周述美， 鮑躍全， 李　惠

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱　150090)

基于結(jié)構(gòu)靈敏度分析與稀疏約束優(yōu)化的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

周述美， 鮑躍全， 李惠

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱150090)

摘要：在反問題求解中引入稀疏約束條件是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，結(jié)構(gòu)損傷識別是典型的結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題，且結(jié)構(gòu)的損傷具有空間稀疏性，也即結(jié)構(gòu)損傷發(fā)生時(shí)，只有部分單元或子結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷，基于結(jié)構(gòu)靈敏度分析與稀疏約束優(yōu)化，提出了一種結(jié)構(gòu)損傷識別方法。通過結(jié)構(gòu)靈敏度分析，建立結(jié)構(gòu)損傷剛度參數(shù)的變化量與模態(tài)參數(shù)變化量之間的線性方程組，由于實(shí)測自由度有限，引入結(jié)構(gòu)損傷稀疏性的條件，采用最小化l1范數(shù)優(yōu)化求解。通過桁架模型的數(shù)值模擬，在考慮測量噪聲的基礎(chǔ)上，對多損傷工況進(jìn)行了識別，與不考慮稀疏約束的損傷識別結(jié)果進(jìn)行了對比,并對測點(diǎn)布置與數(shù)量對識別結(jié)果的影響進(jìn)行了研究。仿真分析結(jié)果表明該方法可以在較少的測點(diǎn)下，有效地識別結(jié)構(gòu)損傷的位置與程度，并且考慮稀疏約束可以明顯增加損傷識別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測；結(jié)構(gòu)損傷識別；壓縮感知；結(jié)構(gòu)靈敏度；稀疏約束優(yōu)化

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)在世界范圍內(nèi)得到快速的發(fā)展和應(yīng)用，我國在許多大跨度橋梁上安裝了包括多種和較大規(guī)模傳感器的健康監(jiān)測系統(tǒng)[1-4]。結(jié)構(gòu)損傷識別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的核心關(guān)鍵技術(shù)，在過去的幾十年里，國內(nèi)外研究者提出了大量基于振動測試的損傷識別方法的[5-7]。這些方法按照是否需要有限元模型的角度，可以分為非模型與基于模型的損傷識別方法。非模型的損傷識別方法，通過結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)數(shù)據(jù)，識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)構(gòu)造損傷指標(biāo)，或直接從響應(yīng)數(shù)據(jù)中，提取結(jié)構(gòu)損傷特征構(gòu)造損傷指標(biāo)，然后再進(jìn)行損傷定位。如，基于頻率的結(jié)構(gòu)損傷方法，通過結(jié)構(gòu)頻率改變構(gòu)造合適的指標(biāo)進(jìn)行損傷診斷[8]。基于振型的結(jié)構(gòu)損傷診斷方法，通過結(jié)構(gòu)損傷前后振型的改變進(jìn)行損傷診斷，如模態(tài)置信度判據(jù)法，曲率模態(tài)法、剛度法、柔度法、殘余力向量法、模態(tài)應(yīng)變能法等一些經(jīng)典的方法?；谛〔〒p傷特征提取方法[9]、基于信號分解變換的HHT(Hilbert Huang Translation)方法[10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[11]、隨機(jī)子空間損傷診斷技術(shù)[12]等。

有限元模型對結(jié)構(gòu)損傷的精確定位與損傷程度的識別具有重要作用，基于模型的損傷識別方法通過結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)數(shù)據(jù)提取的模態(tài)參數(shù)或損傷特征參數(shù)，結(jié)合有限元模型，識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)，然后進(jìn)行損傷識別。該類方法中，最重要的是識別過程中的優(yōu)化求解問題，由于土木工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及實(shí)際測量信息的有限性，基于模型的損傷識別方法往往很難得到精確解。

近些年，國內(nèi)外應(yīng)用數(shù)學(xué)與信號處理領(lǐng)域提出了壓縮感知(Compressive sensing)理論[13-15]，壓縮感知理論的核心思想是只要某高維信號是可壓縮的或在某個(gè)變換域上具有稀疏性，就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的測量矩陣將該信號投影到一個(gè)低維空間上，然后通過求解一個(gè)最優(yōu)化問題以極高的概率從這些少量的投影中重構(gòu)出原始信號。壓縮感知理論一提出就在許多研究領(lǐng)域得到的廣泛的研究與應(yīng)用[16]。從本質(zhì)上講, 壓縮感知理論中的信號重構(gòu)問題就是尋找欠定方程組的最稀疏解，壓縮感知理論的提出也推動了稀疏優(yōu)化問題求解方法的研究，對時(shí)間域、空間域或某些基變換下是稀疏的反問題的求解提供了新的思路。

