邵 璞，趙慶生，郭賀宏，張學(xué)軍

(1.太原理工大學(xué)電氣與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.國(guó)網(wǎng)臨汾供電公司，山西 臨汾 041000；3.山西大學(xué), 山西 太原 030006)

全相位-混合基 FFT 在相量測(cè)量裝置中的實(shí)現(xiàn)

邵 璞1，趙慶生1，郭賀宏2，張學(xué)軍3

(1.太原理工大學(xué)電氣與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.國(guó)網(wǎng)臨汾供電公司，山西 臨汾 041000；3.山西大學(xué), 山西 太原 030006)

傳統(tǒng)的傅里葉變換在測(cè)量非整周期的數(shù)據(jù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)頻譜泄露的現(xiàn)象，而快速傅里葉變換(FFT)只能對(duì)長(zhǎng)度為2 的整次冪(基-2)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，無法對(duì)非基-2 的其他數(shù)據(jù)計(jì)算。為了解決以上問題，提出了一種全相位-混合基 FFT 算法。并詳細(xì)介紹了全相位 FFT、混合基 FFT 的原理以及全相位-混合基 FFT 在 DSP 中的實(shí)現(xiàn)過程。通過測(cè)試表明全相位-混合基 FFT 在電壓、頻率的測(cè)量精度較傳統(tǒng) FFT 有一定優(yōu)勢(shì)。將該算法應(yīng)用到以 DSP 為核心的相量測(cè)量裝置當(dāng)中，對(duì)電網(wǎng)的狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，實(shí)測(cè)結(jié)果證明該算法準(zhǔn)確可靠，在電力系統(tǒng)運(yùn)行當(dāng)中有一定實(shí)用價(jià)值。

全相位 FFT；混合基 FFT；DSP；全相位-混合基 FFT；相量測(cè)量

0 引言

電網(wǎng)運(yùn)行處于一個(gè)不斷變化的狀態(tài)，持續(xù)維持在動(dòng)態(tài)的平衡，因此對(duì)其狀態(tài)的精確監(jiān)控十分重要。在電網(wǎng)的實(shí)際運(yùn)行當(dāng)中，快速傅里葉算法(FFT)在相量測(cè)量中占有十分重要的地位。但傳統(tǒng)的 FFT 計(jì)算在采樣時(shí)只考慮了一種頻率截?cái)嗲闆r，因此在處理非整周期信號(hào)時(shí)會(huì)出現(xiàn)頻譜泄漏現(xiàn)象[1-2]導(dǎo)致測(cè)量的精度降低。而且快速傅里葉變換只能針對(duì)長(zhǎng)度為2 的整次冪的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理[3-4]，對(duì)于不滿足基-2 長(zhǎng)度的采樣數(shù)據(jù)則無法通過FFT快速分析得到數(shù)據(jù)的相位和幅值信息，不能滿足電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行當(dāng)中對(duì)復(fù)合數(shù)處理的要求，例如 IEC61850 中規(guī)定的 80點(diǎn)/周波采樣要求。

為了解決頻譜泄露現(xiàn)象，文獻(xiàn)[5]將全相位 FFT算法應(yīng)用到 FPGA 中，設(shè)計(jì)了高精度時(shí)移相位差測(cè)頻系統(tǒng)，使頻譜分析的頻率分辨率達(dá)到了 0.2%的級(jí)別。文獻(xiàn)[6]則基于全相位 FFT 的初相不變性在FPGA 平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了一種高精度的頻率測(cè)量方案，該方案測(cè)量結(jié)果不易受采樣點(diǎn)數(shù)變化影響，且不需要增加頻譜校準(zhǔn)算法即可得到準(zhǔn)確的相位信息。但是全相位FFT算法沒有解決不能處理非基-2的整次冪的復(fù)合數(shù)這個(gè)問題。

