聶存云，陳曉玲，楊繼明，顏衛(wèi)人

(湖南工程學(xué)院 a.理學(xué)院；b.紡織服裝學(xué)院，湖南 湘潭 411104)

“問題驅(qū)動式”教學(xué)法在“數(shù)值分析”課程教學(xué)中的應(yīng)用與研究

——以插值法為例

聶存云a，陳曉玲b，楊繼明a，顏衛(wèi)人a

(湖南工程學(xué)院 a.理學(xué)院；b.紡織服裝學(xué)院，湖南 湘潭 411104)

摘要：采用“問題驅(qū)動式”教學(xué)法，對《數(shù)值分析》中插值法的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行新的設(shè)計與構(gòu)建；創(chuàng)設(shè)背景問題，知識點(diǎn)在被不斷 “驅(qū)動”中得以展現(xiàn)；該教學(xué)的過程、方法和思路對學(xué)生的思維能力、動手能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)可發(fā)揮重要作用。

關(guān)鍵詞：“問題驅(qū)動式”；“數(shù)值分析”；教學(xué)方法；教學(xué)效果

中國高等教育一直處于職業(yè)教育和學(xué)術(shù)教育的“雙軌制”模式下，2014年2月教育部醞釀啟動高校轉(zhuǎn)型改革，將有600多所普通高等院校轉(zhuǎn)向應(yīng)用技術(shù)型教育，培養(yǎng)技能型人才，其中大部分將轉(zhuǎn)型為類似于德國、瑞士的“應(yīng)用科學(xué)大學(xué)”，即所謂的應(yīng)用型本科院校，定位為解決區(qū)域或地方社會、經(jīng)濟(jì)、文化等發(fā)展遇到的近期迫切的問題(如中小企業(yè)轉(zhuǎn)型升級、生態(tài)及環(huán)境保護(hù))。在這類高等院校中，對信息與計算科學(xué)專業(yè)、“卓越工程師”培養(yǎng)計劃，專業(yè)碩士研究生培養(yǎng)等，“數(shù)值分析”是一門必修課程，該課程對今后的學(xué)習(xí)與研究起著重要作用。目前，該課程的教學(xué)存在如下問題：注重純理論教學(xué)忽視實(shí)踐教學(xué)，數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)嚴(yán)密但枯燥乏味，學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣。因此，對該課程的教學(xué)方法進(jìn)行改革顯得必要且重要。目前，國內(nèi)該課程的教學(xué)改革已有一些研究工作，[1-8]但其討論不夠深入； 國外的教學(xué)改革研究則走在前沿，美國工程院院士Clever Moler在20世紀(jì)70年代提出在學(xué)習(xí)方式上，將教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究、合作、交流有機(jī)結(jié)合，注重實(shí)際應(yīng)用問題的求解，[1]可稱為“問題驅(qū)動式”教學(xué)。

“問題驅(qū)動”方法是一種重要的教學(xué)方法。該教學(xué)方法本質(zhì)上體現(xiàn)了我國古代孔子“不憤不啟,不悱不發(fā)”的教學(xué)理念：由教師或?qū)W生自己提出問題，由學(xué)生積極思考，待學(xué)生處于“憤”的狀態(tài)，教師才點(diǎn)撥啟發(fā)，讓學(xué)生繼續(xù)思考，再待到學(xué)生進(jìn)入“悱”的狀態(tài)，教師再誘導(dǎo)，使學(xué)生“柳暗花明”。[9]采用“問題”驅(qū)動課堂教學(xué)，讓學(xué)生成為主導(dǎo)者，不失為一種激發(fā)興趣、提高能力的一種有效途徑。[10-11]在強(qiáng)烈的真實(shí)問題動機(jī)的驅(qū)動下，自主探索和互動協(xié)作的學(xué)習(xí)，帶著問題學(xué)習(xí)領(lǐng)會其中的算法，并能運(yùn)用所學(xué)理論和數(shù)學(xué)軟件解決現(xiàn)實(shí)生活中的科學(xué)問題。[12]

