胡曉山，　劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 武漢430074)

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混合型隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算

胡曉山，劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 武漢430074)

[摘要]利用分布函數(shù)的廣義反函數(shù)，將隨機(jī)變量表示為均勻分布隨機(jī)變量的函數(shù)，然后用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算原隨機(jī)變量的數(shù)字特征，該方法適用于所有類(lèi)型的隨機(jī)變量. 最后，利用四種不同方法計(jì)算了一個(gè)混合型隨機(jī)變量的數(shù)字特征, 說(shuō)明了這些方法的異同.

[關(guān)鍵詞]混合型隨機(jī)變量； 數(shù)字特征； 廣義反函數(shù)

1問(wèn)題的提出

對(duì)于一般隨機(jī)變量期望的定義，要么通過(guò)概率空間上的積分給出，要么通過(guò)分布函數(shù)的Lebesgue-Stieltjes 積分給出.具體地，設(shè)隨機(jī)變量X定義在概率空間(Ω,F,P)上，X的數(shù)學(xué)期望定義為

EX=∫ΩX(ω)dP(ω)，

其中要求積分存在. 該積分是定義在概率空間(Ω,F,P)上的，這需要測(cè)度論的知識(shí).若X的分布函數(shù)為F(x)，則

(1)

其中等式右邊的積分應(yīng)理解為L(zhǎng)ebesgue-Stieltjes 積分, 這需要實(shí)變函數(shù)的知識(shí). 用測(cè)度論中的知識(shí)可以證明：(1)中的兩個(gè)積分有一個(gè)存在，另一個(gè)就存在，且二者相等.

基于此，目前多數(shù)工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，只給出了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義及相關(guān)計(jì)算. 若X為離散型隨機(jī)變量，pk=P(X=xk)，k≥1為其分布列，則X的數(shù)學(xué)期望定義為

(2)

其中要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 此時(shí)，X的分布函數(shù)F(x)是一個(gè)跳躍函數(shù)，它在每個(gè)xk處的跳躍度為pk.對(duì)跳躍函數(shù)F(x)，(1)式右邊等于(2)式的右邊. 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，p(x)為其密度函數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望定義為

(3)

其中要求積分絕對(duì)收斂. 此時(shí)，dF(x)=p(x)dx，(1)式右邊與上式右邊的積分相等.

但是在應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到既非離散型，也非連續(xù)型的隨機(jī)變量，統(tǒng)稱(chēng)為混合型隨機(jī)變量 (見(jiàn)例1). 通常的教材中并沒(méi)有介紹如何求混合型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 為了克服上面Lebesgue-Stieltjes 積分的困難，文獻(xiàn)[2]本質(zhì)上用分部積分公式將Lebesgue-Stieltjes 積分化為L(zhǎng)ebesgue積分(通常情形與Riemann積分相等)來(lái)計(jì)算混合型隨機(jī)變量的期望和方差. 文獻(xiàn)[2]定理4的結(jié)果是：對(duì)正整數(shù)k，

(4)

注意到，在工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，都會(huì)不加證明地?cái)⑹鋈缦虑箅S機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的公式——“佚名統(tǒng)計(jì)學(xué)家公式”(參見(jiàn)[3] P198). 亦即，若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，p(x)為其密度函數(shù)，則Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望為

(5)

其中要求積分絕對(duì)收斂.

本文的思路是，從隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)出發(fā)，將X表示為[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量Y的函數(shù)，然后應(yīng)用公式(5)來(lái)求X的數(shù)字特征.

2主要結(jié)論

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x), 對(duì)0

圖1

F-1(x)稱(chēng)為F(x)的廣義反函數(shù) (圖1，參見(jiàn)[1]P26).顯然，若F(x)嚴(yán)格單調(diào)增，F(xiàn)-1(x)即為F(x)的反函數(shù).

廣義反函數(shù)具有下面的性質(zhì)：

(i) 由于F(+∞)=1，所以{y∶F(y)≥x}≠?，因此F-1(x)的定義是合理的；

(ii) 當(dāng)x1

(iv) 對(duì)每個(gè)0

{y∶F-1(y)≤x}={y∶y≤F(x)}.