對(duì)于數(shù)據(jù)項(xiàng)為非 2 的整次冪數(shù)據(jù)，文獻(xiàn)[7]通過線性拉格朗日插值方法對(duì)信號(hào)再次抽取，抽取后得到數(shù)據(jù)即可進(jìn)行傳統(tǒng)的 FFT 分析。文獻(xiàn)[8]提出一種不需要上述插值的測(cè)量方案，通過對(duì)數(shù)據(jù)的稀釋采樣，用修正均方根算法即可計(jì)算出數(shù)據(jù)的結(jié)果。兩種方案解決了針對(duì)長(zhǎng)度為非基-2的復(fù)合數(shù)的快速計(jì)算問題，但是在處理非整周期的采樣數(shù)據(jù)時(shí)仍然存在頻譜泄露的情況。

針對(duì)以上問題，本文提出了全相位-混合基 FFT算法，該算法結(jié)合全相位FFT和混合基FFT的優(yōu)點(diǎn)，可以對(duì)點(diǎn)數(shù)為2和5的整次冪的復(fù)合數(shù)進(jìn)行快速計(jì)算，同時(shí)在加入一定的數(shù)據(jù)預(yù)處理之后可以很好地抑制頻譜泄露現(xiàn)象，提高算法的測(cè)量精度。結(jié)合數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力和方便的FFT 庫(kù)函數(shù)，將其應(yīng)用到以 DSP 為核心的相量測(cè)量裝置中，可以提高測(cè)量精度，擴(kuò)展測(cè)量范圍。

1 算法介紹

全相位混合基FFT算法的基本原理是先用全相位 FFT 的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使其減少頻譜泄露，同時(shí)提高相位測(cè)量精度，之后調(diào)用混合基 FFT進(jìn)行計(jì)算得到最終的結(jié)果。下面將分別介紹全相位FFT 和混合基 FFT 的計(jì)算原理。

1.1 全相位 FFT

全相位FFT考慮了包含采樣點(diǎn)的N種循環(huán)移位相加的情況。對(duì)于時(shí)間序列中的一點(diǎn) (0)x ，存在且只存在N列包含該點(diǎn)的N維列向量：

將以上N個(gè)向量相加之后求取平均值，則可得到經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理的全相位數(shù)據(jù)向量：

由傅里葉變換特性可知，經(jīng)過預(yù)處理后的數(shù)據(jù)作FFT計(jì)算結(jié)果和分別將每組數(shù)據(jù)作FFT計(jì)算得到的結(jié)果相同。雖然全相位 FFT 包含 N 種 FFT 計(jì)算的情況，但是在實(shí)際計(jì)算過程中，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理之后只需要進(jìn)行1次計(jì)算即可完成，大大節(jié)省了計(jì)算量，縮短了計(jì)算時(shí)間。根據(jù) FFT 的移位性質(zhì)，式(2)的經(jīng) 過 FFT 計(jì) 算 得 到 的和 式(1)的經(jīng)過FFT計(jì)算得到的之間存在如下關(guān)系：

因此對(duì)于單頻復(fù)指數(shù)信號(hào)：

而直接通過 FFT 變換得到的頻譜為

對(duì)比式(7)和式(8)，式(7)中的平方關(guān)系對(duì)所有譜線都成立，因此旁譜線衰減得更明顯，從而使主譜線突出，達(dá)到抑制頻譜泄露的效果。由式(7)得知計(jì)算得到的初相為，不受頻率偏移量影響，具有相位不變性，如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)加窗 FFT 與全相位 FFT 振幅和相位對(duì)比Fig. 1 Phase and amplitude contrast of traditional windowed FFT and ap-FFT

圖1 顯示了在進(jìn)行非整數(shù)倍頻率采樣時(shí)，全相位 FFT 可以更出色地抑制頻譜泄露，使旁譜線的數(shù)量和幅值都大幅減少。在進(jìn)行相位測(cè)量時(shí)，傳統(tǒng)的FFT 需要通過頻譜校正算法才能獲得較為準(zhǔn)確的相位值，而全相位 FFT 算法相頻特性自始至終均為一條平整的直線，在任意頻點(diǎn)都可以得到精準(zhǔn)的相位信息。為了在非基-2采樣點(diǎn)下實(shí)現(xiàn)全相位FFT算法，需要加入混合基 FFT 的計(jì)算。

