ki為輪齒單位接觸線上的剛度；f(δ)代表齒輪副中齒側(cè)間隙的分段計算函數(shù)。

當εα>εβ時，

(10)

式中，a1=si/sinβb；a2=b/cosβb；a3=b/cosβb-(si-lm)/sinβb；εγ，εα和εβ分別為齒輪副的重合度、端面重合度及軸向重合度，且εγ=εα+εβ；βb為基圓螺旋角；Pbt為齒輪的端面基節(jié)；N為斜齒輪副中同時參與嚙合的輪齒對數(shù)的最大值，N=ceil(εγ)，ceil(x)為大于等于x的最小整數(shù)。lm為齒輪副實際嚙合線的長度：

(11)

式中，rai，rbi和ri分別為齒輪i的齒頂圓半徑、基圓半徑和分度圓半徑(i=1，2)；αt為齒輪副的端面壓力角。

當εα<εβ時，

(12)

式中，a1=si/sinβb；a2=lm/sinβb；a3=b/cosβb-(si-lm)/sinβb

一對斜齒輪副的彈性嚙合力為：

(13)

1.3齒面的時變摩擦力和摩擦力矩

齒面摩擦因數(shù)主要受輪齒幾何形狀、表面硬度、接觸壓力和齒面相對滑動速度等因數(shù)的影響[9]。實驗數(shù)據(jù)表明基于彈流潤滑理論計算得到的摩擦因數(shù)[11]與實際測得的摩擦因數(shù)更為接近，本文即采用該摩擦因數(shù)計算模型。

基于彈流潤滑理論的摩擦因數(shù)計算模型為：

(14)

式中，f(SR,Ph,v0,s)可由下式獲得，即：

(15)

式中，SR為兩個接觸齒面的滑滾比；ν0為潤滑油的動力黏度，單位為cps；Ve為齒輪接觸點處的卷吸速度；S為表面粗糙度的均方根值，單位為μm；b1,b2,…,b9的值參照文獻[11]，依次在表1中給出。

表1　EHL摩擦因數(shù)計算模型中參數(shù)賦值

SR的計算公式如下：

(16)

式中，Vs和Vr分別為兩個接觸齒面的相對滑動速度和相對滾動速度，單位為m/s。

最大赫茲接觸應(yīng)力Ph可通過式(17)計算得到:

(17)

式中，W′為輪齒的單位法向載荷；E′為等效彈性模量；R為接觸點處的綜合曲率半徑，單位為m。

通過該摩擦因數(shù)計算模型，得到摩擦因數(shù)隨滑滾比的變化曲線見圖3所示。

圖3　摩擦因數(shù)隨滑滾比變化曲線Fig.3 The friction curve under the EHL model

第i個接觸齒對間的摩擦力和摩擦力矩可以通過下式計算得到:

(18)

式中，fi，Tf1i和Tf2i分別為第i對接觸輪齒間的摩擦力和摩擦力對齒輪1的力矩以及摩擦力對齒輪2的力矩。

由斜齒輪嚙合特性可知，節(jié)線兩側(cè)接觸線上的摩擦力方向相反，接觸線被節(jié)線分為兩個部分。分別對兩部分接觸線上的摩擦力和摩擦力矩進行積分即可得到整條接觸線上的摩擦力和摩擦力矩，如下式：

(19)

式中，a1和a2分別為第i條接觸線位于節(jié)線兩側(cè)部分的長度(如圖4所示)。

圖4　嚙合區(qū)域的劃分Fig.4 Division of the meshing area

為便于對式(19)進行數(shù)值積分，根據(jù)接觸線在嚙合區(qū)域的位置，將接觸區(qū)域劃分為六個部分。當εα>εβ時，接觸線從進入嚙合區(qū)域到完全退出嚙合的過程如圖4(a)所示：

區(qū)域1，即0≤si

a1=si/sinβb，a2=0

區(qū)域2，即l2≤si<εβPbt時有：

a1=l2/sinβb，a2=(si-l2)/sinβb

區(qū)域3，即εβPbt≤si<εαPbt時有：

a1=(l2+εβPbt-si)/sinβb，a2=(si-l2)/sinβb

區(qū)域4，即εαPbt≤si<εβPbt+l2時有：

a1=(l2+εβPbt-si)/sinβb，a2=l1/sinβb

區(qū)域5，即εβPbt+l2≤si<εβPbt+lm時有：

a1=0，a2=(lm-si+εβPbt)/sinβb

區(qū)域6，即εβPbt+lm≤si

a1=0，a2=0

式中，a1和a2分別為位于節(jié)線左側(cè)和右側(cè)的接觸線長度；l1和l2分別為節(jié)線到嚙合開始邊界和終止邊界的距離，計算公式如下：

(20)

