李百宏，強　蕊

(西安科技大學(xué),陜西 西安　710054)

用波爾共振儀研究混沌現(xiàn)象

李百宏，強蕊

(西安科技大學(xué),陜西 西安710054)

摘 要：用半導(dǎo)體激光器作為光源，用鼠標(biāo)作為位移傳感器，將波爾共振儀擺輪的振動轉(zhuǎn)化為鼠標(biāo)的運動軌跡，并通過Ghost Mouse-Setup軟件記錄鼠標(biāo)軌跡，最后通過Labview軟件對記錄的軌跡進行信號處理，通過觀察分析吸引子來研究波爾共振儀中的混沌現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明：波爾共振儀中擺輪做阻尼振動時，其振動振幅出現(xiàn)隨時間逐漸減小，最終停止擺動的確定性規(guī)律，但每一次擺輪的運動過程都是隨機的，各不相同。只要時間足夠長，擺輪最終都會收縮成一點，形成穩(wěn)定的焦點，即混沌吸引子。這就是波爾共振儀中擺輪做阻尼振動出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：波爾共振儀；混沌現(xiàn)象；鼠標(biāo)；Labview

波爾共振儀是目前大學(xué)物理實驗教學(xué)中最常使用的對簡諧振動、阻尼振動和受迫振動等多種物理實驗現(xiàn)象進行觀察和測量的實驗裝置[1,2]。同時，用它還可以進一步觀察和研究混沌現(xiàn)象[3-7]。本實驗利用本校物理實驗室現(xiàn)有的實驗儀器，采用半導(dǎo)體激光器作為光源，用鼠標(biāo)作為位移傳感器，將波爾共振儀擺輪的振動轉(zhuǎn)化為鼠標(biāo)的運動軌跡，并通過Ghost Mouse-Setup軟件記錄鼠標(biāo)軌跡，最后通過Labview軟件對記錄的軌跡進行信號處理，通過觀察分析吸引子來研究波爾共振儀中的混沌現(xiàn)象。

1實驗原理

動力系統(tǒng)長時間演化的極限狀態(tài)，即在t→∞時系統(tǒng)狀態(tài)的歸宿，稱為吸引子。只有耗散系統(tǒng)才有吸引子。而波爾共振儀由于存在較小的阻力，同時可以人為地加上一定的阻力，使耗散放大化，便于觀察。在二維系統(tǒng)中，吸引子主要是穩(wěn)定的結(jié)點，焦點和極限環(huán)3種。波爾共振儀的結(jié)構(gòu)如圖1所示：

眾所周知，光電鼠標(biāo)是電腦的一個部件，其內(nèi)部有一個光學(xué)感應(yīng)器，是鼠標(biāo)的核心，其實質(zhì)相當(dāng)于一個位移傳感器，在日常生活中，當(dāng)移動鼠標(biāo)時，屏幕上的光標(biāo)便隨之移動，同樣，如果保持鼠標(biāo)不動，移動鼠標(biāo)墊，光標(biāo)依然跟著移動。在本實驗中，通過鐵架臺將鼠標(biāo)固定在擺輪的一側(cè)，而擺輪則充當(dāng)“鼠標(biāo)墊”。實驗時，當(dāng)擺輪振動時，光標(biāo)便移動，從而實現(xiàn)了對擺輪振動信號的非接觸性連續(xù)測量[5]，由于光電鼠標(biāo)內(nèi)部的發(fā)光二級管光太弱，以至于必須使鼠標(biāo)與擺輪足夠近才可以，為此，采用半導(dǎo)體激光器來增強鼠標(biāo)對光的敏感性。

波爾共振儀可以用來做近似自由振動、阻尼振動等試驗，而波爾共振儀存在內(nèi)在的阻力(非線性)，使得振動具有不確定性，通過實驗研究不確定性中的現(xiàn)象，進而作分析討論。

圖1　波爾共振儀結(jié)構(gòu)圖

1.1擺輪的自由振動

擺輪的自由振動理論相圖是一個閉合的圓，由于彈簧片存在較小的阻尼，所以擺輪的自由振動并非真正意義上的自由振動，它相當(dāng)于外加一個較小的阻尼力矩做功，轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉，它的軌跡會緩慢的趨向于圓心。

1.2擺輪的阻尼振動

在有阻力矩的情況下，使擺輪由某一擺角開始做自由振動，此時，擺輪受到兩個力矩的作用：一是彈性恢復(fù)力矩，它與擺輪的扭轉(zhuǎn)角成正比；二是阻力矩，可近似認(rèn)為它與擺輪的角速度成正比。若擺輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律得擺輪的轉(zhuǎn)動方程：

(1)

解得：

θ=A0e-βtcoswt

(2)擺輪的振幅θ隨時間的指數(shù)規(guī)律衰減，通過數(shù)據(jù)采集不同時期下的θ值，可得由于內(nèi)在阻力做功，轉(zhuǎn)化為熱能散失，故其運動軌跡將趨于一點，此點好像是吸引著其它點向它靠近，故稱為奇異吸引子，通過測不同阻尼系數(shù)下的θ，作圖對比得到一定的結(jié)論。

2實驗流程

首先，按照實驗原理連接實驗裝置，見圖2。在連接實驗儀器時，尤其是要注意鼠標(biāo)與半導(dǎo)體激光器和波爾共振儀的相對位置，實驗時，由于擺輪自身因素的影響，同時為避免鼠標(biāo)自身反射光的接收，可以保持波爾共振儀和半導(dǎo)體激光器的位置不變，反復(fù)調(diào)節(jié)鼠標(biāo)的位置，使得屏幕上的光標(biāo)能夠很好地刻畫擺輪的振動狀態(tài)。