1.2 混合基 FFT

快速傅里葉變換(FFT)以離散傅里葉變換(DFT)為基礎(chǔ)，F(xiàn)FT 計(jì)算考慮到旋轉(zhuǎn)因子的特性，通過其周期性和對(duì)稱性使DFT算法的計(jì)算次數(shù)大幅減小。因此在進(jìn)行混合基 FFT 分析時(shí)，同樣可以用 DFT算法進(jìn)行推導(dǎo)。N點(diǎn)DFT計(jì)算公式為

對(duì)于長(zhǎng)度為N的采樣序列，當(dāng)N為2的整次冪時(shí)，可根據(jù)旋轉(zhuǎn)因子的周期性和對(duì)稱性直接調(diào)用FFT 進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)N 不為 2 的整數(shù)次冪時(shí)，可以把N分解為和兩個(gè)因子的乘積，定義n和k為

將其代入式(9)得

其中式(11)中括號(hào)部分可以寫為

將式(13)代入式(11)得

由此可以得到，在計(jì)算N 點(diǎn)的 DFT 時(shí)，可以將其分解為和兩 個(gè)因子的DFT分別計(jì)算，而中存在 2 的整次冪的數(shù)據(jù)時(shí)，可以調(diào)用 FFT進(jìn)行快速計(jì)算，由此可以得到混合基 FFT 的計(jì)算方法，將DFT序列分解為和兩個(gè)因子的乘積，先計(jì)點(diǎn) DFT，乘以旋轉(zhuǎn)因子之后再計(jì)算最終可以得到計(jì)算結(jié)果。

2 全相位-混合基 FFT 算法的實(shí)現(xiàn)

為了將全相位-混合基 FFT 算法移植到 DSP 平臺(tái)上，需要在 Code Composer Studio3.3(CCS)平臺(tái)上用 C 語言編程來實(shí)現(xiàn)，CCS 是適用于德州儀器(TI)嵌入式處理器的集成開發(fā)環(huán)境。

根據(jù) IEC61850 提出的采樣點(diǎn)數(shù)為 80 點(diǎn)/周波的要求，本文對(duì) 80 點(diǎn)全相位 FFT 計(jì)算流程的實(shí)現(xiàn)做詳細(xì)的介紹。全相位混合基 FFT 算法以傳統(tǒng) FFT為基礎(chǔ)，主要的處理分為兩部分：全相位的數(shù)據(jù)預(yù)處理以及混合基 FFT 的計(jì)算，下面將從這兩部分詳細(xì)敘述 80 點(diǎn)全相位 FFT 的實(shí)現(xiàn)。

為了進(jìn)行全相位 FFT 計(jì)算，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。對(duì)于同樣N 次的計(jì)算，F(xiàn)FT 需要 N 點(diǎn)數(shù)據(jù)可得到的結(jié)果，而全相位 FFT 需要處理的數(shù)據(jù)增加N- 1點(diǎn)。這2 N- 1點(diǎn)數(shù)據(jù)并不是一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)，而是在原來一個(gè)周期采樣的基礎(chǔ)上向前延拓N- 1點(diǎn)，得到最終需要處理的數(shù)據(jù)。增加的數(shù)據(jù)使信號(hào)變得連續(xù)平滑，周期延拓后不會(huì)出現(xiàn)跳變，可以很好地抑制頻譜泄露，使測(cè)量的數(shù)值更接近真實(shí)值。

由此可以確定，在進(jìn)行 80 點(diǎn)全相位-混合基FFT計(jì)算時(shí)，需要處理的數(shù)據(jù)為80′ 2- 1=159點(diǎn)。在得到全相位FFT的預(yù)處理數(shù)據(jù)之后就可以進(jìn)行混合基FFT 計(jì)算以求得采樣數(shù)據(jù)的幅值和相位信息。80 采樣點(diǎn)的數(shù)據(jù)可以分解為：即可以變換為 5 行 16 列的數(shù)據(jù)矩陣， 16 點(diǎn)的數(shù)據(jù)可以調(diào)用 TI的 FFT 庫(kù)進(jìn)行快速算，而 5 點(diǎn)的數(shù)據(jù)可以根據(jù) DFT 的定義進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算。