結(jié)構(gòu)損傷識別是典型結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的反問題，另外結(jié)構(gòu)損傷是一種稀疏的現(xiàn)象，也即結(jié)構(gòu)的損傷具有空間稀疏性。本文基于結(jié)構(gòu)靈敏分析，引入稀疏約束條件，提出了一種結(jié)構(gòu)損傷識別方法，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了方法的有效性。

1結(jié)構(gòu)靈敏度分析

對于一個(gè)n自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，通過有限單元分析可得到n階頻率ωr和n階振型φr(r=1,2,…,n)。不考慮阻尼的結(jié)構(gòu)特征方程如下所示：

(1)

剛度和質(zhì)量的改變會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率與振型等模態(tài)參數(shù)的變化，一般認(rèn)為損傷只引起剛度的改變，采用結(jié)構(gòu)模型中結(jié)構(gòu)單元剛度系數(shù)的變化來表示結(jié)構(gòu)的損傷。結(jié)構(gòu)剛度矩陣可表示為

(2)

式中,θi為剛度損傷系數(shù)；Ki表示第i個(gè)單元的單元剛度矩陣；Ne表示單元數(shù)目。

振型和頻率的靈敏度系數(shù)定義為：振型φr和頻率ωr對剛度損傷系數(shù)θi的改變率，即有?φr/?θi和?ωr/?θi。靈敏度系數(shù)的大小可以表征相關(guān)單元的剛度變化對結(jié)構(gòu)振型和頻率的影響程度。

頻率的靈敏度系數(shù)表達(dá)式為

(3)

振型靈敏度按照Zhao等[17]提出的方法進(jìn)行推導(dǎo)，由泛函理論得知，在n維線性空間中，n個(gè)線性無關(guān)的向量稱為空間的一組基。這組獨(dú)立向量可以定義整個(gè)線性空間。又由于振動理論，結(jié)構(gòu)振型之間是相互獨(dú)立的，于是一組完整模態(tài)振型可以用來定義第r階振型的靈敏度系數(shù)，振型靈敏度系數(shù)定義如下：

(4)

式中αl是一個(gè)待定系數(shù)，代表第l階振型對振型靈敏度系數(shù)的權(quán)重。αl的取值分兩種情況：

(5)

將αs代入式(4)即可得到振型靈敏度系數(shù)。

2結(jié)構(gòu)損傷識別方法

單元的剛度變化量θ與實(shí)測結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的變化量Δγ可以通過靈敏度矩陣S建立如下聯(lián)系：

Δγ=Sθ

(6)

式中，θ=[θ1,θ1,…,θNθ]T；S為靈敏度矩陣，

(7)

Sω=[Sω1,Sω2…,Sωn],

(8)

損傷引起結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的變化量表示為：

Δγ=[ΔωT,ΔφT]T

(9)

式中，Δω和Δφ為：

Δω=[Δω1,Δω2,…,Δωn]T,

(10)

(11)

(12)

(13)

3稀疏正則化優(yōu)化算法

式(11)建立了結(jié)構(gòu)單元損傷剛度變化系數(shù)向量θ與測試的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)直接的關(guān)系，但向量θ的維數(shù)遠(yuǎn)大于測點(diǎn)數(shù)目，即未知數(shù)遠(yuǎn)多于方程數(shù)，式(11)為一病態(tài)的線性方程組，但結(jié)構(gòu)單元損傷程度向量θ具有稀疏性，只有少數(shù)損傷的結(jié)構(gòu)單元其值為非零，因此可通過如下方程優(yōu)化求解

(14)

式(14)可以轉(zhuǎn)換為無約束最小化問題：

(15)

步驟1：令λ0=1,l=1；

步驟2：代入式(16)優(yōu)化求解

(16)

步驟4：λl=λl-1+Δλ，令l=l+1，并返回第2步。這里Δλ是λ的增量，本文算例中取Δλ=λ0/20。

4數(shù)值算例

建立一個(gè)桁架有限元模型，桁架總長度為8 m，每榀桁架的長度為0.4 m，總高度為0.8 m。結(jié)構(gòu)共有312個(gè)桿件，108個(gè)螺栓球節(jié)點(diǎn)連接各個(gè)桿件。整個(gè)桁架的桿件和節(jié)點(diǎn)材料為鋼材，彈性模量和密度分別為2.06×1011Pa和7 800 kg/m3，模型如圖1所示。

