張 義（甘肅省張掖市第六中學(xué)，甘肅 張掖 734000）

?

線性方程組消元法與解的結(jié)構(gòu)關(guān)系探討

張 義
（甘肅省張掖市第六中學(xué)，甘肅 張掖 734000）

摘 要：二元一次方程組解的幾何意義就是在平面直角坐標(biāo)系中兩條直線的交點(diǎn)。對(duì)于三元一次方程組，它的解的幾何意義則是在三維笛卡爾坐標(biāo)系中三個(gè)平面的交點(diǎn)。文章主要探討消元法與解的結(jié)構(gòu)間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：線性方程；消元法；結(jié)構(gòu)；關(guān)系探討

記得上中學(xué)時(shí)，我的數(shù)學(xué)老師在黑板上寫下一個(gè)四元一次方程組，正當(dāng)我在演算紙上埋頭苦算的時(shí)候，老師神秘地說：“我不用計(jì)算就可以一眼看出這個(gè)方程組無(wú)解。”當(dāng)時(shí)我對(duì)老師的崇拜簡(jiǎn)直如滔滔江水般綿延不絕。

為什么我的老師能一眼看出這個(gè)方程組無(wú)解呢？老師的回答是當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)少于方程的個(gè)數(shù)時(shí)方程就無(wú)解，當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)時(shí)方程無(wú)確定解。當(dāng)時(shí)只是一知半解，現(xiàn)在就讓我們一起來探尋消元法與解的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。

下面我們來看一道例題，以觀察其基本規(guī)律。解：分別把方程組（2.1）的第一個(gè)方程的（-7）倍和（-5）倍加到第二個(gè)方程和第三個(gè)方程上，消去這兩個(gè)方程中的未知量x1，

上面的第三個(gè)方程兩邊除以（-9），得

變換第二、三個(gè)方程，得

將上面的第二個(gè)方程的（6）倍加到第三個(gè)方程上，消去x2，得

這個(gè)階梯型方程組（2.2）和原方程組（2.1）同解。

由（2.2）的最后一個(gè)方程可得x3=-2，再把x3=-2代入第二個(gè)方程得x2=5。最后，把x2=5，x3=-2代入第一個(gè)方程，解得x1=-3。

所以原方程的解為

在求解的過程中，對(duì)方程組進(jìn)行初等變換，我們常說對(duì)線性方程組進(jìn)行初等變換方程的解不變，所以其實(shí)消元法就是反復(fù)對(duì)方程組進(jìn)行初等變換。

發(fā)現(xiàn)：在求解的過程中，我們只是對(duì)各方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了計(jì)算，因此求解過程可以寫得更簡(jiǎn)單一些。

線性方程組（2.1）可以用矩陣來表示：

此矩陣稱為方程的增廣矩陣。這時(shí)，對(duì)方程組（2.1） 進(jìn)行初等變換，就相當(dāng)于對(duì)（2.3） 的各行進(jìn)行相應(yīng)的變換，它們被稱為矩陣的初等變換。

矩陣的初等行變換有三種：

1.以一個(gè)非零常數(shù)乘以矩陣的某一行；

2.把矩陣的某一行的常數(shù)倍加到另一行上；

3.互換矩陣兩行的位置。

利用矩陣記號(hào)，上述例題的消元過程可以簡(jiǎn)單地寫為：

最后一個(gè)階梯型矩陣就對(duì)應(yīng)著方程組中的（2.2），我們繼續(xù)利用矩陣的初等行變換把上面的回代過程表示為：

由此可直接得到方程組（2.1）的解為：

可以看出消元法就是對(duì)線性方程組的增廣矩陣作行的初等變換的過程。當(dāng)然，不論線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是否相同，都可以用上面的矩陣的初等變換來求解。

下面我們來看線性方程組的一般形式：

為了討論（2.4）的解的情況，只需對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換。

我們不妨設(shè)A的前n列中任意一列的元素不全為零。否則，若對(duì)某個(gè)j（1≤j≤n），第j列元素aij全為零，則方程組（2.4）中不含未知量xj，我們只需求解余下的n-1個(gè)未知量的方程組了。所以，當(dāng)a11，a21，…am1不全為零，那么利用初等變換3，可以設(shè)a11≠0。利用初等變換2，分別把第一行的倍加到第i行上 。于是（i=2，…，m）化為：

由后m-1行，右邊的n列可以組成一個(gè)（m-1）*n矩陣，對(duì)此矩陣重復(fù)進(jìn)行上述變換，直到A化為如下階梯型矩陣為止：

以上就是用消元法解線性方程組的過程。先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0 ”（如果出現(xiàn)的話）去掉。如果剩下的方程中最后一個(gè)等式是零等于一個(gè)非零常數(shù)，則方程組無(wú)解，否則有解。在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù) 等于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有唯一解，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程有無(wú)窮多個(gè)解。

現(xiàn)在就可以解釋我的老師當(dāng)時(shí)為什么可以一眼看出那個(gè)式子為什么無(wú)解了，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)那個(gè)方程組中有兩個(gè)式子簡(jiǎn)單地化簡(jiǎn)一下就可以推出零等于一個(gè)非零常數(shù)，直接可以推導(dǎo)出這個(gè)方程組無(wú)解。

參考文獻(xiàn)：

［1］弓愛芳，郭明月.線性方程組各種解法的討論與思考［J］.高等函授學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005（10）.

［2］劉從義.線性方程組的求解及其應(yīng)用［J］.考試周刊，2013（1）.

［責(zé)任編輯 房曉偉］

Discussion on the Structural Relationship between the Elimination Method and the Solution of Linear Equations

ZHANG Yi
（Zhangye No.6 Middle School，Zhangye Gansu，734000，China）

Abstract:Geometric meaning of the solution of binary linear equation group is the intersection between two lines in the plane right-angle coordinate system.Geometric meaning of the solution of three-variable linear equation group is the intersecting point of the three planes in the three-dimensional Cartesian coordinate system.The paper discusses the relationship between elimination method and structure of solution.

Key words:linear equation； elimination method； structure； relationship discussion

中圖分類號(hào)：G63

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-9132（2016）20-0233-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.20.128