TI公司在 2002 年推出了針對(duì) DSP 計(jì)算的 FFT庫(kù)文件 C28x_FixedPoint_Lib.lib。該庫(kù)文件中定義了不同點(diǎn)數(shù)不同數(shù)據(jù)類型的 FFT 計(jì)算，以適應(yīng)各種類型的原始數(shù)據(jù)。根據(jù)要求，本文選擇 16 點(diǎn)的 FFT計(jì)算。在計(jì)算完成之后乘以旋轉(zhuǎn)因子，隨即可以進(jìn)行 5 點(diǎn)的 DFT 計(jì)算，如式(14)，最終得到采樣數(shù)據(jù)的相位和幅值信息。具體計(jì)算流程如下所述。

1) 構(gòu)造兩個(gè) 80 點(diǎn)的漢寧窗，兩個(gè)窗函數(shù)之間求卷積，得到 159 點(diǎn)的卷積窗并將輸入信號(hào)的 159點(diǎn)數(shù)據(jù)項(xiàng)和歸一化卷積窗相乘，使數(shù)據(jù)加窗；

2) 根據(jù)式(3)，將加窗數(shù)據(jù)第 80 項(xiàng)作為處理后數(shù)據(jù)的第 1 項(xiàng)，第 1 項(xiàng)和第 81 項(xiàng)相加作為處理后數(shù)據(jù)的第 2 項(xiàng)，第 2 項(xiàng)和第 82 項(xiàng)相加作為處理后數(shù)據(jù)的第3項(xiàng)，…，第 79項(xiàng)和最后一項(xiàng)相加作為處理后數(shù)據(jù)的最后一項(xiàng)，由此得到最終的數(shù)據(jù)預(yù)處理序列；

3) 將 80 點(diǎn)數(shù)據(jù)序列通過 Q 格式轉(zhuǎn)換變?yōu)?DSP可以運(yùn)算的整型數(shù)據(jù)格式；

4) 將處理的 80 點(diǎn)數(shù)據(jù)分解為 5 行 16 列的陣列；

5) 調(diào)用 FFT 算法對(duì)每一行 16 點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算；

6) 由式(14)對(duì)陣列中的每個(gè)值乘以旋轉(zhuǎn)因子；

7) 對(duì)每一列 5 點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行 DFT 運(yùn)算；

8) 計(jì)算完成得到采樣信號(hào)的幅值相位信息；

9) 通過相鄰采樣數(shù)據(jù)的相角變化求得輸入信號(hào)的頻率。

3 算法應(yīng)用

為了驗(yàn)證全相位-混合基 FFT 算法的準(zhǔn)確度，針對(duì)式(6)的單頻復(fù)指數(shù)信號(hào)設(shè)置不同幅值不同頻率的電壓信號(hào)進(jìn)行測(cè)試，并在同樣條件下比較傳統(tǒng)64 點(diǎn) FFT 算法，結(jié)果如表1 和表2 所示。

表1 相同幅值時(shí)不同頻率下 FFT 和全相位-混合基 FFT 對(duì)比Table 1 Different frequency amplitude contrast about all phasemixed radix FFT and FFT when amplitude is same

表2 相同頻率時(shí)不同幅值下 FFT 和全相位-混合基 FFT 對(duì)比Table 2 Different amplitude contrast about all phase-mixed radix FFT and FFT when frequency is same

從測(cè)量結(jié)果可以看出，在使用全相位-混合基FFT 算法進(jìn)行相量測(cè)量的時(shí)候，無論是幅值還是頻率的測(cè)量精度，其測(cè)量結(jié)果都比傳統(tǒng) FFT 算法計(jì)算出的結(jié)果更加接近真實(shí)值。

整個(gè)計(jì)算過程是在微處理器 TSM320F2812 中實(shí)現(xiàn)的，它是 TI公司推出的定點(diǎn)型 DSP 處理器，在Q格式轉(zhuǎn)換的過程中需要將數(shù)據(jù)取整，所以必然會(huì)帶來一定舍入誤差。而在全相位-混合基 FFT 計(jì)算的過程中，采用數(shù)據(jù)加窗、求和以及Q格式轉(zhuǎn)換整體造成的誤差低于在FFT計(jì)算中僅僅進(jìn)行Q格式轉(zhuǎn)換帶來的誤差。通過得到的結(jié)果分析，全相位-混合基 FFT 計(jì)算的精度高于傳統(tǒng) FFT 計(jì)算。