手動調(diào)節(jié)有機玻璃盤上的零度標(biāo)志線，使其指向0，此時的擺輪應(yīng)靜止于平衡位置，觀察光電門A、B的位置，確保其通光且不與其他物接觸。

2.1擺輪的自由振動

擺輪在適當(dāng)角度(角度過大時，光標(biāo)移出屏幕)做“自由振動”，將阻尼選擇“0”檔， 手動調(diào)節(jié)擺輪，使擺輪做自由振動，同時啟動GhostMouse-Setup記錄鼠標(biāo)的運動軌跡，重復(fù)記錄3次，選擇最佳的一次。

2.2擺輪的阻尼振動

(1)將阻尼開關(guān)撥至“1”檔，手動調(diào)節(jié)擺輪，使擺輪振動并記錄其運動軌跡；

(2)將阻尼開關(guān)撥至“3”檔，手動調(diào)節(jié)擺輪，使擺輪振動并記錄其運動軌跡；

重復(fù)(1)(2)各3次。

圖2　實驗裝置實物圖

3實驗結(jié)果與討論

理論上，擺輪的自由振動應(yīng)該是來回往復(fù)運動，由自由振動的波形圖3可看到，由于存在較小的阻尼，系統(tǒng)將振動的能量轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉，反映到圖像上就是經(jīng)過很長一段時間，擺輪趨于穩(wěn)定的一點，此點就是系統(tǒng)的焦點，也稱吸引子。

圖3　(a)自由振動原始軌跡 (b)自由振動波形圖表

由圖4與圖5對比可得，阻尼3檔下，波形圖表來回的次數(shù)少于阻尼1檔下的波形圖，說明了隨著阻尼的增大，幅值衰減的越來越快，系統(tǒng)越容易趨向于穩(wěn)定的焦點。綜上，由于存在較小的內(nèi)在阻尼，波爾共振儀的自由振動并不是真正意義上的自由振動，而阻尼振動由于人為地加了一定的阻力，使得系統(tǒng)的幅值衰減放大化，同時也時系統(tǒng)更容易向焦點靠近。

圖4　(a)阻尼1下的原始軌跡 (b)阻尼1下的波形圖表

圖5　(a)阻尼3下的原始軌跡 (b)阻尼3下的波形圖表

由以上波形圖可看出，幅值隨時間的變化出現(xiàn)了向下的偏移，其原因可能是以下幾點：

1)鼠標(biāo)與擺輪的相對位置所影響。實驗時，通過反復(fù)調(diào)節(jié)鼠標(biāo)的位置，可能是鼠標(biāo)的位置不是最佳位置，使得振動軌跡出現(xiàn)偏移量，在實驗時，稍微改變鼠標(biāo)的位置，軌跡都會有很大的變化；

2)實驗時，由于鼠標(biāo)自身的反射光被接受，改變了振動軌跡；

3)系統(tǒng)誤差：擺輪本身并不是一個標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量分布均勻的物體，實際上是一個偏心輪；這將導(dǎo)致奇異吸引子的位置發(fā)生移動。

4結(jié)論

本文利用本校現(xiàn)有實驗條件，對波爾共振儀中擺輪做阻尼振動出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象進行了實驗研究。結(jié)果表明，波爾共振儀中擺輪做阻尼振動時，其振動振幅隨時間逐漸減小，最終停止擺動。這種振動的規(guī)律是確定的，只要有阻尼，波爾共振儀中擺輪的運動就屬于耗散系統(tǒng)，系統(tǒng)最終必然趨向于穩(wěn)定狀態(tài)，只不過阻尼系數(shù)不同，達到穩(wěn)定所需時間不同而已(阻尼系數(shù)越大，達到穩(wěn)定所需時間越小)。在同一阻尼系數(shù)下，多次重復(fù)實驗時，每一次擺輪的運動過程都是隨機的，各不相同，但只要時間足夠長，擺輪最終都會收縮成一點，形成穩(wěn)定的焦點，即混沌吸引子。這就是波爾共振儀中擺輪做阻尼振動出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象。我們通過實驗室現(xiàn)有條件，認(rèn)識和研究了波爾共振儀中出現(xiàn)的這種混沌現(xiàn)象，豐富了實驗內(nèi)容，擴展了我們的視野，對混沌現(xiàn)象及其規(guī)律有了一定的認(rèn)識。

參考文獻：

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Research on Chaos Phenomenon Using Bohr Resonance Instrument

LI Bai-hong,QIANG Rui

(Xi'an University of Science and Technology,Shanxi Xi'an 710054)

Abstract：Using a semiconductor laser as a light source,a mouse as a displacement sensor,the vibration of balance wheel in Bohr resonance instrument is converted to the trajectory of the mouse which is recorded by the software of Ghost Mouse-Setup and processed by the software of Labview.The experimental results show that the vibration amplitude of balance wheel decreases gradually with time and stop finally in all damping vibrations,but the single vibration process of balance wheel is different and random.The vibration of balance wheel will eventually shrink to a point after enough time,to form a stable focus,namely chaotic attractor.This is chaos phenomenon of balance wheel damping vibration occurs in Bohr resonance instrument.

Key words：Bohr resonance instrument；chaos phenomenon；mouse；Labview

收稿日期：2015-10-29

基金項目：國家自然科學(xué)基金(No.11504292)

文章編號：1007-2934(2016)02-0017-04

中圖分類號：O 322

文獻標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.002.005