本文以“數(shù)值分析”中的插值法[13-15]為例，介紹“問題驅(qū)動式”教學(xué)法在該章課內(nèi)和課外教學(xué)中的研究與應(yīng)用。首先對“數(shù)值分析”中插值法的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行新的設(shè)計與構(gòu)建；創(chuàng)設(shè)具有實(shí)際背景和應(yīng)用價值的“測速”插值問題，層次深入剖析問題；啟發(fā)誘導(dǎo)提出新問題，水到渠成展示新概念新算法；歸納總結(jié)求解思路與過程環(huán)環(huán)相扣融匯貫通；插值法的所有知識點(diǎn)在被不斷 “驅(qū)動”中得以充分展現(xiàn)。該教學(xué)過程、教學(xué)方法和教學(xué)思路，可不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮其主觀能動性，達(dá)到理想的理論與實(shí)踐教學(xué)效果；對于學(xué)生的思維能力、動手能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)可發(fā)揮重要作用。

一“問題驅(qū)動式”項(xiàng)目教學(xué)過程

(一)創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題

首先給出如下背景問題，激發(fā)學(xué)生興趣，并將之帶入求解該問題的情境之中。

在若干觀測點(diǎn)t=ti,i=1,2,3,4,5對沿直線行駛的汽車進(jìn)行記錄，觀測數(shù)據(jù)見表一，表中時間單位為秒 (s) ，距離為英尺(f)，速度為英尺/秒(f/s)。

表一　觀測數(shù)據(jù)

(1)預(yù)測當(dāng)t=10.5 s時汽車的位置和速度。

(2)如果再增加一個時刻的數(shù)據(jù)t=18 s，S=1343 f，v=70 f/s，再求解問題(1)。

(3)使用樣條插值的導(dǎo)數(shù)確定是否汽車在路上超過了55 mi/h的速度限制，如果超過了這個速度限制，汽車超過這個速度的第一時間在哪里？

(4)可預(yù)言的汽車最大速度是多少？

(5)預(yù)測t=23 s 時汽車的位置和速度。

(二)引導(dǎo)學(xué)生討論交流，引入相關(guān)知識點(diǎn)，逐一求解問題

首先啟發(fā)學(xué)生采用最簡單的方法進(jìn)行近似

S(10.5)≈(623+993) /2=808(f)，v(10.5)≈73(f/s)

該方法實(shí)際上蘊(yùn)含了線性插值的思想，并在黑板上圖示(見圖1)，即 S(t) ≈L1(t)=623+74(t-8)，再計算 L1(10.5)。接著，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如何得到L1(t)的表達(dá)式？除點(diǎn)斜式方程、待定系數(shù)法之外，是否還有其他方法。這樣“順勢”引入線性插值基函數(shù) l1(t),l2(t)的滿足的條件和具有的性質(zhì)。

圖1　線性插值示意圖

并將L1(t)寫為

這種近似的誤差顯然較大。然后，提出可否采用更高次(如二次、四次)的多項(xiàng)式進(jìn)行近似，“水到渠成”給出n次Lagrange 插值的定義：求多項(xiàng)式函數(shù)Ln(t)=a0+a1l1(t)+…+anln(t) 滿足

Ln(ti)=Si

從而引入相關(guān)概念：插值函數(shù)、插值節(jié)點(diǎn)、插值基函數(shù)、插值條件、多項(xiàng)式插值、三角插值等，并給出該類插值的計算公式及其誤差估計式

i=1,2,3,…,n.

并給出插值余項(xiàng)和誤差估計式，同時分析其證明思路，給出問題(1)的計算結(jié)果

S(10.5)≈806.63(f)，v(10.5)≈N'5(10.5)=73.535(f/s),

至此問題(1)涉及的知識點(diǎn)基本上被串聯(lián)在一起，學(xué)生對Lagrange插值有了較為深入的理解。對問題(2)，學(xué)生容易想到Lagrange插值，該方法雖結(jié)構(gòu)緊湊、思路清晰、程序編制容易，但增減節(jié)點(diǎn)時，所有基函數(shù)需重新計算，增加了計算量。引導(dǎo)學(xué)生思考：增減節(jié)點(diǎn)時，要求原先的計算結(jié)果對后面的計算過程仍有用，則如何改進(jìn)？是否對應(yīng)于其它插值方法？能否在前面計算的基礎(chǔ)上，只需增加一項(xiàng)的計算則可求解問題(2)？引入如下形式的Newton 插值公式

Nn(t)=a0+a1(t-t1)+a2(t-t1)(t-t2)+…+an(t-t1)…(t-tn)

對上式，只需確定和推導(dǎo)系數(shù)ai，在推導(dǎo)后可引入差商的概念及差商表

ai=S[t1,t2,…,ti+1],i=1,2,…,n.