在進(jìn)行全相位-混合基 FFT 算法和傳統(tǒng) FFT 算法的測(cè)量精度對(duì)比之后，本文將全相位-混合基 FFT算法應(yīng)用到相量測(cè)量裝置中進(jìn)行實(shí)際運(yùn)行，以檢測(cè)其測(cè)量效果。相量測(cè)量單元的硬件構(gòu)成如圖2 所示。

圖2 相量測(cè)量單元原理框圖Fig. 2 Block diagram of the phase measurement unit

采集到的市電電壓通過信號(hào)調(diào)理模塊進(jìn)入模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片，經(jīng)過模數(shù)轉(zhuǎn)換后將采集到的數(shù)據(jù)送到DSP 進(jìn)行處理，在調(diào)用全相位-混合基 FFT 算法計(jì)算后，將得到的電壓幅值以及頻率信息通過 CAN轉(zhuǎn)以太網(wǎng)模塊發(fā)送到上位機(jī)進(jìn)行顯示。將相量測(cè)量裝置接入到大同市第二發(fā)電廠的用戶側(cè)，進(jìn)行了數(shù)據(jù)采集和處理之后，其電壓和頻率結(jié)果如圖3 所示。

圖3 全相位-混合基 FFT 計(jì)算得到的電壓和頻率值Fig. 3 Voltage and frequency values calculated by all phase mixed radix FFT

測(cè)量時(shí)的電壓有效值在 220~235 V 之間波動(dòng)，期間有兩次較大的電壓變化，電壓下降到 210 V 左右，而頻率較為穩(wěn)定，一直維持在 50 Hz 左右。從圖形可以看出，全相位 FFT 算法準(zhǔn)確的捕捉到了兩次電壓暫降，在實(shí)際應(yīng)用中可以達(dá)到較好的測(cè)量效果。

4 結(jié)論

本文提出了全相位-混合基 FFT 算法，該算法可以針對(duì)以 2 和 5 為基的復(fù)合數(shù)進(jìn)行處理，使 FFT算法在相量測(cè)量中的應(yīng)用范圍得到擴(kuò)展，在應(yīng)用全相位數(shù)據(jù)預(yù)處理之后可以有效地減少頻譜泄露，提高測(cè)量精度。將該算法應(yīng)用到以 DSP為核心的相量測(cè)量裝置中，用于監(jiān)測(cè)電網(wǎng)的電壓和頻率實(shí)際測(cè)量說明在相量測(cè)量中該算法有一定實(shí)用價(jià)值。

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Realization of all phase-mixed radix FFT on the phase measurement device

SHAO Pu1, ZHAO Qingsheng1, GUO Hehong2, ZHANG Xuejun3
(1. College of Electrical and Power Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China; 2. Linfen Electric Power Company, Linfen 041000, China; 3. Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

The traditional FFT algorithm may cause spectrum leakage while calculating frequency and amplitude. The FFT algorithm is usually radix-2 FFT which can’t compute sequences that length is composite accurately. To solve these problems, an all phase-mixed radix FFT algorithm is proposed. All phase FFT, mixed radix FFT principle and the realization process of all phase-mixed FFT are also introduced. Through the actual test it is shown that all phase-mixed radix FFT algorithm outperforms traditional FFT algorithm in voltage and frequency measurement. Moreover, the algorithm is applied in the DSP for monitoring actual power grid as the core of the phase measurement device. The actual application result shows that the algorithm is accurate and reliable, and it has certain practical value upon the phase measurement.

all phase FFT; mixed radix FFT; DSP; all phase-mixed radix FFT; phasor measurement

10.7667/PSPC151774

：2016-02-28

邵 璞(1990-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng) 監(jiān) 測(cè) 裝 置 的 設(shè) 計(jì) 和 頻 率 測(cè) 量 技 術(shù) 的 研 究 ； E-mail: shaopu1004@163.com

(編輯 葛艷娜)

國(guó)網(wǎng)山西省電力公司科技項(xiàng)目資助(晉電發(fā)展[2014]88 號(hào))

趙慶生(1969-)，男，通信作者，副教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行與控制及電力系統(tǒng)建模與仿真的研究。E-mail: zhaoqs1996@163.com