式中，rai，rbi和ri分別為齒輪i的齒頂圓半徑、基圓半徑和分度圓半徑(i=1，2)。

當εα<εβ時，接觸線從進入嚙合區(qū)域到完全退出嚙合的過程如圖4(b)所示。

區(qū)域1，即0≤si

a1=si/sinβb，a2=0

。

區(qū)域2，即l2≤si<εαPbt時有：

a1=l2/sinβb，a2=(si-l2)/sinβb

區(qū)域3，即εαPbt≤si<εβPbt時有：

a1=l2/sinβb，a2=l1/sinβb

區(qū)域4，即εβPbt≤si<εβPbt+l2時有：

a1=(l2+εβPbt-si)/sinβb，a2=l1/sinβb

區(qū)域5，即εβPbt+l2≤si<εβPbt+lm時有：

a1=0，a2=(lm-si+εβPbt)/sinβb

區(qū)域6，即εβPbt+lm≤si

a1=0，a2=0

一對斜齒輪副的嚙合力、摩擦力和摩擦力矩可以由下式計算得到：

(21)

1.4人字齒輪副動力學(xué)微分方程

基于上述分析，利用牛頓第二運動定律得到16個自由度的人字齒輪副彎曲-扭轉(zhuǎn)-軸向耦合的彈性動力學(xué)運動微分方程，即：

(22)

式中，xi，yi，zi和θi分別為齒輪i沿x，y和z方向的振動位移以及繞z軸的扭轉(zhuǎn)振動位移；mi，Ii和rbi分別為齒輪i的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和基圓半徑；Tfi分別為摩擦力對齒輪i的力矩(i=1，2，3，4)；F1和F2分別為齒輪副1和齒輪副2上的嚙合力；f1和f2分別為齒輪副1和齒輪副2上的摩擦力；β1和β2分別為齒輪副1和齒輪副2的螺旋角。

1.5系統(tǒng)量綱一方程

由于齒側(cè)間隙的存在，使得系統(tǒng)約束不完整，式(22)為半正定系統(tǒng)[17]，存在著剛體位移以及不定解。為消除剛體位移，在保持系統(tǒng)拓補解結(jié)構(gòu)不變前提下，利用同胚映射，使系統(tǒng)方程數(shù)目減少從而實現(xiàn)降維。引入相對坐標：

(23)

式中，δy1和δy2分別代表齒輪副1和齒輪副2嚙合平面內(nèi)平移-扭轉(zhuǎn)耦合振動位移；δ13和δ24分別代表齒輪1和齒輪3之間及齒輪2和齒輪4之間的相對扭轉(zhuǎn)位移。

由式(23)可知：

δ24=δ13+δy2-δy1-y1+y2+y3-y4

(24)

(25)

將經(jīng)過量綱一化和消除剛體位移處理的系統(tǒng)動力學(xué)微分方程整理為矩陣形式：

(26)

式中，X，M，K，C和F分別為位移向量、質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣及激勵力向量；其中：

(27)

由于阻尼值較難獲取，本文采用瑞利阻尼形式[8]，阻尼矩陣由剛度矩陣及質(zhì)量矩陣表示，即：

C=αM+βK

(28)

式中，α和β分別為質(zhì)量矩陣系數(shù)和剛度矩陣系數(shù)，可由文獻[8]中計算方法得到。

2人字齒輪副動力學(xué)分析

為簡化計算，假設(shè)齒輪單位接觸線上剛度ki為定值，可查閱齒輪設(shè)計手冊得到該值。采用變步長4階龍格庫塔(Runge-Kutta)法求解動力學(xué)方程，算例參數(shù)如表2所示。

計算初值全部選取為0，考慮初始值的影響，將開始數(shù)百個周期內(nèi)的響應(yīng)略去，得到系統(tǒng)的時域響應(yīng)。

表2　算例參數(shù)