(6)

事實(shí)上，由F-1(y)的定義，它是滿(mǎn)足y≤F(x)的最小的x，因此(6)式右邊包含于左邊；又因?yàn)镕(x)是單調(diào)不降函數(shù)和性質(zhì)(iii)，因此(6)式左邊包含于右邊.

設(shè)Y～U[0,1], 由(5)式有

P(F-1(Y)≤x)=P(Y≤F(x))=F(x)，

即X與F-1(Y)同分布. 因此，由佚名統(tǒng)計(jì)學(xué)家公式有

(7)

特別地，對(duì)正整數(shù)k

由此可以計(jì)算X的期望和方差.

注公式(4)與(7)相比，(7)能夠計(jì)算除了原點(diǎn)矩外的其他數(shù)字特征.

3應(yīng)用舉例與方法比較

本節(jié)將用上面提到的4種方法計(jì)算下面的例子，從中可以看出這些方法有何異同.

例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為

求EX和DX.

圖2

方法1設(shè)隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)

FY(x)與F(x)的關(guān)系如圖2所示: 即

則X與min{max{Y,-1},1}同分布. 對(duì)任意Borel可測(cè)函數(shù)f，由佚名統(tǒng)計(jì)學(xué)家公式得

Ef(X)=Ef(min{max{Y,-1},1})

因此

和

方法2X的分布函數(shù)F(x)可以分解為

其中

方法3由公式(4), 有

和

圖3

方法4F(x)的廣義反函數(shù)如圖3所示，表達(dá)式為

因此，由公式(7), 有

特別地

方法比較方法1具有特殊性，比如當(dāng)分布函數(shù)有多個(gè)跳躍點(diǎn)時(shí)隨機(jī)變量Y的構(gòu)造是困難的；方法3只能計(jì)算原點(diǎn)矩，對(duì)其他數(shù)字特征無(wú)效；方法2和方法4都有普遍的適用性，本質(zhì)上方法2是Lebesgue-Stieltjes，但理解該積分需要更深的數(shù)學(xué)知識(shí)，方法4把問(wèn)題歸結(jié)為較初等的范疇. 綜上，方法4適用范圍廣，且能夠?yàn)楸究茖W(xué)生接受.

[參考文獻(xiàn)]

[1]劉次華. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版. 武漢：華中科技大學(xué)出版社，2012.

[2]寧榮健，余丙森. 基于分布函數(shù)的混合型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31(2)：48-52.

[3]李賢平，概率論基礎(chǔ)[M].3版. 北京：高等教育出版社，2010.

[4]李賢平，陳子毅. 概率論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)[M]. 北京：高等教育出版社， 2011.

The Computing Method to Numerical Characteristics of Mixed Type Random Variables Based on Generalized Inverse Functions

HUXiao-shan，LIUJi-cheng

(School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

Abstract:By using the generalized inverse function of distribution function，a random variable can be expressed as the function of an uniformly distributed random variable, then the numerical characters of original random variables can be calculated by a mathematical expectation formula for functions of random variable, this method may be applied to all of random variables. Finally, numerical characteristics of a mixed-type random variable are calculated using four different methods, which show the differences between these methods.

Key words:mixed type random variables; numerical characteristics; generalized inverse function

[收稿日期]2015-06-22；[修改日期] 2016-01-14

[基金項(xiàng)目]華中科技大學(xué)自主創(chuàng)新研究基金(2014TS066)；華中科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(2015067)

[作者簡(jiǎn)介]胡曉山(1966-),男，博士，副教授，從事概率統(tǒng)計(jì)研究.Email: hxs@hust.edu.cn[通訊作者]劉繼成(1976-)，男，博士，副教授，從事概率統(tǒng)計(jì)研究.Email： jcliu@hust.edu.cn

[中圖分類(lèi)號(hào)]O211.3

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0086-05