再確定Newton插值的唯一性、誤差估計式，通過該方法可得問題(2)的結(jié)果

表二　不帶導(dǎo)數(shù)插值條件對應(yīng)的差商表

N5(10.5)=0+75(10.5-0)+0.8(10.5-0)(10.5-3)

-0.075(10.5-0)(10.5-3)(10.5-5)

+0.001538(10.5-0)(10.5-3)(10.5-5)(10.5-8)

+0.0003661(10.5-0)(10.5-3)(10.5-5)(10.5-8)(10.5-13)

S(10.5)≈806.63(f)，v(10.5)≈N'5(10.5)=73.535(f/s)。

對問題(2)，可引導(dǎo)學(xué)生積極思考，若采用Lagrange 插值進(jìn)行近似得到結(jié)果與Newton插值方法一致，但計算量較大。

上述兩種插值共同點(diǎn)為僅需函數(shù)值滿足相應(yīng)條件，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考， 是否有一類插值：函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值同時滿足相應(yīng)條件，如上述問題中的距離和速度條件。這時，則可引入如下Hermite 插值

H2n+1(ti)=Si,H'2n+1(ti)=S''ii,S''ii=S'(ti),i=1,2,3,…,n+1,

以及相應(yīng)的計算公式、誤差估計等。 這里以三次Hermite 插值為例進(jìn)行說明，

S(10.5)≈806.75(f)，v(10.5)≈73.5 (f/s)

另外，對等距節(jié)點(diǎn)差商有如下性質(zhì)

引導(dǎo)學(xué)生思考：利用極限定義差商可否轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)，將之轉(zhuǎn)化為Newton插值進(jìn)行計算，即

表三　帶導(dǎo)數(shù)插值條件對應(yīng)的差商表

可得插值函數(shù)

S(t)=623+74(t-8)-0.08(t-8)2(t-13)+0.008(t-8)2(t-13)2，

從而S(10.5)≈806.68(f)，v(10.5)≈73.52 (f/s)

此時，引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)：既對混合型的插值問題：同時滿足函數(shù)值、(高階)導(dǎo)數(shù)值條件，均可利用Newton插值方法進(jìn)行計算。

對問題(3)，考慮一類具有更高光滑性的三次樣條插值函數(shù) S3(t)∈C2[0,T]，在每個子區(qū)間上為三次函數(shù)滿足 S3(ti)=Si，內(nèi)節(jié)點(diǎn)具有直到二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，邊界滿足

S'3(t1)=α1,S'3(tn+1)=αn+1.

同時給出其公式推導(dǎo)、誤差估計。以t=ti,i=1,2,3,4,5為例給出計算結(jié)果

令S″3(t)=80.67，得t=5. 595 s， 即該車在此時刻開始超速。

最后，引導(dǎo)學(xué)生比較線性插值、二次插值、四次插值結(jié)果，是否插值函數(shù)的次數(shù)越高，精度越好呢？給出著名的Runge現(xiàn)象，并圖示(見圖2)，要求學(xué)生課后思考其改進(jìn)方法。

圖2　Runge現(xiàn)象

圖3　線性插值示意圖：(a)二維;(b)三維

解決Runge現(xiàn)象，可采用分段線性插值或分段3次Hermite插值，采用“分區(qū)”管理的思想。

問題(4) 則為求速度插值函數(shù)的最值問題，直接求速度函數(shù)的駐點(diǎn)，令S″3(t)=0，可得t=5.7448 s,vmax=S'3(t)=81.425(f/s)