2.1摩擦力對人字齒輪振動位移的影響

考慮到人字齒輪副中各齒輪振動特性的一致性，僅以齒輪1為研究對象。

有無考慮齒面摩擦兩種情形下，齒輪1沿x，y，z方向的平移振動位移及齒輪1和2之間彎扭耦合振動位移δy的時域、頻域響應(yīng)如圖5～圖9所示。

從圖5可看出，由于齒面摩擦力的存在，齒輪的x方向平移振動位移顯著增加。由圖5的頻域圖還可以看出，在前5階頻段內(nèi)，摩擦力對該方向上齒輪的平移振動均有較顯著的影響。因此，齒面摩擦將會導(dǎo)致齒輪垂直于嚙合線方向的振動顯著加劇。

圖6表明，由于齒面摩擦的存在，齒輪1沿y方向的平移振動位移小于不存在齒面摩擦時該方向的振動位移，這表明齒面摩擦抑制了輪齒嚙合力的波動，減小了嚙合線方向的振動。這與文獻[6]的結(jié)論一致，從而驗證了本文模型的正確性。由圖6的頻域圖還可以看出，摩擦力對嚙合線方向的影響主要是在前兩階頻段內(nèi)，高階頻段內(nèi)齒面摩擦對系統(tǒng)該方向的振動影響較弱。

圖5　齒輪1的x方向平移振動位移時域譜及頻域譜Fig.5 The time-domain spectrum and the frequency spectrum of the translation displacement in x direction of gear 1

圖6　齒輪1的y方向平移振動位移時域譜及頻域譜Fig.6 The time-domain spectrum and the frequency spectrum of the translation displacement in y direction of gear 1

圖7　齒輪1的z方向平移振動位移時域譜及頻域譜Fig.7 The time-domain spectrum and the frequency spectrum of the translation displacement in z direction of gear 1

圖8　齒輪1的耦合振動位移時域譜及頻域譜Fig.8 The time-domain spectrum and the frequency spectrum of the composite displacement of gear 1

圖7表明，摩擦力對齒輪1軸向振動的影響很小，這是因為摩擦力主要作用在垂直于嚙合線方向上，與軸向垂直，因此其對齒輪軸向振動的影響很微弱。從圖中還可看出，與其他兩個方向的振動位移相比，齒輪1的軸向振動位移較小，這是因為本文建立的人字齒輪副動力學(xué)模型中兩個斜齒輪副的參數(shù)賦值均相同，因而軸向力相互抵消，齒輪的軸向振動較小。

圖8表明，摩擦力對嚙合平面內(nèi)平移-扭轉(zhuǎn)耦合振動位移δy的影響很微弱，這與文獻[5]的結(jié)論一致，進一步驗證本文模型的正確性。

2.2齒面摩擦對系統(tǒng)混沌及分岔特性的影響

圖9(a)和(b)分別為有無考慮齒面摩擦情況下齒輪副1嚙合線上量綱一相對位移隨頻率的分岔圖。

圖9　齒輪副1的位移分岔圖Fig.9 The bifurcation diagram of the gear pair 1

由圖9所示，考慮齒面摩擦及不考慮摩擦兩種情況下，系統(tǒng)均是通過倍周期分岔通道進入混沌狀態(tài)。當嚙頻較低時，齒面摩擦對系統(tǒng)的分岔特性影響并不明顯，系統(tǒng)的倍周期分岔在低頻時較為清晰，但在高頻時變得模糊，這是由于摩擦產(chǎn)生的時滯效應(yīng)在高頻段內(nèi)表現(xiàn)得更為明顯。與文獻[12]的計算結(jié)果相比，本文中摩擦對人字齒輪副分岔特性的影響弱于直齒輪，這是由人字齒輪的嚙合特性決定的。人字齒輪由一端逐漸進入嚙合再逐漸退出嚙合，輪齒的接觸線被節(jié)線分為兩部分，各部分接觸線上的摩擦力方向相反，相互抵消。因而摩擦力對人字齒輪傳動動力學(xué)特性的影響較直齒輪要小。