圖1　桁架有限元模型Fig.1 Finite element model of truss structure

考慮實(shí)際工程結(jié)構(gòu)測點(diǎn)有限的情況，選擇測點(diǎn)數(shù)為38個(gè)，布置位置如圖1所示，均為下弦桿節(jié)點(diǎn)。取結(jié)構(gòu)的前四階豎向振型和對應(yīng)的頻率，振型包括前3階豎向振型與第1階豎向扭轉(zhuǎn)振型。采用降低單元彈性模量的方法模擬損傷，設(shè)置三種損傷工況。損傷工況1為單元235損傷10%；損傷工況2為單元175與236各損傷10%；損傷工況3為單元26，60，175，190，265分別損傷5%，5%，10%，10%，10%。在有限元計(jì)算得到的前4階模態(tài)參數(shù)上加噪聲，模擬實(shí)測數(shù)據(jù)噪聲的影響，噪聲水平分別為1%，5%與10%。

(17)

4.1計(jì)算結(jié)果

圖2　損傷工況1的識別結(jié)果Fig.2 Damageidentification results of Case 1

損傷工況1的識別結(jié)果如圖2所示，圖2(a)為真實(shí)的損傷情況，圖2(b)～(d)為識別結(jié)果，從圖中看出，對1個(gè)單元損傷的工況，損傷識別結(jié)果較好，即使在10%的噪聲下，也能準(zhǔn)確識別損傷位置與損傷程度。

損傷工況2為2個(gè)單元的損傷情況，識別結(jié)果如圖3所示，圖3(a)為真實(shí)的損傷情況，單元175與236各損傷10%。圖3(b)～(d)為識別結(jié)果，從圖中看出，損傷識別結(jié)果較好，但是隨著噪聲的增加，損傷程度的識別結(jié)果準(zhǔn)確度降低，但是損傷位置識別較好。

圖3　損傷工況2的識別結(jié)果Fig.3 Damageidentification results of Case 2

圖4　損傷工況3的識別結(jié)果Fig.4 Damageidentification results of Case 3

損傷工況3為5個(gè)單元的損傷情況，識別結(jié)果如圖4所示，圖4(a)為真實(shí)的損傷情況，損傷工況3為單元26，60，175，190，265分別損傷5%，5%，10%，10%，10%。圖4(b)～(d)為識別結(jié)果，從圖中看出，對于多個(gè)單元損傷的情況，本文提出的方法仍然可以較準(zhǔn)確的識別損傷位置與損傷程度。對于多損傷的情況，隨著噪聲的增加，損傷程度的識別結(jié)果準(zhǔn)確性降低。

4.2不考慮稀疏約束的對比結(jié)果

對式(15)，不考慮稀疏約束，令λ=0，三種工況的計(jì)算結(jié)果如圖5～7所示。對于工況1，不考慮稀疏約束的情況下可以正確識別損傷情況，但10%噪聲時(shí)，損傷程度識別結(jié)果的準(zhǔn)確性降低。對考慮多損傷的工況2和3，均存在誤判的情況，且隨著噪聲的增加，識別結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)一步降低。從對比結(jié)果可以看出，考慮損傷的稀疏性，可以明顯增加損傷識別的準(zhǔn)確性。

4.3測點(diǎn)數(shù)目影響

為研究不同測點(diǎn)數(shù)目對識別結(jié)果的影響，對測點(diǎn)數(shù)[8,10,…,38]的情況分別計(jì)算損傷識別結(jié)果，識別誤差采用下式計(jì)算

圖5　λ=0時(shí)，損傷工況1的識別結(jié)果Fig.5 Damage identification results of Case 1 with λ=0

圖6　λ=0時(shí)，損傷工況2的識別結(jié)果Fig.6 Damage identification results of Case 2 with λ=0

圖7　λ=0時(shí)， 損傷工況3的識別結(jié)果Fig.7 Damage identification results of Case 3 with λ=0

(18)

計(jì)算結(jié)果如圖8所示，從圖中可以看出，隨著測量點(diǎn)數(shù)的增加，識別結(jié)果的誤差減少，相比于多個(gè)損傷的情況，損傷單元越少，誤差越小。噪聲對識別結(jié)果有影響，隨著噪聲的增加，識別誤差增大。

圖8　測點(diǎn)數(shù)目對識別結(jié)果的影響Fig.8 Influence of sensor number to identification error