問題(5)為外插(外推)問題，這里對ti=5,8,13,18 進(jìn)行外插，可得如下結(jié)果

S(23)≈1693.13(f),v(23)≈L3(23)=56.462 (f/s)。

通過對上述問題的求解，將常見的插值方法、算法、公式、誤差等循序漸進(jìn)引入，層層深入分析，達(dá)到了教學(xué)的預(yù)期效果。

(三)解決問題的基礎(chǔ)上，提出新問題進(jìn)行知識延拓

對一維插值問題進(jìn)行充分討論之后，引導(dǎo)學(xué)生思考高維插值問題，如二維線性插值，三維線性插值，其表達(dá)式，可先讓學(xué)生查閱資料，再進(jìn)行講解。對于二維線性插值(見圖3(a))，

對于圖3 (b) 情形，也可給出相應(yīng)插值函數(shù)，這里不再詳述。這些內(nèi)容實(shí)際為今后有限元的學(xué)習(xí)鋪墊基礎(chǔ)。

(四)歸納解決問題中的知識點(diǎn)，強(qiáng)化系統(tǒng)認(rèn)知能力，完善問題的結(jié)論。

學(xué)生自主結(jié)合教材和上述問題的求解，歸納總結(jié)插值法一章的知識點(diǎn)，包括插值公式、算法描述、誤差估計等，將知識點(diǎn)再一次融會貫通。

(五)課外知識鞏固

為鞏固所學(xué)知識點(diǎn)，一方面布置本章部分課后習(xí)題，另一方面可將上述背景問題進(jìn)行修改(或提供新的背景問題)，將學(xué)生分組完成；然后對習(xí)題進(jìn)行講解，對背景問題的求解進(jìn)行講評，包括學(xué)生講解、教師點(diǎn)評。

二結(jié)論與認(rèn)識

本文以“數(shù)值分析”中“插值法”一章為例，逐步創(chuàng)設(shè)了情境問題，詳細(xì)給出了“問題驅(qū)動式”教學(xué)方法的應(yīng)用過程，提出了一種嶄新的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)潛能，可提高學(xué)生的思維能力、動手能力和創(chuàng)新能力，可達(dá)到較為滿意的教學(xué)效果和人才培養(yǎng)目標(biāo)。該方法可推廣至該課程其它章的教學(xué)，也可將該方法的設(shè)計思想應(yīng)用至其它課程的教學(xué)。

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Application and Research into “Problem-driven” Method in the Course of “Numerical Analysis”——Taking Interpolation as an Example

NIE Cunyuna，CHEN Xiaolingb，YANG Jiminga,YAN Weirena

(a.College of Mathematics and Physics;b.College of Textile and Fashion，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan 411104，China.)

Abstract：Aiming at the interpolation method in the course of “Numerical Analysis” , we employ the “problem-driven ” teaching method, construct a background problem, and display all the knowledge points by many “drives”. Such a teaching process, method and idea can play an important role in the cultivation of students’ thinking, manipulation and innovation abilities.

Key words：“problem-driven”; “Numerical Analysis”; teaching method; teaching effect

收稿日期：2015-09-23

基金項(xiàng)目：湖南省普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目“教育轉(zhuǎn)型背景下信息與計算科學(xué)專業(yè)創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)體系的構(gòu)建與探索”(湘教通[2015]291號)；湖南省普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目“應(yīng)用型院校高等教學(xué)的創(chuàng)新教學(xué)模式”(湘教通[2014]247號);湖南省普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目：“服裝專業(yè)項(xiàng)目教學(xué)法——構(gòu)建卓越工程師式實(shí)踐教學(xué)模式”(湘教通[2013]223號)；湖南工程學(xué)院教學(xué)改革項(xiàng)目“‘應(yīng)用問題驅(qū)動式’項(xiàng)目教學(xué)法在研究生學(xué)位課程《數(shù)值分析》教學(xué)中的探索與實(shí)踐”(校教字[2014]34號)。

作者簡介：聶存云(1974-)，男，湖南湘潭人，博士，副教授，研究方向：數(shù)值計算方法、教學(xué)方法。

中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-1181(2016)02-0100-05