從圖中可看出，隨著量綱-頻率的增加，系統(tǒng)依次經(jīng)歷了單周期、周期2、周期4以及周期8倍周期分岔，進入混沌運動狀態(tài)。隨著量綱-頻率繼續(xù)增加，系統(tǒng)由混沌運動狀態(tài)通過倒分岔進入周期2運動狀態(tài)，最終通過穩(wěn)定吸引子鎖相為單周期運動。

為進一步研究齒面摩擦對人字齒輪系統(tǒng)分叉特性的影響，分別給出了考慮齒面摩擦以及不考慮齒面摩擦時系統(tǒng)lyapunov指數(shù)隨頻率的變化圖，如圖11所示。圖中可看出，不考慮齒面摩擦時系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)的量綱-頻率為1.361，對應(yīng)的輸入軸轉(zhuǎn)速為7 548 r/min；考慮齒面摩擦時系統(tǒng)進入混沌運動狀態(tài)的量綱-頻率為1.332，對應(yīng)的輸入轉(zhuǎn)速為7 299.1 r/min?？芍X面摩擦導(dǎo)致系統(tǒng)進入混沌運動狀態(tài)的臨界轉(zhuǎn)速降低，即齒面摩擦導(dǎo)致系統(tǒng)提前進入混沌狀態(tài)。系統(tǒng)進入混沌運動狀態(tài)后，考慮齒面摩擦時系統(tǒng)的最大lyapunov指數(shù)小于不考慮齒面摩擦時，表明齒面摩擦導(dǎo)致系統(tǒng)的混沌程度有所降低。此外，圖11中混沌區(qū)域中系統(tǒng)的最大lyapunov指數(shù)均存在負值，說明系統(tǒng)在混沌區(qū)域中存在著周期窗口。

3結(jié)論

(1) 建立了考慮齒面摩擦、時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、綜合嚙合誤差等因素的人字齒輪副彎曲-扭轉(zhuǎn)-軸向耦合非線性動力學(xué)模型。

圖10　齒輪副1考慮齒面摩擦時在不同量綱一頻率下的龐加萊截面圖Fig.10 The Poincaré map of gear 1 under the different dimensionless frequency

圖11　最大lyapunov指數(shù)隨頻率的變化圖Fig.11 The diagram of the maximum lyapunov exponent varying with frequency

(2) 根據(jù)人字齒輪副的嚙合特性，采用數(shù)值積分方法分析了齒輪的動態(tài)嚙合力、摩擦力以及摩擦力矩。

(3) 采用了基于彈流潤滑理論(EHL)的摩擦因數(shù)計算模型得到人字齒輪的摩擦因數(shù)。

(4) 分析了齒面摩擦對于系統(tǒng)振動位移以及分岔特性的影響。結(jié)果表明，齒面摩擦會加劇垂直嚙合線方向的振動，同時會導(dǎo)致系統(tǒng)提前進入混沌狀態(tài)且使系統(tǒng)的混沌程度有所降低。

參 考 文 獻

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Dynamic characteristics analysis of double helical gear pairs considering teeth surface sliding friction

LU Feng-xia, WANG Hao-fei, ZHU Ru-peng, BAO He-yun, JIANG Hui-hui

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract:A three-dimensional nonlinear dynamic model of a double helical gear pair with 16-DOF was established taking teeth surface sliding friction, time-varying meshing stiffness, gear backlashes and gear mesh errors into account. The dynamic equations of the system were established with Newton Second Law. The tooth meshing force, tooth friction and friction torque were calculated with numerical integration according to the meshing characteristics of the double helical gear pair. The teeth surface friction coefficient was calculated with the model based on EHL. The effects of teeth surface friction on the dynamic behaviors of the system were analyzed. The results showed that the teeth surface sliding friction can lead to increase in vibration displacements in the direction perpendicular to the line of action and decrease in vibration along the line of action; the bifurcation of the system becomes blurred at higher meshing frequencies and the chaotic motion of the system appears earlier and infirmly due to the effect of teeth surface friction. The study was helpful for the further understanding the effect of teeth surface friction on periodic vibration and nonlinear vibration of double helical gear pairs. The results provided a technical basis for the design of double helical gear transmission.

Key words:teeth surface sliding friction; double helical gear pair; chaos; bifurcation

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51475226;51305196)

收稿日期：2015-02-25修改稿收到日期：2015-05-12

中圖分類號:TH132

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.033

第一作者 陸鳳霞 女，副教授，1972年4月生