圖9　24測點(diǎn)傳感器布置位置Fig.9 Placement of 24 sensors

借鑒壓縮感知理論中隨機(jī)采樣的思想，這里矩陣Γ取隨機(jī)矩陣。隨機(jī)選擇24個(gè)測點(diǎn)，研究測點(diǎn)布置位置對識別結(jié)果的影響。測點(diǎn)位置隨機(jī)布置如圖9所示。

在24個(gè)測點(diǎn)下，三種損傷工況在10%噪聲水平下的識別結(jié)果如圖10所示，從圖中可以看出，少量測點(diǎn)隨機(jī)布置的情況下仍然可以得到較好的損傷識別結(jié)果。進(jìn)一步驗(yàn)證了提出的方法的魯棒性。同時(shí)在實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)監(jiān)測系統(tǒng)中，布置的某些傳感器會在使用過程中損壞或出現(xiàn)數(shù)據(jù)測量不準(zhǔn)的情況，而且損壞的具體傳感器難以預(yù)測，具有一定的隨機(jī)性，按照傳統(tǒng)的傳感器優(yōu)化布置方法，損壞之后的傳感器可能會影響損傷識別結(jié)果。但是本文提出的方法，即使少數(shù)傳感器出現(xiàn)問題，仍然可以取得較好的識別結(jié)果。

圖10　24個(gè)測點(diǎn)時(shí)的識別結(jié)果Fig.10 Damage identification results with 24 test points

圖11　8測點(diǎn)傳感器布置位置Fig.11 Placement of 8 sensors

對8個(gè)測點(diǎn)的情況，傳感器布置如圖11所示，識別結(jié)果如圖12所示。在8個(gè)測點(diǎn)時(shí)10%噪聲情況下，對于工況1，可以較準(zhǔn)確的識別，對于工況2和3，識別結(jié)果較差。

圖12　8個(gè)測點(diǎn)時(shí)的識別結(jié)果Fig.12 Damage identification results with 8 test points

5結(jié)論

提出了基于結(jié)構(gòu)靈敏度分析與稀疏優(yōu)化的結(jié)構(gòu)損傷識別方法，該方法在結(jié)構(gòu)損傷稀疏的基礎(chǔ)上，通過靈敏度分析，建立結(jié)構(gòu)單元損傷程度與實(shí)測頻率和振型變化量之間的關(guān)系，由于實(shí)際測量點(diǎn)的有限以及測試振型的不完備，所建方程為一對噪聲敏感的病態(tài)線性方程組，傳統(tǒng)方法較難獲得準(zhǔn)確解，本文根據(jù)壓縮感知理論，引入稀疏約束對方程組進(jìn)行求解。通過一個(gè)簡支桁架模型的數(shù)值模擬，考慮噪聲影響與測點(diǎn)不完備，對方法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：提出的方法可以準(zhǔn)確的識別結(jié)構(gòu)損傷，在少量測點(diǎn)下，即使受10%的噪聲影響也可以獲得較好的損傷識別結(jié)果。與不考慮稀疏約束的損傷識別結(jié)果對比表明，考慮稀疏約可以明顯增加損傷識別的準(zhǔn)確性。

參 考 文 獻(xiàn)

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Structural damage identification based on structural sensitivity analysis and sparse restrains optimization

ZHOU Shu-mei, BAO Yue-quan, LI Hui

(School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China)

Abstract:Sparse constraints are now very popular to solve inverse problems in the field of applied mathematics. Structural damage identification is a typical inverse problem of structural dynamics; structural damage is a spatial sparse phenomenon, i.e., when structural damage occurs, only part of elements or substructures are damaged. Here, a structural damage identification method based on the structural sensitivity analysis and the sparse constraints optimization was proposed. Based on the structural sensitivity analysis, the linear equations for structural damage stiffness parameter variations and changes of modal parameters were established. Considering the structural damage sparsity conditions, the sparse constraints optimization method was employed to solve the equations. The numerical example of a truss structure considering measurement noise, incompleteness of measurements and multi-damage cases was simulated. The effects of sensor number and layout on the identification results were also investigated. The results indicated that the damage locations and levels can be effectively identified with the proposed method; considering sparse constraints, the accuracy of structural damage identification is obviously improved.

Key words:structural health monitoring; structural damage identification; compressive perception; structural sensitivity analysis; sparse restrains optimization

基金項(xiàng)目：973計(jì)劃課題(2013CB036305)；國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(51738154)

收稿日期：2015-02-09修改稿收到日期：2015-05-05

通信作者鮑躍全 男，博士，副教授，1981年6月生

中圖分類號:TU317; TU392.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.021

第一作者 周述美 男，博士生，1982年12月生

E-mail: baoyuequan@hit.edu.cn